Ideal (teoría del orden)

En la teoría matemática del orden , un ideal es un subconjunto especial de un conjunto parcialmente ordenado (poset). Aunque históricamente este término se derivó de la noción de ideal de anillo del álgebra abstracta , posteriormente se ha generalizado a una noción diferente. Los ideales son de gran importancia para muchas construcciones en la teoría del orden y de retículos .

Un subconjunto I de un conjunto parcialmente ordenado es un ideal , si se cumplen las siguientes condiciones: ^{[1] [2]}${\displaystyle (P,\leq )}$

1. Yo no estoy vacío ,
2. para cada x en I e y en P , y ≤ x implica que y está en I  ( I es un conjunto inferior ),
3. para cada x , y en I , hay algún elemento z en I , tal que x ≤ z e y ≤ z (  I es un conjunto dirigido ).

Si bien esta es la forma más general de definir un ideal para conjuntos arbitrarios, originalmente se definió solo para retículos . En este caso, se puede dar la siguiente definición equivalente: un subconjunto I de un retículo es un ideal si y solo si es un conjunto inferior que está cerrado bajo uniones finitas ( suprema ); es decir, no está vacío y para todo x , y en I , el elemento de P también está en I . ^[3]${\displaystyle (P,\leq )}$${\displaystyle x\vee y}$

Una noción más débil de ideal de orden se define como un subconjunto de un conjunto parcial P que satisface las condiciones 1 y 2 anteriores. En otras palabras, un ideal de orden es simplemente un conjunto inferior . De manera similar, un ideal también se puede definir como un "conjunto inferior dirigido".

La noción dual de un ideal, es decir, el concepto obtenido al invertir todos los ≤ e intercambiar con es un filtro . ${\estilo de visualización \vee}$${\displaystyle \cuña ,}$

Los ideales de Frink , los pseudoideales y los pseudoideales de Doyle son generalizaciones diferentes de la noción de ideal reticular.

Se dice que un ideal o filtro es apropiado si no es igual a todo el conjunto P. ^[3 ]

El ideal más pequeño que contiene un elemento dado p es unideal principal yse dice quepelemento principal del ideal en esta situación. El ideal principalpara unpviene dado por↓ p = { x ∈ P | x ≤ p }. ${\displaystyle \flecha hacia abajo p}$

Las definiciones anteriores de "ideal" e "ideal de orden" son las estándar, ^{[3] [4] [5]} pero existe cierta confusión en la terminología. A veces, las palabras y definiciones como "ideal", "ideal de orden", " ideal de Frink " o "ideal de orden parcial" tienen significados diferentes. ^{[6] [7]}

Un caso especial importante de ideal lo constituyen aquellos ideales cuyos complementos teóricos de conjuntos son filtros, es decir, ideales en orden inverso. Tales ideales se denominanideales primos s. Observe también que, puesto que requerimos que los ideales y los filtros no sean vacíos, cada ideal primo es necesariamente propio. Para los retículos, los ideales primos se pueden caracterizar de la siguiente manera:

Un subconjunto I de una red es un ideal primo, si y sólo si ${\displaystyle (P,\leq )}$

1. I es un ideal propio de P , y
2. para todos los elementos x e y de P , en I implica que x ∈ I o y ∈ I .${\displaystyle x\cuña y}$

Se comprueba fácilmente que esto es efectivamente equivalente a afirmar que es un filtro (que entonces también es primo, en el doble sentido). ${\displaystyle P\setmenos I}$

Para una red completa, la noción adicional de unaEl ideal primo completo tiene sentido. Se define como un ideal propioIcon la propiedad adicional de que, siempre que el ínfimodealgún conjunto arbitrario A esté en I , algún elemento deAtambién estará enI.Por lo tanto, se trata simplemente de un ideal primo específico que extiende las condiciones anteriores a infinitos ínfimos.

La existencia de ideales primos no es, en general, obvia y, a menudo, no se puede derivar una cantidad satisfactoria de ideales primos dentro de ZF ( teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección ). Esta cuestión se analiza en varios teoremas de ideales primos , que son necesarios para muchas aplicaciones que requieren ideales primos.

Un yo ideal es unideal maximalista si es propio y no existe ningúnidealpropioJque sea un superconjunto estricto deI.Asimismo, un filtroFes maximalista si es propio y no existe ningún filtro propio que sea un superconjunto estricto.

Cuando un conjunto posesivo es una red distributiva , los ideales y filtros maximos son necesariamente primos, mientras que el recíproco de esta afirmación es falso en general.

Los filtros maximalistas a veces se denominan ultrafiltros , pero esta terminología suele reservarse para las álgebras de Boole, donde un filtro maximal (ideal) es un filtro (ideal) que contiene exactamente uno de los elementos { a , ¬ a }, por cada elemento a del álgebra de Boole. En las álgebras de Boole, los términos ideal primo e ideal maximal coinciden, al igual que los términos filtro primo y filtro maximal .

Existe otra noción interesante de maximalidad de ideales: considérese un ideal I y un filtro F tal que I es disjunto de F . Nos interesa un ideal M que sea máximo entre todos los ideales que contienen a I y son disjuntos de F . En el caso de redes distributivas, un M de este tipo es siempre un ideal primo. A continuación se presenta una prueba de esta afirmación.

Sin embargo, en general no está claro si existe algún ideal M que sea máximo en este sentido. Sin embargo, si asumimos el axioma de elección en nuestra teoría de conjuntos, entonces se puede demostrar la existencia de M para cada par de filtros-ideales disjuntos. En el caso especial de que el orden considerado sea un álgebra de Boole , este teorema se llama teorema del ideal primo de Boole . Es estrictamente más débil que el axioma de elección y resulta que no se necesita nada más para muchas aplicaciones de ideales en la teoría del orden.

La construcción de ideales y filtros es una herramienta importante en muchas aplicaciones de la teoría del orden.

• En el teorema de representación de Stone para álgebras de Boole , los ideales maximales (o, equivalentemente a través del mapa de negación, los ultrafiltros) se utilizan para obtener el conjunto de puntos de un espacio topológico , cuyos conjuntos clopen son isomorfos al álgebra de Boole original.
• La teoría del orden conoce muchos procedimientos de completitud para convertir conjuntos parciales en conjuntos parciales con propiedades de completitud adicionales. Por ejemplo, la completitud ideal de un orden parcial P dado es el conjunto de todos los ideales de P ordenados por inclusión de subconjuntos. Esta construcción produce el conjunto parcial de elementos libre generado por P. Un ideal es principal si y solo si es compacto en la completitud ideal, por lo que el conjunto parcial original puede recuperarse como el subconjunto parcial que consiste en elementos compactos. Además, cada conjunto parcial de elementos algebraicos puede reconstruirse como la completitud ideal de su conjunto de elementos compactos.

Los ideales fueron introducidos por Marshall H. Stone por primera vez para las álgebras de Boole , ^[8] donde el nombre se derivó de los ideales de anillo del álgebra abstracta. Adoptó esta terminología porque, utilizando el isomorfismo de las categorías de las álgebras de Boole y de los anillos de Boole , las dos nociones coinciden de hecho.

La generalización a cualquier conjunto de conjuntos fue realizada por Frink . ^[9]

• Filtro (matemáticas)  – En matemáticas, un subconjunto especial de un conjunto parcialmente ordenado.
• Ideal (teoría de anillos)  : subgrupo aditivo de un anillo matemático que absorbe la multiplicación
• Ideal (teoría de conjuntos)  : Familia no vacía de conjuntos que está cerrada bajo uniones y subconjuntos finitos.
• Ideal de semigrupo
• Teorema del ideal primo de Boole  : los ideales en un álgebra de Boole se pueden extender a ideales primos

• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, Hanamantagouda P. (1981). Un curso de álgebra universal. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.
• Davey, Brian A.; Priestley, Hilary Ann (2002). Introducción a los enrejados y el orden (2.ª ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-78451-4.
• Taylor, Paul (1999), Fundamentos prácticos de las matemáticas , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 59, Cambridge University Press, Cambridge, ISBN 0-521-63107-6, Sr.  1694820
• Frenchman, Zack; Hart, James (2020), Introducción a la teoría del orden, AMS

• Stone, MH (1934), "Álgebras de Boole y su aplicación a la topología", Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 20 (3): 197–202, Bibcode :1934PNAS...20..197S, doi : 10.1073/pnas.20.3.197 , PMC  1076376 , PMID  16587875
• Stone, MH (1935), "Subsunción de la teoría de las álgebras de Boole bajo la teoría de los anillos", Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 21 (2): 103–105, Bibcode :1935PNAS...21..103S, doi : 10.1073/pnas.21.2.103 , PMC  1076539 , PMID  16587931
• Frink, Orrin (1954), "Ideales en conjuntos parcialmente ordenados", Am. Math. Mon. , 61 (4): 223–234, doi :10.1080/00029890.1954.11988449