Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

Cofinitud

En matemáticas , un subconjunto cofinito de un conjunto incógnita {\displaystyle X} es un subconjunto A {\displaystyle A} cuyo complemento en incógnita {\displaystyle X} es un c...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita

En matemáticas , un subconjunto cofinito de un conjuntoincógnita{\displaystyle X}es un subconjuntoA{\displaystyle A}cuyo complemento enincógnita{\displaystyle X}es un conjunto finito . En otras palabras,A{\displaystyle A}contiene todos los elementos excepto un número finito deincógnita.{\displaystyle X.}Si el complemento no es finito, pero es numerable, entonces se dice que el conjunto es cocontable .

Estos surgen de forma natural al generalizar estructuras en conjuntos finitos a conjuntos infinitos, particularmente en productos infinitos, como en la topología de producto o suma directa .

Este uso del prefijo " co " para describir una propiedad que posee el complemento de un conjunto es consistente con su uso en otros términos como " co conjunto escaso ".

Álgebras booleanas

El conjunto de todos los subconjuntos deincógnita{\displaystyle X}que son finitos o cofinitos forman un álgebra booleana , lo que significa que es cerrada bajo las operaciones de unión , intersección y complementación. Esta álgebra booleana es laálgebra finita-cofinita enincógnita.{\displaystyle X.}

En la otra dirección, un álgebra booleanaA{\displaystyle A}tiene un ultrafiltro no principal único (es decir, un filtro maximal no generado por un solo elemento del álgebra) si y solo si existe un conjunto infinitoincógnita{\displaystyle X}de tal manera queA{\displaystyle A}es isomorfo al álgebra finita-cofinita enincógnita.{\displaystyle X.}En este caso, el ultrafiltro no principal es el conjunto de todos los subconjuntos cofinitos deincógnita{\displaystyle X}.

Topología cofinita

La topología cofinita o la topología de complemento finito es una topología que se puede definir en cada conjuntoincógnita.{\displaystyle X.}Tiene precisamente el conjunto vacío y todos los subconjuntos cofinitos deincógnita{\displaystyle X}como conjuntos abiertos. En consecuencia, en la topología cofinita, los únicos subconjuntos cerrados son conjuntos finitos, o la totalidad deincógnita.{\displaystyle X.}Por esta razón, la topología cofinita también se conoce como topología finita cerrada . Simbólicamente, la topología se escribe como T={A⊆incógnita:A=∅ o incógnita∖A es finito}.{\displaystyle {\mathcal {T}}=\{A\subseteq X:A=\varnothing {\mbox{ o }}X\setminus A{\mbox{ es finito}}\}.}

Esta topología surge de forma natural en el contexto de la topología de Zariski . Dado que los polinomios en una variable sobre un campoK{\displaystyle K}son cero en conjuntos finitos, o la totalidad deK,{\displaystyle K,}la topología de Zariski enK{\displaystyle K}(considerada como línea afín ) es la topología cofinita. Lo mismo es cierto para cualquier curva algebraica irreducible ; no es cierto, por ejemplo, paraincógnitaY=0{\displaystyle XY=0}en el avión.

Propiedades

  • Subespacios: Toda topología de subespacio de la topología cofinita es también una topología cofinita.
  • Compacidad: Dado que todo conjunto abierto contiene todos los puntos excepto un número finito de puntosincógnita,{\displaystyle X,}el espacioincógnita{\displaystyle X}es compacto y secuencialmente compacto .
  • Separación: La topología cofinita es la topología más gruesa que satisface el axioma T 1 ; es decir, es la topología más pequeña para la cual todo conjunto unitario es cerrado. De hecho, una topología arbitraria enincógnita{\displaystyle X}satisface el axioma T 1 si y solo si contiene la topología cofinita.incógnita{\displaystyle X}es finito entonces la topología cofinita es simplemente la topología discreta . Siincógnita{\displaystyle X}Si no es finito, entonces esta topología no es Hausdorff (T 2 ) , regular o normal porque no hay dos conjuntos abiertos no vacíos disjuntos (es decir, es hiperconexa ).

Topología cofinita de doble punto

La topología cofinita de doble punto es la topología cofinita con cada punto duplicado; es decir, es el producto topológico de la topología cofinita con la topología indiscreta en un conjunto de dos elementos. No es T 0 ni T 1 , puesto que los puntos de cada doblete son topológicamente indistinguibles . Sin embargo, es R 0 puesto que los puntos topológicamente distinguibles están separados . El espacio es compacto como producto de dos espacios compactos; alternativamente, es compacto porque cada conjunto abierto no vacío contiene todos los puntos excepto un número finito.

Como ejemplo de la topología cofinita doblemente puntiaguda numerable, el conjuntoZ{\displaystyle \mathbb {Z} }de enteros se puede dar una topología tal que cada número par2norte{\displaystyle 2n}es topológicamente indistinguible del siguiente número impar2norte+1{\displaystyle 2n+1}Los conjuntos cerrados son las uniones de un número finito de pares.2norte,2norte+1,{\displaystyle 2n,2n+1,}o el conjunto completo. Los conjuntos abiertos son los complementos de los conjuntos cerrados; es decir, cada conjunto abierto consta de todos los pares excepto un número finito.2norte,2norte+1,{\displaystyle 2n,2n+1,}o es el conjunto vacío.

Otros ejemplos

Topología del producto

La topología del producto en un producto de espacios topológicos∏incógnitai{\displaystyle \prod X_{i}}tiene base∏Ui{\displaystyle \prod U_{i}}dóndeUi⊆incógnitai{\displaystyle U_{i}\subsetequ X_{i}}está abierto y definitivamente muchosUi=incógnitai.{\displaystyle U_{i}=X_{i}.}

La analogía sin requerir que un número cofinito de factores sean todo el espacio es la topología de caja .

Suma directa

Los elementos de la suma directa de módulos⨁METROi{\displaystyle \bigoplus M_ {i}}son secuenciasαi∈METROi{\displaystyle \alpha _{i}\in M_{i}}donde cofinitivamente muchosαi=0.{\displaystyle \alpha _{i}=0.}

El análogo sin requerir que un número cofinito de sumandos sean cero es el producto directo .

Véase también

Referencias