Diagrama de Feynman

En física teórica , un diagrama de Feynman es una representación gráfica de las expresiones matemáticas que describen el comportamiento y la interacción de las partículas subatómicas . Este esquema recibe su nombre del físico estadounidense Richard Feynman , quien introdujo los diagramas en 1948.

El cálculo de amplitudes de probabilidad en física teórica de partículas requiere el uso de integrales grandes y complejas sobre un gran número de variables . Los diagramas de Feynman, en cambio, representan gráficamente estas integrales.

Los diagramas de Feynman ofrecen una visualización sencilla de lo que de otro modo sería una fórmula arcana y abstracta. Según David Kaiser , «Desde mediados del siglo XX, los físicos teóricos han recurrido cada vez más a esta herramienta para realizar cálculos críticos. Los diagramas de Feynman han revolucionado prácticamente todos los aspectos de la física teórica». ^{[ 1 ]}

Si bien los diagramas se aplican principalmente a la teoría cuántica de campos , pueden utilizarse en otras áreas de la física, como la teoría del estado sólido . Frank Wilczek escribió que los cálculos que le valieron el Premio Nobel de Física de 2004 "habrían sido literalmente impensables sin los diagramas de Feynman, al igual que los cálculos de [Wilczek] que establecieron una vía para la producción y observación de la partícula de Higgs ". ^{[ 2 ]}

Un diagrama de Feynman es una representación gráfica de una contribución perturbativa a la amplitud de transición o función de correlación de una teoría cuántica de campos o estadística. Dentro de la formulación canónica de la teoría cuántica de campos, un diagrama de Feynman representa un término en la expansión de Wick de la matriz $S$ perturbativa . Alternativamente, la formulación de la integral de trayectoria de la teoría cuántica de campos representa la amplitud de transición como una suma ponderada de todas las historias posibles del sistema desde el estado inicial hasta el final, ya sea en términos de partículas o campos. La amplitud de transición se expresa entonces como el elemento de matriz de la matriz $S$ entre los estados inicial y final del sistema cuántico.

Feynman utilizó la interpretación de Ernst Stueckelberg del positrón como si fuera un electrón que se mueve hacia atrás en el tiempo. ^{[ 3 ]} Por lo tanto, las antipartículas se representan moviéndose hacia atrás a lo largo del eje del tiempo en los diagramas de Feynman.

Motivación e historia

En este diagrama, un kaón , formado por un quark up y un antiquark strange , se desintegra tanto débil como fuertemente en tres piones , con pasos intermedios que involucran un bosón W y un gluón , representados respectivamente por la onda sinusoidal azul y la espiral verde.

Al calcular las secciones transversales de dispersión en física de partículas , la interacción entre partículas se puede describir partiendo de un campo libre que describe las partículas incidentes y salientes, e incluyendo un hamiltoniano de interacción para describir cómo se desvían entre sí. La amplitud de dispersión es la suma de cada posible historial de interacción sobre todos los posibles estados intermedios de las partículas. El número de veces que actúa el hamiltoniano de interacción es el orden de la expansión perturbativa , y la teoría de perturbaciones dependiente del tiempo para campos se conoce como la serie de Dyson . Cuando los estados intermedios en tiempos intermedios son autoestados de energía (conjuntos de partículas con un momento definido), la serie se denomina teoría de perturbaciones clásica (o teoría de perturbaciones dependiente del tiempo/ordenada en el tiempo).

La serie de Dyson puede reescribirse alternativamente como una suma sobre diagramas de Feynman, donde en cada vértice se conservan tanto la energía como el momento , pero donde la longitud del cuadrivector energía-momento no es necesariamente igual a la masa, es decir, las partículas intermedias se denominan fuera de la capa de masas . Los diagramas de Feynman son mucho más fáciles de seguir que los términos "tradicionales", porque el método tradicional trata las contribuciones de partículas y antipartículas por separado. Cada diagrama de Feynman es la suma de un número exponencial de términos tradicionales, porque cada línea interna puede representar por separado una partícula o una antipartícula. En una teoría clásica no relativista , no hay antipartículas ni duplicación, por lo que cada diagrama de Feynman incluye solo un término.

Feynman proporcionó una fórmula para calcular la amplitud ( las reglas de Feynman, a continuación ) para cualquier diagrama dado de un lagrangiano de teoría de campos . Cada línea interna corresponde a un factor del propagador de la partícula virtual ; cada vértice donde se encuentran las líneas da un factor derivado de un término de interacción en el lagrangiano, y las líneas entrantes y salientes llevan energía, momento y espín .

Además de su valor como herramienta matemática, los diagramas de Feynman proporcionan una profunda comprensión física de la naturaleza de las interacciones entre partículas. Las partículas interactúan de todas las maneras posibles; de hecho, se permite que las partículas virtuales intermedias se propaguen más rápido que la luz . La probabilidad de cada estado final se obtiene sumando todas estas posibilidades. Esto está estrechamente relacionado con la formulación de la integral funcional de la mecánica cuántica , también inventada por Feynman (véase la formulación de la integral de trayectoria ).

La aplicación ingenua de estos cálculos suele generar diagramas con amplitudes infinitas , ya que las interacciones entre partículas a corta distancia requieren un procedimiento de limitación cuidadoso para incluir las autointeracciones de las partículas . La técnica de renormalización , propuesta por Ernst Stueckelberg y Hans Bethe e implementada por Dyson , Feynman, Schwinger y Tomonaga, compensa este efecto y elimina las problemáticas infinitudes. Tras la renormalización, los cálculos que utilizan diagramas de Feynman coinciden con los resultados experimentales con gran precisión.

Los diagramas de Feynman y los métodos de integral de trayectoria también se utilizan en mecánica estadística e incluso pueden aplicarse a la mecánica clásica . ^{[ 4 ]}

Nombres alternativos

Murray Gell-Mann siempre se refería a los diagramas de Feynman como diagramas de Stueckelberg , en honor al físico suizo Ernst Stueckelberg , quien ideó una notación similar muchos años antes. Stueckelberg estaba motivado por la necesidad de un formalismo manifiestamente covariante para la teoría cuántica de campos, pero no proporcionó una forma tan automatizada de manejar los factores de simetría y los bucles, aunque fue el primero en encontrar la interpretación física correcta en términos de trayectorias de partículas hacia adelante y hacia atrás en el tiempo, todo ello sin la integral de trayectoria. ^{[ 5 ]}

Históricamente, como herramienta de contabilidad de la teoría de perturbaciones covariantes, los gráficos se denominaban diagramas de Feynman-Dyson o gráficos de Dyson , ^{[ 6 ]} porque la integral de trayectoria era desconocida cuando se introdujeron, y la derivación de Freeman Dyson a partir de la teoría de perturbaciones tradicional, tomada de las expansiones perturbativas en mecánica estadística, era más fácil de seguir para los físicos formados en métodos anteriores. ^{[ a ]} Feynman tuvo que presionar mucho para que se aprobaran los diagramas, que confundían a los físicos formados en ecuaciones y gráficos. ^{[ 7 ]}

Representación de la realidad física

En sus presentaciones de interacciones fundamentales , ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]} escritas desde la perspectiva de la física de partículas, Gerard 't Hooft y Martinus Veltman dieron buenos argumentos para tomar los diagramas de Feynman originales, no regularizados, como la representación más concisa de la física de la dispersión cuántica de partículas fundamentales . Sus motivaciones son consistentes con las convicciones de James Daniel Bjorken y Sidney Drell : ^{[ 10 ]}

Los gráficos y reglas de cálculo de Feynman resumen la teoría cuántica de campos de una forma que guarda estrecha relación con los datos experimentales que se desean comprender. Si bien la formulación de la teoría mediante gráficos podría implicar la teoría de perturbaciones , el uso de métodos gráficos en el problema de muchos cuerpos demuestra que este formalismo es lo suficientemente flexible como para abordar fenómenos de carácter no perturbativo. Es posible que alguna modificación de las reglas de cálculo de Feynman perdure más allá de la elaborada estructura matemática de la teoría cuántica de campos canónica local.

En las teorías cuánticas de campos , los diagramas de Feynman se obtienen a partir de un lagrangiano mediante las reglas de Feynman.

La regularización dimensional es un método para regularizar integrales en la evaluación de diagramas de Feynman; les asigna valores que son funciones meromorfas de un parámetro complejo auxiliar $d$ , llamado dimensión. La regularización dimensional expresa una integral de Feynman como una integral que depende de la dimensión espaciotemporal $d$ y de los puntos espaciotemporales.

Interpretación de la trayectoria de las partículas

Un diagrama de Feynman representa los procesos de la teoría cuántica de campos mediante interacciones entre partículas . Las partículas se representan mediante líneas. Estas líneas pueden ser onduladas o rectas, con o sin flecha, según el tipo de partícula. Un punto donde se conectan varias líneas es un vértice, y es allí donde las partículas se encuentran e interactúan. Las interacciones pueden ser: emisión/absorción de partículas, desviación de partículas o cambio de tipo de partícula.

Los tres tipos de líneas son: líneas internas, que conectan vértices; líneas entrantes, que se extienden desde el pasado hasta un vértice, representando un estado inicial; y líneas salientes, que se extienden desde un vértice hasta el futuro, representando el estado final (estas dos últimas también se conocen como líneas externas). Tradicionalmente, la parte inferior del diagrama representa el pasado y la superior el futuro; alternativamente, el pasado se ubica a la izquierda y el futuro a la derecha. Al calcular funciones de correlación en lugar de amplitudes de dispersión , el pasado y el futuro no son relevantes y todas las líneas son internas. Las partículas comienzan y terminan en pequeñas x, que representan las posiciones de los operadores cuya correlación se calcula.

Los diagramas de Feynman son una representación gráfica de la contribución a la amplitud total de un proceso que puede ocurrir de diferentes maneras. Cuando un grupo de partículas incidentes rebotan entre sí, el proceso puede considerarse como uno en el que las partículas recorren todas las trayectorias posibles, incluidas las que retroceden en el tiempo.

Los diagramas de Feynman son gráficos que representan la interacción de partículas, en lugar de su posición física durante un proceso de dispersión. No son lo mismo que los diagramas espaciotemporales ni las imágenes de la cámara de burbujas , aunque todos describen la dispersión de partículas. A diferencia de una imagen de la cámara de burbujas, solo la suma de todos los diagramas de Feynman relevantes representa una interacción de partículas dada; las partículas no eligen un diagrama específico cada vez que interactúan. La ley de la suma concuerda con el principio de superposición : cada diagrama contribuye a la amplitud total del proceso.

Descripción

Un diagrama de Feynman representa una contribución perturbativa a la amplitud de una transición cuántica desde un estado cuántico inicial a un estado cuántico final.

Por ejemplo, en el proceso de aniquilación electrón-positrón, el estado inicial es un electrón y un positrón, mientras que el estado final son dos fotones.

Por convención, el estado inicial se sitúa a la izquierda del diagrama y el estado final a la derecha (aunque también se utilizan otras representaciones).

Las partículas en el estado inicial se representan mediante líneas que apuntan en la dirección del estado inicial (por ejemplo, hacia la izquierda). Las partículas en el estado final se representan mediante líneas que apuntan en la dirección del estado final (por ejemplo, hacia la derecha).

La electrodinámica cuántica (QED) involucra dos tipos de partículas: partículas de materia como electrones o positrones (llamadas fermiones ) y partículas de intercambio (llamadas bosones de gauge ). Se representan en diagramas de Feynman de la siguiente manera:

El electrón en el estado inicial está representado por una línea continua, con una flecha que indica el espín de la partícula, por ejemplo, apuntando hacia el vértice (→•).
El electrón en el estado final está representado por una línea, con una flecha que indica el espín de la partícula, por ejemplo, apuntando en dirección opuesta al vértice: (•→).
El positrón en el estado inicial está representado por una línea continua, con una flecha que indica el espín de la partícula, por ejemplo, apuntando en dirección opuesta al vértice: (←•).
El positrón en el estado final está representado por una línea, con una flecha que indica el espín de la partícula, por ejemplo, apuntando hacia el vértice: (•←).
El fotón virtual en los estados inicial y final está representado por una línea ondulada ( ~• y •~ ).

En QED, cada vértice tiene tres líneas unidas a él: una línea bosónica, una línea fermiónica con una flecha que apunta hacia el vértice y una línea fermiónica con una flecha que se aleja del vértice.

Los vértices pueden conectarse mediante un propagador bosónico o fermiónico . Un propagador bosónico se representa mediante una línea ondulada que conecta dos vértices (•~•). Un propagador fermiónico se representa mediante una línea continua con una flecha que conecta dos vértices (•←•).

El número de vértices da el orden del término en el desarrollo en serie de perturbación de la amplitud de transición.

Ejemplo de aniquilación electrón-positrón

La interacción de aniquilación electrón-positrón :

e ⁺ + e ⁻ → 2γ

tiene una contribución del diagrama de Feynman de segundo orden:

En el estado inicial (en la parte inferior; tiempo temprano) hay un electrón (e ⁻ ) y un positrón (e ⁺ ) y en el estado final (en la parte superior; tiempo tardío) hay dos fotones (γ).

Formulación de cuantización canónica

La amplitud de probabilidad para una transición de un sistema cuántico (entre estados asintóticamente libres) del estado inicial $| i ⟩$ al estado final $| f ⟩$ viene dada por el elemento de matriz

S_{\rm {fi}}=\langle \mathrm {f} |S|\mathrm {i} \rangle \;,

donde $S$ es la matriz $S.$ En términos del operador de evolución temporal $U$ , es simplemente

S=\lim _{t_{2}\rightarrow +\infty }\left[\lim _{t_{1}\rightarrow -\infty }U(t_{2},t_{1})\right]\;.

En la imagen de interacción , esto se expande a

S={\mathcal {T}}\exp \left(-i\int _{-\infty }^{+\infty }d\tau H_{V}(\tau )\right).

donde $H V$ es el hamiltoniano de interacción y ${\mathcal {T}}$ significa el producto ordenado en el tiempo de operadores. La fórmula de Dyson expande la exponencial matricial ordenada en el tiempo en una serie de perturbaciones en las potencias de la densidad del hamiltoniano de interacción,

S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\left(\prod _{j=1}^{n}\int d^{4}x_{j}\right){\mathcal {T}}\left\{\prod _{j=1}^{n}{\mathcal {H}}_{V}\left(x_{j}\right)\right\}\equiv \sum _{n=0}^{\infty }S^{(n)}\;.

De forma equivalente, con el lagrangiano de interacción $L V$ , es

S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{n}}{n!}}\left(\prod _{j=1}^{n}\int d^{4}x_{j}\right){\mathcal {T}}\left\{\prod _{j=1}^{n}{\mathcal {L}}_{V}\left(x_{j}\right)\right\}\equiv \sum _{n=0}^{\infty }S^{(n)}\;.

Un diagrama de Feynman es una representación gráfica de un único sumando en la expansión de Wick del producto ordenado en el tiempo en el término de orden $n$ $S (n)$ de la serie de Dyson de la matriz $S$ ,

{\mathcal {T}}\prod _{j=1}^{n}{\mathcal {L}}_{V}\left(x_{j}\right)=\sum _{\text{A}}(\pm ){\mathcal {N}}\prod _{j=1}^{n}{\mathcal {L}}_{V}\left(x_{j}\right)\;,

donde $N$ significa el producto ordenado normal de los operadores y (±) se encarga del posible cambio de signo cuando conmutan los operadores fermiónicos para juntarlos para una contracción (un propagador ) y $A$ representa todas las contracciones posibles.

Reglas de Feynman

Los diagramas se dibujan de acuerdo con las reglas de Feynman, que dependen del lagrangiano de interacción. Para el lagrangiano de interacción QED

L_{v}=-g{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }

Al describir la interacción de un campo fermiónico $ψ$ con un campo de gauge bosónico $A μ$ , las reglas de Feynman se pueden formular en el espacio de coordenadas de la siguiente manera:

Cada coordenada de integración $x j$ está representada por un punto (a veces llamado vértice);
Un propagador bosónico se representa mediante una línea ondulada que conecta dos puntos;
Un propagador fermiónico se representa mediante una línea continua que conecta dos puntos;
Un campo bosónico $A_{\mu }(x_{i})$ está representada por una línea ondulada unida al punto $x i$ ;
Un campo fermiónico $ψ (x i)$ está representado por una línea continua unida al punto $x i$ con una flecha hacia el punto;
Un campo antifermiónico $ψ (x i)$ está representado por una línea continua unida al punto $x i$ con una flecha que se aleja del punto;

Ejemplo: procesos de segundo orden en QED

El término de perturbación de segundo orden en la matriz $S es$

S^{(2)}={\frac {(ie)^{2}}{2!}}\int d^{4}x\,d^{4}x'\,T{\bar {\psi }}(x)\,\gamma ^{\mu }\,\psi (x)\,A_{\mu }(x)\,{\bar {\psi }}(x')\,\gamma ^{\nu }\,\psi (x')\,A_{\nu }(x').\;

Dispersión de fermiones

La expansión de Wick del integrando da (entre otros) el siguiente término

N{\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }\psi (x){\bar {\psi }}(x')\gamma ^{\nu }\psi (x'){\underline {A_{\mu }(x)A_{\nu }(x')}}\;,

dónde

{\underline {A_{\mu }(x)A_{\nu }(x')}}=\int {\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}{\frac {-ig_{\mu \nu }}{k^{2}+i0}}e^{-ik(x-x')}

es la contracción electromagnética (propagador) en el calibre de Feynman. Este término está representado por el diagrama de Feynman de la derecha. Este diagrama proporciona contribuciones a los siguientes procesos:

dispersión e ⁻ e ⁻ (estado inicial a la derecha, estado final a la izquierda del diagrama);
e ⁺ e ⁺ dispersión (estado inicial a la izquierda, estado final a la derecha del diagrama);
dispersión e ⁻ e ⁺ (estado inicial en la parte inferior/superior, estado final en la parte superior/inferior del diagrama).

Dispersión Compton y aniquilación/generación de pares e ⁻ e ⁺

Otro término interesante en la expansión es

N{\bar {\psi }}(x)\,\gamma ^{\mu }\,{\underline {\psi (x)\,{\bar {\psi }}(x')}}\,\gamma ^{\nu }\,\psi (x')\,A_{\mu }(x)\,A_{\nu }(x')\;,

dónde

{\underline {\psi (x){\bar {\psi }}(x')}}=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i}{\gamma p-m+i0}}e^{-ip(x-x')}

es la contracción fermiónica (propagador).

Formulación de la integral de trayectoria

En una integral de trayectoria , el lagrangiano del campo, integrado sobre todas las posibles historias del campo, define la amplitud de probabilidad de pasar de una configuración de campo a otra. Para que tenga sentido, la teoría de campos debe tener un estado fundamental bien definido , y la integral debe realizarse con una ligera rotación en el tiempo imaginario, es decir, una rotación de Wick . El formalismo de la integral de trayectoria es completamente equivalente al formalismo del operador canónico descrito anteriormente.

Lagrangiano de campo escalar

Un ejemplo es el campo escalar relativista libre en $d$ dimensiones, cuya integral de acción es:

S=\int {\tfrac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi \,d^{d}x\,.

La amplitud de probabilidad no normalizada para un proceso es:

\int _{A}^{B}e^{iS}\,D\phi \,,

donde $A$ y $B$ son hipersuperficies de tipo espacial que definen las condiciones de contorno. El conjunto de todos los $φ (A)$ en la hipersuperficie inicial proporciona el valor inicial del campo, análogo a la posición inicial de una partícula puntual , y los valores del campo $φ (B)$ en cada punto de la hipersuperficie final definen el valor final del campo, que puede variar, dando lugar a una amplitud diferente que resulta en valores distintos. Esta es la amplitud de transición de campo a campo.

La integral de trayectoria proporciona el valor esperado de los operadores entre el estado inicial y el estado final:

\int _{A}^{B}e^{iS}\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\,D\phi =\left\langle A\left|\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right|B\right\rangle \,,

y en el límite en que A y B retroceden hacia el pasado infinito y el futuro infinito, la única contribución que importa es la del estado fundamental (esto solo es rigurosamente cierto si la integral de trayectoria se define ligeramente rotada hacia el tiempo imaginario). La integral de trayectoria se normaliza de la siguiente manera:

{\frac {\displaystyle \int e^{iS}\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\,D\phi }{\displaystyle \int e^{iS}\,D\phi }}=\left\langle 0\left|\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right|0\right\rangle \,.

La función de partición del campo es el factor de normalización en la parte inferior, que coincide con la función de partición de la mecánica estadística a temperatura cero cuando se rota en el tiempo imaginario.

Las amplitudes inicial y final están mal definidas si se considera el límite continuo desde el principio, ya que las fluctuaciones en el campo pueden volverse ilimitadas. Por lo tanto, la integral de trayectoria puede considerarse sobre una red cuadrada discreta, con un espaciado de red $a,$ y el límite $a \to 0$ debe considerarse con precaución . Si los resultados finales no dependen de la forma de la red ni del valor de $a$ , entonces existe el límite continuo.

En una red

En una red, (i), el campo se puede expandir en modos de Fourier :

\phi (x)=\int {\frac {dk}{(2\pi )^{d}}}\phi (k)e^{ik\cdot x}=\int _{k}\phi (k)e^{ikx}\,.

$Aquí ,$ el dominio de integración sobre $k$ está restringido a un cubo de lado $2π / a,$ por lo que no se permiten valores grandes de $k . La medida$ $de k$ contiene los factores de 2π $de$ las transformadas de Fourier ; esta es la mejor convención estándar para las integrales $de k$ en la teoría cuántica de campos. La red implica que las fluctuaciones para valores grandes $de k$ no pueden contribuir de inmediato, sino que solo comienzan a contribuir en el límite $a \to 0.$ A veces, en lugar de una red, los modos de campo simplemente se truncan para valores altos de $k$ .

También resulta conveniente, en ocasiones, considerar que el volumen espacio-temporal es finito, de modo que los modos $k también formen una red. Esto no es tan estrictamente necesario como el límite de red espacial, ya que las interacciones en$ $k$ no están localizadas, pero es útil para controlar los factores que preceden a las integrales $de k$ y las funciones delta que conservan el momento.

En una red, (ii), la acción debe discretizarse:

S=\sum _{\langle x,y\rangle }{\tfrac {1}{2}}{\big (}\phi (x)-\phi (y){\big )}^{2}\,,

donde $⟨ x, y ⟩$ es un par de vecinos de red más cercanos $x$ e $y$ . La discretización debe entenderse como la definición de lo que significa la derivada $\partial μ φ$ .

En términos de los modos de Fourier de la red, la acción se puede escribir como:

S=\int _{k}{\Big (}{\big (}1-\cos(k_{1}){\big )}+{\big (}1-\cos(k_{2}){\big )}+\cdots +{\big (}1-\cos(k_{d}){\big )}{\Big )}\phi _{k}^{*}\phi ^{k}\,.

Para $k$ cercano a cero, esto es:

S=\int _{k}{\tfrac {1}{2}}k^{2}\left|\phi (k)\right|^{2}\,.

Ahora tenemos la transformada de Fourier continua de la acción original. En volumen finito, la cantidad $d d k$ no es infinitesimal , sino que se convierte en el volumen de una caja formada por modos de Fourier vecinos, o $(⁠ 2π / V ⁠) d$ .

El campo $φ$ es de valor real, por lo que la transformada de Fourier obedece a:

\phi (k)^{*}=\phi (-k)\,.

En términos de partes real e imaginaria, la parte real de $φ (k)$ es una función par de $k$ , mientras que la parte imaginaria es impar. La transformada de Fourier evita el doble conteo, por lo que se puede escribir:

S=\int _{k}{\tfrac {1}{2}}k^{2}\phi (k)\phi (-k)

sobre un dominio de integración que integra sobre cada par $(k, -k)$ exactamente una vez.

Para un campo escalar complejo con acción

S=\int {\tfrac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi ^{*}\partial ^{\mu }\phi \,d^{d}x

La transformada de Fourier no tiene restricciones:

S=\int _{k}{\tfrac {1}{2}}k^{2}\left|\phi (k)\right|^{2}

y la integral es sobre todos $los k$ .

Integrar sobre todos los valores diferentes de $φ (x)$ es equivalente a integrar sobre todos los modos de Fourier, porque tomar una transformada de Fourier es una transformación lineal unitaria de las coordenadas del campo. Cuando se cambian las coordenadas en una integral multidimensional mediante una transformación lineal, el valor de la nueva integral viene dado por el determinante de la matriz de transformación. Si

y_{i}=A_{ij}x_{j}\,,

entonces

\det(A)\int dx_{1}\,dx_{2}\cdots \,dx_{n}=\int dy_{1}\,dy_{2}\cdots \,dy_{n}\,.

Si $A$ es una rotación, entonces

A^{\mathrm {T} }A=I

de modo que $det A = \pm1$ , y el signo depende de si la rotación incluye una reflexión o no.

La matriz que cambia las coordenadas de $φ (x)$ a $φ (k)$ se puede obtener de la definición de una transformada de Fourier.

A_{kx}=e^{ikx}\,

y el teorema de inversión de Fourier te dice la inversa:

A_{kx}^{-1}=e^{-ikx}\,

que es la transpuesta conjugada compleja, salvo factores de 2π $.$ En una red de volumen finito, el determinante es distinto de cero e independiente de los valores del campo.

\det A=1\,

y la integral de trayectoria es un factor separado en cada valor de $k$ .

\int \exp \left({\frac {i}{2}}\sum _{k}k^{2}\phi ^{*}(k)\phi (k)\right)\,D\phi =\prod _{k}\int _{\phi _{k}}e^{{\frac {i}{2}}k^{2}\left|\phi _{k}\right|^{2}\,d^{d}k}\,

El factor $d d k$ es el volumen infinitesimal de una celda discreta en el espacio $k$ , en una caja de red cuadrada.

d^{d}k=\left({\frac {1}{L}}\right)^{d}\,,

donde $L$ es la longitud del lado de la caja. Cada factor individual es una gaussiana oscilatoria, y el ancho de la gaussiana diverge a medida que el volumen tiende a infinito.

En el tiempo imaginario, la acción euclidiana se vuelve definida positiva y puede interpretarse como una distribución de probabilidad. La probabilidad de que un campo tenga valores $φ k$ es

e^{\int _{k}-{\tfrac {1}{2}}k^{2}\phi _{k}^{*}\phi _{k}}=\prod _{k}e^{-k^{2}\left|\phi _{k}\right|^{2}\,d^{d}k}\,.

El valor esperado del campo es el valor esperado estadístico del campo cuando se elige de acuerdo con la distribución de probabilidad:

\left\langle \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right\rangle ={\frac {\displaystyle \int e^{-S}\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\,D\phi }{\displaystyle \int e^{-S}\,D\phi }}

Dado que la probabilidad de $φ k$ es un producto, el valor de $φ k$ en cada valor separado de $k$ se distribuye de forma independiente mediante una distribución gaussiana. La varianza de la distribución gaussiana es $⁠$ $1$ $/$ $k$ $2$ $d$ $d$ $k$ $⁠$ , que formalmente es infinita, pero eso solo significa que las fluctuaciones no están acotadas en un volumen infinito. En cualquier volumen finito, la integral se reemplaza por una suma discreta, y la varianza de la integral es $⁠$ $V$ $/$ $k$ $2$ $⁠$ .

Montecarlo

$La integral de$ trayectoria define un algoritmo probabilístico para generar una configuración de campo escalar euclidiano. Se eligen aleatoriamente las partes real e imaginaria de cada modo de Fourier en el número de onda $k como una variable aleatoria gaussiana con varianza 1$ $/$ k² $.$ $Esto$ $genera$ $una$ configuración $φ$ $C$ $($ $k$ $)$ aleatoria, y la transformada de Fourier da $φ$ $C$ $($ $x$ $)$ . Para campos escalares reales, el algoritmo debe generar solo uno de cada par $φ$ $($ $k$ $),$ $φ$ $(-$ $k$ $)$ , y hacer que el segundo sea el conjugado complejo del primero.

Para hallar cualquier función de correlación, genere un campo repetidamente mediante este procedimiento y encuentre el promedio estadístico:

\left\langle \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right\rangle =\lim _{|C|\rightarrow \infty }{\frac {\displaystyle \sum _{C}\phi _{C}(x_{1})\cdots \phi _{C}(x_{n})}{|C|}}

donde $| C |$ es el número de configuraciones, y la suma es el producto de los valores del campo en cada configuración. La función de correlación euclidiana es idéntica a la función de correlación en estadística o mecánica estadística. Las funciones de correlación cuántica son una continuación analítica de las funciones de correlación euclidianas.

Para campos libres con acción cuadrática, la distribución de probabilidad es una gaussiana de alta dimensión, y el promedio estadístico viene dado por una fórmula explícita. Sin embargo, el método de Monte Carlo también funciona bien para teorías de campos bosónicos interactuantes donde no existe una fórmula cerrada para las funciones de correlación.

Propagador escalar

Cada modo tiene una distribución gaussiana independiente. La esperanza de los modos de campo es fácil de calcular:

\left\langle \phi _{k}\phi _{k'}\right\rangle =0\,

para $k \neq k'$ , ya que entonces las dos variables aleatorias gaussianas son independientes y ambas tienen media cero.

\left\langle \phi _{k}\phi _{k}\right\rangle ={\frac {V}{k^{2}}}

en un volumen finito $V$ , cuando los dos valores $de k$ coinciden, ya que esta es la varianza de la gaussiana. En el límite de volumen infinito,

\left\langle \phi (k)\phi (k')\right\rangle =\delta (k-k'){\frac {1}{k^{2}}}

Estrictamente hablando, esto es una aproximación: el propagador de red es:

\left\langle \phi (k)\phi (k')\right\rangle =\delta (k-k'){\frac {1}{2{\big (}d-\cos(k_{1})+\cos(k_{2})\cdots +\cos(k_{d}){\big )}}}

Pero cerca de $k = 0$ , para fluctuaciones de campo largas en comparación con el espaciado de la red, las dos formas coinciden.

Las funciones delta contienen factores de 2π $,$ de modo que cancelan los factores de 2π $en$ la medida para las integrales $k$ .

\delta (k)=(2\pi )^{d}\delta _{D}(k_{1})\delta _{D}(k_{2})\cdots \delta _{D}(k_{d})\,

donde $δ D (k)$ es la función delta de Dirac unidimensional ordinaria. Esta convención para las funciones delta no es universal; algunos autores mantienen explícitos los factores de 2 $π$ en las funciones delta (y en la integración $de k ).$

Ecuación de movimiento

La forma del propagador se puede encontrar más fácilmente utilizando la ecuación de movimiento del campo. A partir del lagrangiano, la ecuación de movimiento es:

\partial _{\mu }\partial ^{\mu }\phi =0\,

y en un valor esperado, esto dice:

\partial _{\mu }\partial ^{\mu }\left\langle \phi (x)\phi (y)\right\rangle =0

Donde las derivadas actúan sobre $x$ , y la identidad es verdadera en todas partes excepto cuando $x$ e $y$ coinciden, y el orden del operador importa. La forma de la singularidad puede entenderse a partir de las relaciones de conmutación canónicas como una función delta. Definiendo el propagador de Feynman (euclidiano) $Δ$ como la transformada de Fourier de la función de dos puntos ordenada en el tiempo (la que proviene de la integral de trayectoria):

\partial ^{2}\Delta (x)=i\delta (x)\,

De modo que:

\Delta (k)={\frac {i}{k^{2}}}

Si las ecuaciones de movimiento son lineales, el propagador siempre será el recíproco de la matriz cuadrática que define el lagrangiano libre, ya que esta proporciona las ecuaciones de movimiento. Esto también se puede comprobar fácilmente a partir de la integral de trayectoria. El factor $i$ desaparece en la teoría euclidiana.

Teorema de Wick

Debido a que cada modo de campo es una gaussiana independiente, los valores esperados para el producto de muchos modos de campo obedecen el teorema de Wick :

\left\langle \phi (k_{1})\phi (k_{2})\cdots \phi (k_{n})\right\rangle

es cero a menos que los modos de campo coincidan en pares. Esto significa que es cero para un número impar de $φ$ , y para un número par de $φ$ , es igual a una contribución de cada par por separado, con una función delta.

\left\langle \phi (k_{1})\cdots \phi (k_{2n})\right\rangle =\sum \prod _{i,j}{\frac {\delta \left(k_{i}-k_{j}\right)}{k_{i}^{2}}}

donde la suma se realiza sobre cada partición de los modos de campo en pares, y el producto se realiza sobre los pares. Por ejemplo,

\left\langle \phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})\right\rangle ={\frac {\delta (k_{1}-k_{2})}{k_{1}^{2}}}{\frac {\delta (k_{3}-k_{4})}{k_{3}^{2}}}+{\frac {\delta (k_{1}-k_{3})}{k_{3}^{2}}}{\frac {\delta (k_{2}-k_{4})}{k_{2}^{2}}}+{\frac {\delta (k_{1}-k_{4})}{k_{1}^{2}}}{\frac {\delta (k_{2}-k_{3})}{k_{2}^{2}}}

Una interpretación del teorema de Wick es que cada inserción de campo puede considerarse como una línea colgante, y el valor esperado se calcula uniendo las líneas en pares, añadiendo un factor de función delta que garantiza que el momento de cada componente del par sea igual, y dividiendo por el propagador.

Momentos gaussianos superiores: completando el teorema de Wick

Queda un punto sutil antes de que se demuestre el teorema de Wick: ¿qué sucede si más de dos de los $\phi$ ¿Tienen los s el mismo momento? Si es un número impar, la integral es cero; los valores negativos se cancelan con los valores positivos. Pero si el número es par, la integral es positiva. La demostración anterior asumió que el $\phi$ Las s solo se emparejarían en pares.

Pero el teorema es correcto incluso cuando arbitrariamente muchos de los $\phi$ son iguales, y esta es una propiedad notable de la integración gaussiana:

I=\int e^{-ax^{2}/2}dx={\sqrt {\frac {2\pi }{a}}}

{\frac {\partial ^{n}}{\partial a^{n}}}I=\int {\frac {x^{2n}}{2^{n}}}e^{-ax^{2}/2}dx={\frac {1\cdot 3\cdot 5\ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 2\cdot 2\ldots \;\;\;\;\;\cdot 2\;\;\;\;\;\;}}{\sqrt {2\pi }}\,a^{-{\frac {2n+1}{2}}}

Dividiendo por $I$ ,

\left\langle x^{2n}\right\rangle ={\frac {\displaystyle \int x^{2n}e^{-ax^{2}/2}}{\displaystyle \int e^{-ax^{2}/2}}}=1\cdot 3\cdot 5\ldots \cdot (2n-1){\frac {1}{a^{n}}}

\left\langle x^{2}\right\rangle ={\frac {1}{a}}

Si el teorema de Wick fuera correcto, los momentos superiores estarían dados por todos los emparejamientos posibles de una lista de $2 n$ diferentes $x$ :

\left\langle x_{1}x_{2}x_{3}\cdots x_{2n}\right\rangle

donde todas las $x$ son la misma variable, el índice solo sirve para llevar la cuenta del número de maneras de emparejarlas. La primera $x$ se puede emparejar con otras $2 n - 1$ , quedando $2 n - 2$ . La siguiente $x$ sin emparejar se puede emparejar con $2 n - 3$ $x$ diferentes, quedando $2 n - 4$ , y así sucesivamente. Esto significa que el teorema de Wick, sin corregir, dice que el valor esperado de $x 2 n$ debería ser:

\left\langle x^{2n}\right\rangle =(2n-1)\cdot (2n-3)\ldots \cdot 5\cdot 3\cdot 1\left\langle x^{2}\right\rangle ^{n}

Y esta es, de hecho, la respuesta correcta. Por lo tanto, el teorema de Wick se cumple independientemente de cuántas de las cantidades de movimiento de las variables internas coincidan.

Interacción

Las interacciones se representan mediante contribuciones de orden superior, ya que las contribuciones cuadráticas siempre son gaussianas. La interacción más simple es la autointeracción cuártica, con una acción:

S=\int \partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi +{\frac {\lambda }{4!}}\phi ^{4}.

La razón del factor combinatorio 4! quedará clara pronto. Escribiendo la acción en términos de los modos de Fourier de la red (o continuo):

S=\int _{k}k^{2}\left|\phi (k)\right|^{2}+{\frac {\lambda }{4!}}\int _{k_{1}k_{2}k_{3}k_{4}}\phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})\delta (k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4})=S_{F}+X.

Donde $S F$ es la acción libre, cuyas funciones de correlación vienen dadas por el teorema de Wick. La exponencial de $S$ en la integral de trayectoria se puede expandir en potencias de $λ$ , lo que da lugar a una serie de correcciones a la acción libre.

e^{-S}=e^{-S_{F}}\left(1+X+{\frac {1}{2!}}XX+{\frac {1}{3!}}XXX+\cdots \right)

La integral de trayectoria para la acción completa es entonces una serie de potencias de correcciones a la acción libre. El término representado por $X$ debe considerarse como cuatro semirrectas, una por cada factor de $φ (k)$ . Las semirrectas se encuentran en un vértice, que aporta una función delta que garantiza que la suma de los momentos sea igual.

Para calcular una función de correlación en la teoría de interacción, ahora hay una contribución de los términos $X.$ Por ejemplo, la integral de trayectoria para el correlador de cuatro campos:

\left\langle \phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})\right\rangle ={\frac {\displaystyle \int e^{-S}\phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})D\phi }{Z}}

que en el campo libre solo era distinto de cero cuando los momentos $k$ eran iguales en pares, ahora es distinto de cero para todos los valores de $k$ . Los momentos de las inserciones $φ (k i)$ ahora pueden coincidir con los momentos de las $X$ s en la expansión. Las inserciones también deben considerarse como semirrectas, cuatro en este caso, que llevan un momento $k$ , pero que no está integrado.

La contribución de orden más bajo proviene del primer término no trivial $e - S F X$ en el desarrollo de Taylor de la acción. El teorema de Wick exige que los momentos en las semirrectas $X$ , los factores $φ (k) en$ $X$ , coincidan con los momentos de las semirrectas externas en pares. La nueva contribución es igual a:

\lambda {\frac {1}{k_{1}^{2}}}{\frac {1}{k_{2}^{2}}}{\frac {1}{k_{3}^{2}}}{\frac {1}{k_{4}^{2}}}\,.

El 4! dentro de $X$ se cancela porque hay exactamente 4! maneras de emparejar las semirrectas en $X$ con las semirrectas externas. Cada una de estas diferentes maneras de emparejar las semirrectas en pares contribuye exactamente una vez, independientemente de los valores de $k 1,2,3,4$ , según el teorema de Wick.

Diagramas de Feynman

La expansión de la acción en potencias de $X$ da como resultado una serie de términos con un número progresivamente mayor de $X.$ La contribución del término con exactamente $n$ $X$ se denomina $de$ orden n.

Los términos de orden $n$ tienen:

$4 n$ semirrectas internas, que son los factores de $φ (k)$ de las $X$ s. Todas ellas terminan en un vértice y se integran sobre todos los posibles $k$ .
semirrectas externas, que son las que provienen de las inserciones $φ (k)$ en la integral.

Según el teorema de Wick, cada par de semirrectas debe emparejarse para formar una línea , y esta línea da un factor de

{\frac {\delta (k_{1}+k_{2})}{k_{1}^{2}}}

lo cual multiplica la contribución. Esto significa que las dos semirrectas que forman una línea se ven obligadas a tener un momento igual y opuesto. La línea misma debe estar etiquetada con una flecha, dibujada paralela a la línea, y etiquetada con el momento en la línea $k$ . La semirrecta en el extremo de la flecha lleva un momento $k$ , mientras que la semirrecta en el extremo de la flecha lleva un momento $-k$ . Si una de las dos semirrectas es externa, esto anula la integral sobre el $k$ interno , ya que obliga a que el k interno $sea$ $igual$ al $k$ externo . Si ambas son internas, la integral sobre $k$ permanece.

$Los diagramas que se forman al$ unir las semirrectas en las $X$ con las semirrectas externas, que representan inserciones, son los diagramas de Feynman de esta teoría. Cada línea lleva un factor de $1$ $/$ $k²$ $,$ $el$ propagador, y va de vértice a vértice o termina en una inserción. Si es interna, se integra sobre ella. En cada vértice, el total entrante $k$ es igual al total saliente $k$ .

El número de formas de hacer un diagrama uniendo semirrectas en líneas casi cancela por completo los factores factoriales que provienen de la serie de Taylor de la exponencial y el 4! en cada vértice.

Orden del bucle

Un diagrama de bosque es aquel en el que todas las líneas internas poseen un momento lineal completamente determinado por las líneas externas, y se cumple la condición de que el momento lineal entrante y saliente sean iguales en cada vértice. La contribución de estos diagramas es un producto de propagadores, sin integración alguna. Un diagrama de árbol es un diagrama de bosque conectado.

Un ejemplo de diagrama de árbol es aquel en el que cada una de las cuatro líneas externas termina en una $X.$ Otro ejemplo es cuando tres líneas externas terminan en una $X$ , y la semilínea restante se une a otra $X$ , y las semilíneas restantes de esta $X$ se extienden hasta convertirse en líneas externas. Todos estos son también diagramas de bosque (ya que cada árbol es un bosque); un ejemplo de un bosque que no es un árbol es cuando ocho líneas externas terminan en dos $X.$

Es fácil verificar que, en todos estos casos, los momentos en todas las líneas internas están determinados por los momentos externos y la condición de conservación del momento en cada vértice.

Un diagrama que no es un diagrama de bosque se llama diagrama de bucle . Un ejemplo es aquel en el que dos líneas de una $X$ se unen a líneas externas, mientras que las dos líneas restantes se unen entre sí. Las dos líneas unidas entre sí pueden tener cualquier momento, ya que ambas entran y salen del mismo vértice. Un ejemplo más complejo es aquel en el que dos $X$ se unen haciendo coincidir sus ramas. Este diagrama no tiene líneas externas.

La razón por la que los diagramas de bucle se llaman diagramas de bucle es porque el número de $k$ -integrales que quedan sin determinar por la conservación del momento es igual al número de bucles cerrados independientes en el diagrama, donde los bucles independientes se cuentan como en la teoría de homología . La homología es de valor real (en realidad de valor $R d$ ), el valor asociado a cada línea es el momento. El operador de frontera lleva cada línea a la suma de los vértices extremos con un signo positivo en la cabeza y un signo negativo en la cola. La condición de que el momento se conserve es precisamente la condición de que la frontera del grafo ponderado $de k valores sea cero.$

Un conjunto de valores $k$ válidos puede redefinirse arbitrariamente siempre que exista un bucle cerrado. Un bucle cerrado es un camino cíclico de vértices adyacentes que nunca vuelve a visitar el mismo vértice. Dicho ciclo puede considerarse como el límite de una hipotética 2-celda. Las etiquetas $k$ de un grafo que conservan el momento (es decir, que tienen límite cero) hasta las redefiniciones de $k$ (es decir, hasta los límites de las 2-celdas) definen la primera homología de un grafo. El número de momentos independientes que no se determinan es entonces igual al número de bucles de homología independientes. Para muchos grafos, esto es igual al número de bucles contados de la manera más intuitiva.

Factores de simetría

Existen muchas maneras de formar un diagrama de Feynman uniendo semirrectas, y según el teorema de Wick, cada combinación de semirrectas contribuye por igual. A menudo, esto cancela por completo los factoriales del denominador de cada término, pero a veces la cancelación es incompleta.

El denominador no cancelado se denomina factor de simetría del diagrama. La contribución de cada diagrama a la función de correlación debe dividirse por su factor de simetría.

Por ejemplo, consideremos el diagrama de Feynman formado por dos líneas externas unidas a una $X$ , y las dos semirrectas restantes dentro de la $X$ unidas entre sí. Hay 4 × 3 maneras de unir las semirrectas externas a la $X$ , y luego solo hay una manera de unir las dos líneas restantes entre sí. La $X$ viene dividida por 4! = 4 × 3 × 2 , pero el número de maneras de unir las semirrectas de la $X$ para formar el diagrama es solo 4 × 3, por lo que la contribución de este diagrama se divide por dos.

Como otro ejemplo, consideremos el diagrama formado al unir todas las semirrectas de una $X$ con todas las semirrectas de otra $X.$ Este diagrama se llama burbuja de vacío , porque no se conecta con ninguna línea externa. Hay 4! maneras de formar este diagrama, pero el denominador incluye un 2! (de la expansión de la exponencial, hay dos $X$ ) y dos factores de 4!. La contribución se multiplica por ⁠ 4! / 2 × 4! × 4! ⁠ = ⁠ 1 / 48 ⁠ .

Otro ejemplo es el diagrama de Feynman formado por dos $X$ , donde cada $X$ se une a dos líneas externas, y las dos semirrectas restantes de cada $X$ se unen entre sí. El número de maneras de unir una $X$ a dos líneas externas es 4 × 3, y cualquiera de $las X$ podría unirse a cualquiera de los pares, lo que da un factor adicional de 2. Las dos semirrectas restantes en las dos $X$ se pueden unir entre sí de dos maneras, de modo que el número total de maneras de formar el diagrama es 4 × 3 × 4 × 3 × 2 × 2 , mientras que el denominador es 4! × 4! × 2!. El factor de simetría total es 2, y la contribución de este diagrama se divide por 2.

El teorema del factor de simetría proporciona el factor de simetría para un diagrama general: la contribución de cada diagrama de Feynman debe dividirse por el orden de su grupo de automorfismos, es decir, el número de simetrías que posee.

Un automorfismo de un grafo de Feynman es una permutación $M$ de las líneas y una permutación $N$ de los vértices con las siguientes propiedades:

Si una línea $l$ va del vértice $v$ al vértice $v'$ , entonces $M (l)$ va de $N (v)$ a $N (v')$ . Si la línea no tiene dirección, como ocurre con un campo escalar real, entonces $M (l)$ también puede ir de $N (v')$ a $N (v)$ .
Si una línea $l$ termina en una línea externa, $M (l)$ termina en la misma línea externa.
Si hay diferentes tipos de líneas, $M (l)$ debe conservar el tipo.

Este teorema tiene una interpretación en términos de trayectorias de partículas: cuando hay partículas idénticas presentes, la integral sobre todas las partículas intermedias no debe contar dos veces los estados que difieren solo por el intercambio de partículas idénticas.

Demostración: Para demostrar este teorema, etiquete todas las líneas internas y externas de un diagrama con un nombre único. Luego, forme el diagrama uniendo una semirrecta a un nombre y, posteriormente, a la otra semirrecta.

Ahora, contemos el número de maneras de formar el diagrama con nombre. Cada permutación de las $X$ da un patrón diferente de vinculación de nombres con semirrectas, y esto es un factor de $n!.$ Cada permutación de las semirrectas en una sola $X$ da un factor de 4!. Por lo tanto, un diagrama con nombre se puede formar exactamente de tantas maneras como el denominador de la expansión de Feynman.

Pero el número de diagramas sin nombre es menor que el número de diagramas con nombre en el orden del grupo de automorfismos del grafo.

Diagramas conectados: teorema del clúster enlazado

En términos generales, un diagrama de Feynman se denomina conexo si todos los vértices y líneas propagadoras están conectados por una secuencia de vértices y propagadores del propio diagrama. Si se considera como un grafo no dirigido, es conexo. La notable relevancia de estos diagramas en las teorías cuánticas de campos se debe a que son suficientes para determinar la función de partición cuántica $Z [J]$ . Más precisamente, los diagramas de Feynman conexos determinan

iW[J]\equiv \ln Z[J].

Para ver esto, hay que recordar que

Z[J]\propto \sum _{k}{D_{k}}

con $D k$ construido a partir de algún diagrama de Feynman (arbitrario) que puede considerarse que consta de varios componentes conectados $C i$ . Si se encuentran $n i$ copias (idénticas) de un componente $C i$ dentro del diagrama de Feynman $D k,$ se debe incluir un factor de simetría $n i!$ . Sin embargo, al final, cada contribución de un diagrama de Feynman $D k$ a la función de partición tiene la forma genérica

\prod _{i}{\frac {C_{i}^{n_{i}}}{n_{i}!}}

donde $i$ etiqueta los (infinitos) diagramas de Feynman conectados posibles.

Se obtiene un esquema para crear sucesivamente tales contribuciones de $D k$ a $Z [J] mediante$

\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {C_{1}}{1!}}+{\frac {C_{1}^{2}}{2!}}+\cdots \right)\left(1+C_{2}+{\frac {1}{2}}C_{2}^{2}+\cdots \right)\cdots

y por lo tanto produce

Z[J]\propto \prod _{i}{\sum _{n_{i}=0}^{\infty }{\frac {C_{i}^{n_{i}}}{n_{i}!}}}=\exp {\sum _{i}{C_{i}}}\propto \exp {W[J]}\,.

Para establecer la normalización $Z 0 = exp W [0] = 1,$ simplemente se calculan todos los diagramas de vacío conectados , es decir, los diagramas sin ninguna fuente $J$ (a veces denominados patas externas de un diagrama de Feynman).

El teorema del clúster enlazado fue demostrado por primera vez hasta el cuarto orden por Keith Brueckner en 1955, y para órdenes infinitos por Jeffrey Goldstone en 1957. ^{[ 11 ]}

burbujas de vacío

Una consecuencia inmediata del teorema del cúmulo enlazado es que todas las burbujas de vacío, diagramas sin líneas externas, se cancelan al calcular las funciones de correlación. Una función de correlación viene dada por:

\left\langle \phi _{1}(x_{1})\cdots \phi _{n}(x_{n})\right\rangle ={\frac {\displaystyle \int e^{-S}\phi _{1}(x_{1})\cdots \phi _{n}(x_{n})\,D\phi }{\displaystyle \int e^{-S}\,D\phi }}\,.

El numerador es la suma de todos los diagramas de Feynman, incluidos los diagramas desconectados que no se enlazan con ninguna línea externa. En términos de los diagramas conectados, el numerador incluye las mismas contribuciones de burbujas de vacío que el denominador:

\int e^{-S}\phi _{1}(x_{1})\cdots \phi _{n}(x_{n})\,D\phi =\left(\sum E_{i}\right)\left(\exp \left(\sum _{i}C_{i}\right)\right)\,.

La suma sobre los diagramas $E$ incluye únicamente aquellos diagramas cuyos componentes conectados terminan en al menos una línea externa. Las burbujas de vacío son las mismas independientemente de las líneas externas y proporcionan un factor multiplicativo global. El denominador es la suma sobre todas las burbujas de vacío, y al dividir se elimina el segundo factor.

Las burbujas de vacío solo son útiles para determinar $Z$ en sí misma, que según la definición de la integral de trayectoria es igual a:

Z=\int e^{-S}D\phi =e^{-HT}=e^{-\rho V}

donde $ρ$ es la densidad de energía en el vacío. Cada burbuja de vacío contiene un factor $δ (k)$ que anula el $k$ total en cada vértice, y cuando no hay líneas externas, contiene un factor $δ (0)$ , debido a que la conservación del momento se aplica en exceso. En un volumen finito, este factor puede identificarse como el volumen total del espacio-tiempo. Al dividir por el volumen, la integral restante para la burbuja de vacío tiene una interpretación: es una contribución a la densidad de energía del vacío.

Fuentes

Las funciones de correlación son la suma de los diagramas de Feynman conectados, pero el formalismo trata de forma diferente los diagramas conectados y desconectados. Las líneas internas terminan en vértices, mientras que las externas se extienden hasta inserciones. La introducción de fuentes unifica el formalismo, al crear nuevos vértices donde puede terminar una línea.

Las fuentes son campos externos, campos que contribuyen a la acción, pero que no son variables dinámicas. Una fuente de campo escalar es otro campo escalar $h$ que aporta un término al lagrangiano (de Lorentz):

\int h(x)\phi (x)\,d^{d}x=\int h(k)\phi (k)\,d^{d}k\,

En la expansión de Feynman, esto aporta H términos con una semirrecta que termina en un vértice. Las líneas en un diagrama de Feynman ahora pueden terminar en un vértice $X$ o en un vértice $H$ , y solo una línea entra en un vértice $H.$ La regla de Feynman para un vértice $H$ es que una línea desde un $H$ con momento $k$ obtiene un factor de $h (k)$ .

La suma de los diagramas conectados en presencia de fuentes incluye un término para cada diagrama conectado en ausencia de fuentes, con la salvedad de que ahora los diagramas pueden terminar en la fuente. Tradicionalmente, una fuente se representa con una pequeña "×" con una línea que se extiende hacia afuera, como una inserción.

\log {\big (}Z[h]{\big )}=\sum _{n,C}h(k_{1})h(k_{2})\cdots h(k_{n})C(k_{1},\cdots ,k_{n})\,

donde $C (k 1,..., k n)$ es el diagrama conectado con $n$ líneas externas que transportan momento como se indica. La suma se realiza sobre todos los diagramas conectados, como antes.

El campo $h$ no es dinámico, lo que significa que no existe una integral de trayectoria sobre $h$ : $h$ es simplemente un parámetro en el lagrangiano, que varía de un punto a otro. La integral de trayectoria para el campo es:

Z[h]=\int e^{iS+i\int h\phi }\,D\phi \,

y es una función de los valores de $h$ en cada punto. Una forma de interpretar esta expresión es que se está tomando la transformada de Fourier en el espacio de campos. Si hay una densidad de probabilidad en $R n$ , la transformada de Fourier de la densidad de probabilidad es:

\int \rho (y)e^{iky}\,d^{n}y=\left\langle e^{iky}\right\rangle =\left\langle \prod _{i=1}^{n}e^{ih_{i}y_{i}}\right\rangle \,

La transformada de Fourier es la esperanza de una exponencial oscilatoria. La integral de trayectoria en presencia de una fuente $h (x)$ es:

Z[h]=\int e^{iS}e^{i\int _{x}h(x)\phi (x)}\,D\phi =\left\langle e^{ih\phi }\right\rangle

que, en una red, es el producto de una exponencial oscilatoria para cada valor del campo:

\left\langle \prod _{x}e^{ih_{x}\phi _{x}}\right\rangle

La transformada de Fourier de una función delta es una constante, lo que proporciona una expresión formal para una función delta:

\delta (x-y)=\int e^{ik(x-y)}\,dk

Esto te muestra cómo se ve una función delta de campo en una integral de trayectoria. Para dos campos escalares $φ$ y $η$ ,

\delta (\phi -\eta )=\int e^{ih(x){\big (}\phi (x)-\eta (x){\big )}\,d^{d}x}\,Dh\,,

que integra sobre la coordenada de la transformada de Fourier, sobre $h$ . Esta expresión es útil para cambiar formalmente las coordenadas del campo en la integral de trayectoria, de forma similar a como se utiliza una función delta para cambiar las coordenadas en una integral multidimensional ordinaria.

La función de partición es ahora una función del campo $h$ , y la función de partición física es el valor cuando $h$ es la función cero:

Las funciones de correlación son derivadas de la integral de trayectoria con respecto a la fuente:

\left\langle \phi (x)\right\rangle ={\frac {1}{Z}}{\frac {\partial }{\partial h(x)}}Z[h]={\frac {\partial }{\partial h(x)}}\log {\big (}Z[h]{\big )}\,.

En el espacio euclidiano, las contribuciones de la fuente a la acción aún pueden aparecer con un factor de $i$ , de modo que aún realizan una transformada de Fourier.

Giro 1/2 ; " fotones" y " fantasmas "

Spin ⁠ 1 / 2 ⁠ : Integrales de Grassmann

La integral de trayectoria de campo puede extenderse al caso de Fermi, pero solo si se amplía la noción de integración. Una integral de Grassmann de un campo de Fermi libre es un determinante de alta dimensión o pfaffiano , que define el nuevo tipo de integración gaussiana apropiada para campos de Fermi.

Las dos fórmulas fundamentales de la integración de Grassmann son:

\int e^{M_{ij}{\bar {\psi }}^{i}\psi ^{j}}\,D{\bar {\psi }}\,D\psi =\mathrm {Det} (M)\,,

donde $M$ es una matriz arbitraria y $ψ, ψ$ son variables de Grassmann independientes para cada índice $i$ , y

\int e^{{\frac {1}{2}}A_{ij}\psi ^{i}\psi ^{j}}\,D\psi =\mathrm {Pfaff} (A)\,,

donde $A$ es una matriz antisimétrica, $ψ$ es una colección de variables de Grassmann y el ⁠ 1 / 2 ⁠ es para evitar el doble conteo (ya que $ψ$ $i$ $ψ$ $j$ $= -$ $ψ$ $j$ $ψ$ $i$ ).

En notación matricial, donde $ψ$ y $η$ son vectores fila con valores de Grassmann, $η$ y $ψ$ son vectores columna con valores de Grassmann, y $M$ es una matriz de valores reales:

Z=\int e^{{\bar {\psi }}M\psi +{\bar {\eta }}\psi +{\bar {\psi }}\eta }\,D{\bar {\psi }}\,D\psi =\int e^{\left({\bar {\psi }}+{\bar {\eta }}M^{-1}\right)M\left(\psi +M^{-1}\eta \right)-{\bar {\eta }}M^{-1}\eta }\,D{\bar {\psi }}\,D\psi =\mathrm {Det} (M)e^{-{\bar {\eta }}M^{-1}\eta }\,,

donde la última igualdad es consecuencia de la invariancia traslacional de la integral de Grassmann. Las variables de Grassmann $η$ son fuentes externas para $ψ$ , y al diferenciar con respecto a $η$ se obtienen factores de $ψ$ .

\left\langle {\bar {\psi }}\psi \right\rangle ={\frac {1}{Z}}{\frac {\partial }{\partial \eta }}{\frac {\partial }{\partial {\bar {\eta }}}}Z|_{\eta ={\bar {\eta }}=0}=M^{-1}

Nuevamente, en notación matricial esquemática. El significado de la fórmula anterior es que la derivada con respecto al componente apropiado de $η$ y $η$ da el elemento de matriz de $M -1$ . Esto es exactamente análogo a la fórmula de integración de trayectoria bosónica para una integral gaussiana de un campo bosónico complejo:

\int e^{\phi ^{*}M\phi +h^{*}\phi +\phi ^{*}h}\,D\phi ^{*}\,D\phi ={\frac {e^{h^{*}M^{-1}h}}{\mathrm {Det} (M)}}

\left\langle \phi ^{*}\phi \right\rangle ={\frac {1}{Z}}{\frac {\partial }{\partial h}}{\frac {\partial }{\partial h^{*}}}Z|_{h=h^{*}=0}=M^{-1}\,.

De modo que el propagador es la inversa de la matriz en la parte cuadrática de la acción tanto en el caso de Bose como en el de Fermi.

Para campos de Grassmann reales, para fermiones de Majorana , la integral de trayectoria es un pfaffiano multiplicado por una forma cuadrática de la fuente, y las fórmulas dan la raíz cuadrada del determinante, al igual que para campos bosónicos reales. El propagador sigue siendo el inverso de la parte cuadrática.

El lagrangiano de Dirac libre:

\int {\bar {\psi }}\left(\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi

formalmente proporciona las ecuaciones de movimiento y las relaciones de anticonmutación del campo de Dirac, al igual que el lagrangiano de Klein-Gordon en una integral de trayectoria ordinaria proporciona las ecuaciones de movimiento y las relaciones de conmutación del campo escalar. Al utilizar la transformada de Fourier espacial del campo de Dirac como una nueva base para el álgebra de Grassmann, la parte cuadrática de la acción de Dirac se vuelve sencilla de invertir:

S=\int _{k}{\bar {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }k_{\mu }-m\right)\psi \,.

El propagador es la inversa de la matriz $M$ que relaciona $ψ (k)$ y $ψ (k)$ , ya que los diferentes valores de $k$ no se mezclan entre sí.

\left\langle {\bar {\psi }}(k')\psi (k)\right\rangle =\delta (k+k'){\frac {1}{\gamma \cdot k-m}}=\delta (k+k'){\frac {\gamma \cdot k+m}{k^{2}-m^{2}}}

El análogo del teorema de Wick empareja $ψ$ y $ψ$ :

\left\langle {\bar {\psi }}(k_{1}){\bar {\psi }}(k_{2})\cdots {\bar {\psi }}(k_{n})\psi (k'_{1})\cdots \psi (k_{n})\right\rangle =\sum _{\mathrm {pairings} }(-1)^{S}\prod _{\mathrm {pairs} \;i,j}\delta \left(k_{i}-k_{j}\right){\frac {1}{\gamma \cdot k_{i}-m}}

donde S es el signo de la permutación que reordena la secuencia de $ψ$ y $ψ$ para colocar los que están emparejados para formar las funciones delta uno al lado del otro, con $ψ$ justo antes de $ψ$ . Dado que un par $ψ, ψ$ es un elemento conmutativo del álgebra de Grassmann, no importa en qué orden estén los pares. Si más de un par $ψ, ψ$ tiene el mismo $k$ , la integral es cero, y es fácil comprobar que la suma sobre los emparejamientos da cero en este caso (siempre hay un número par de ellos). Este es el análogo de Grassmann de los momentos gaussianos superiores que completaron el teorema de Wick bosónico anteriormente.

Las reglas para partículas de Dirac de espín 1/2 son las siguientes : el propagador es el inverso del operador de Dirac, las líneas tienen flechas como en un campo escalar complejo, y el diagrama adquiere un factor global de -1 por cada bucle de Fermi cerrado. Si hay un número impar de bucles de Fermi, el diagrama cambia de signo. Históricamente, a Feynman le resultó muy difícil descubrir la regla de -1. La descubrió tras un largo proceso de ensayo y error, ya que carecía de una teoría adecuada de la integración de Grassmann.

La regla se deduce de la observación de que el número de líneas de Fermi en un vértice es siempre par. Cada término del lagrangiano debe ser siempre bosónico. Un bucle de Fermi se cuenta siguiendo las líneas fermiónicas hasta regresar al punto de partida, y luego eliminando esas líneas del diagrama. Repitiendo este proceso se borran todas las líneas fermiónicas: este es el algoritmo de Euler para colorear un grafo con dos colores, que funciona siempre que cada vértice tenga grado par. El número de pasos del algoritmo de Euler es igual al número de ciclos de homología fermiónica independientes en el caso especial común en que todos los términos del lagrangiano son exactamente cuadráticos en los campos de Fermi, de modo que cada vértice tiene exactamente dos líneas fermiónicas. Cuando hay interacciones de cuatro Fermi (como en la teoría efectiva de Fermi de las interacciones nucleares débiles ), hay más $k$ -integrales que bucles de Fermi. En este caso, la regla de conteo debe aplicar el algoritmo de Euler emparejando las líneas de Fermi en cada vértice en pares que juntas formen un factor bosónico del término en el lagrangiano, y cuando entre en un vértice por una línea, el algoritmo siempre debe salir con la línea compañera.

Para aclarar y demostrar la regla, consideremos un diagrama de Feynman formado por vértices, términos del lagrangiano, con campos fermiónicos. El término completo es bosónico, es un elemento conmutativo del álgebra de Grassmann, por lo que el orden en que aparecen los vértices no es importante. Las líneas de Fermi están unidas en bucles, y al recorrer el bucle, se pueden reordenar los términos de los vértices uno tras otro a medida que se avanza sin ningún coste de signo. La excepción es cuando se regresa al punto de partida, y la última semirrecta debe unirse con la primera semirrecta no unida. Esto requiere una permutación para mover el último $ψ$ delante del primer $ψ$ , y esto da el signo.

Esta regla es el único efecto visible del principio de exclusión en las líneas internas. Cuando hay líneas externas, las amplitudes son antisimétricas al intercambiar dos inserciones de Fermi para partículas idénticas. Esto es automático en el formalismo de fuentes, ya que las fuentes de los campos de Fermi son en sí mismas valores de Grassmann.

Espín 1: fotones

El propagador ingenuo para fotones es infinito, ya que el lagrangiano para el campo A es:

S=\int {\tfrac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }=\int -{\tfrac {1}{2}}\left(\partial ^{\mu }A_{\nu }\partial _{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\mu }A_{\mu }\partial _{\nu }A^{\nu }\right)\,.

La forma cuadrática que define el propagador no es invertible. La razón es la invariancia de gauge del campo; añadir un gradiente a $A$ no altera la física.

Para solucionar este problema, es necesario fijar una calibración. La forma más conveniente es exigir que la divergencia de $A$ sea una función $f$ , cuyo valor es aleatorio en cada punto. No hay inconveniente en integrar sobre los valores de $f$ , ya que esto solo determina la elección de la calibración. Este procedimiento inserta el siguiente factor en la integral de trayectoria para $A$ :

\int \delta \left(\partial _{\mu }A^{\mu }-f\right)e^{-{\frac {f^{2}}{2}}}\,Df\,.

El primer factor, la función delta, fija el calibre. El segundo factor suma sobre diferentes valores de $f$ que son fijaciones de calibre no equivalentes. Esto es simplemente

e^{-{\frac {\left(\partial _{\mu }A_{\mu }\right)^{2}}{2}}}\,.

La contribución adicional de la fijación de calibre cancela la segunda mitad del lagrangiano libre, dando como resultado el lagrangiano de Feynman:

S=\int \partial ^{\mu }A^{\nu }\partial _{\mu }A_{\nu }

lo cual es como cuatro campos escalares libres independientes, uno para cada componente de $A.$ El propagador de Feynman es:

\left\langle A_{\mu }(k)A_{\nu }(k')\right\rangle =\delta \left(k+k'\right){\frac {g_{\mu \nu }}{k^{2}}}.

La única diferencia es que el signo de un propagador es incorrecto en el caso de Lorentz: el componente temporal tiene un propagador de signo opuesto. Esto significa que estos estados de partículas tienen norma negativa; no son estados físicos. En el caso de los fotones, es fácil demostrar mediante diagramas que estos estados no son físicos: su contribución se cancela con la de los fotones longitudinales, dejando solo dos contribuciones físicas de polarización de fotones para cualquier valor de $k$ .

Si el promedio sobre $f$ se realiza con un coeficiente distinto de 1/2 , los dos términos no se cancelan completamente. Esto da como resultado un lagrangiano covariante con un coeficiente $\lambda$ , lo cual no afecta en nada:

S=\int {\tfrac {1}{2}}\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }\partial _{\mu }A_{\nu }-\lambda \left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)^{2}\right)

y el propagador covariante para QED es:

\left\langle A_{\mu }(k)A_{\nu }(k')\right\rangle =\delta \left(k+k'\right){\frac {g_{\mu \nu }-\lambda {\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{k^{2}}}}{k^{2}}}.

Giro 1: fantasmas no abelianos

Para hallar las reglas de Feynman para campos de calibre no abelianos, el procedimiento que realiza la fijación de calibre debe corregirse cuidadosamente para tener en cuenta un cambio de variables en la integral de trayectoria.

El factor de fijación del calibre tiene un determinante adicional derivado de la función delta:

\delta \left(\partial _{\mu }A_{\mu }-f\right)e^{-{\frac {f^{2}}{2}}}\det M

Para hallar la forma del determinante, consideremos primero una integral bidimensional simple de una función $f$ que depende solo de $r$ , no del ángulo $θ$ . Insertando una integral sobre $θ$ :

\int f(r)\,dx\,dy=\int f(r)\int d\theta \,\delta (y)\left|{\frac {dy}{d\theta }}\right|\,dx\,dy

El factor de derivación asegura que al extraer la función delta en $θ$ se elimina la integral. Intercambiando el orden de integración,

\int f(r)\,dx\,dy=\int d\theta \,\int f(r)\delta (y)\left|{\frac {dy}{d\theta }}\right|\,dx\,dy

pero ahora la función delta se puede extraer en $y$ ,

\int f(r)\,dx\,dy=\int d\theta _{0}\,\int f(x)\left|{\frac {dy}{d\theta }}\right|\,dx\,.

La integral sobre $θ$ simplemente da un factor global de 2π $,$ mientras que la tasa de cambio de $y$ con un cambio en $θ$ es simplemente $x$ , por lo que este ejercicio reproduce la fórmula estándar para la integración polar de una función radial:

\int f(r)\,dx\,dy=2\pi \int f(x)x\,dx

En la integral de trayectoria para un campo de gauge no abeliano, la manipulación análoga es:

\int DA\int \delta {\big (}F(A){\big )}\det \left({\frac {\partial F}{\partial G}}\right)\,DGe^{iS}=\int DG\int \delta {\big (}F(A){\big )}\det \left({\frac {\partial F}{\partial G}}\right)e^{iS}\,

El factor que aparece al principio es el volumen del grupo de calibres, y aporta una constante que puede descartarse. La integral restante se realiza sobre la acción fija del calibre.

\int \det \left({\frac {\partial F}{\partial G}}\right)e^{iS_{GF}}\,DA\,

Para obtener una gauge covariante, la condición de fijación de gauge es la misma que en el caso abeliano:

\partial _{\mu }A^{\mu }=f\,,

Cuya variación bajo una transformación de calibre infinitesimal viene dada por:

\partial _{\mu }\,D_{\mu }\alpha \,,

donde $α$ es el elemento adjunto del álgebra de Lie en cada punto que realiza la transformación de calibre infinitesimal. Esto añade el determinante de Faddeev-Popov a la acción:

\det \left(\partial _{\mu }\,D_{\mu }\right)\,

que puede reescribirse como una integral de Grassmann introduciendo campos fantasma:

\int e^{{\bar {\eta }}\partial _{\mu }\,D^{\mu }\eta }\,D{\bar {\eta }}\,D\eta \,

El determinante es independiente de $f$ , por lo que la integral de trayectoria sobre $f$ puede dar el propagador de Feynman (o un propagador covariante) eligiendo la medida para $f$ como en el caso abeliano. La acción fija de calibre completa es entonces la acción de Yang-Mills en calibre de Feynman con una acción fantasma adicional:

S=\int \operatorname {Tr} \partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }+f_{jk}^{i}\partial ^{\nu }A_{i}^{\mu }A_{\mu }^{j}A_{\nu }^{k}+f_{jr}^{i}f_{kl}^{r}A_{i}A_{j}A^{k}A^{l}+\operatorname {Tr} \partial _{\mu }{\bar {\eta }}\partial ^{\mu }\eta +{\bar {\eta }}A_{j}\eta \,

Los diagramas se derivan de esta acción. El propagador para los campos de espín 1 tiene la forma habitual de Feynman. Hay vértices de grado 3 con factores de momento cuyos acoplamientos son las constantes de estructura, y vértices de grado 4 cuyos acoplamientos son productos de constantes de estructura. Hay bucles fantasma adicionales, que cancelan los estados temporales y longitudinales en los bucles $A.$

En el caso abeliano, el determinante para calibres covariantes no depende de $A$ , por lo que los fantasmas no contribuyen a los diagramas conectados.

Representación de la trayectoria de las partículas

Los diagramas de Feynman fueron descubiertos originalmente por Feynman, mediante ensayo y error, como una forma de representar la contribución a la matriz S de diferentes clases de trayectorias de partículas.

Representación de Schwinger

El propagador escalar euclidiano tiene una representación sugerente:

{\frac {1}{p^{2}+m^{2}}}=\int _{0}^{\infty }e^{-\tau \left(p^{2}+m^{2}\right)}\,d\tau

El significado de esta identidad (que es una integración elemental) se aclara mediante la transformada de Fourier al espacio real.

\Delta (x)=\int _{0}^{\infty }d\tau e^{-m^{2}\tau }{\frac {1}{({4\pi \tau })^{d/2}}}e^{\frac {-x^{2}}{4\tau }}

La contribución en cualquier valor de $τ$ al propagador es una gaussiana de ancho ̀̀√ $τ$ . La función de propagación total de 0 a $x$ es una suma ponderada sobre todos los tiempos propios $τ$ de una gaussiana normalizada, la probabilidad de terminar en $x$ después de un paseo aleatorio de tiempo $τ$ .

La representación de la integral de trayectoria para el propagador es entonces:

\Delta (x)=\int _{0}^{\infty }d\tau \int DX\,e^{-\int \limits _{0}^{\tau }\left({\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}+m^{2}\right)d\tau '}

que es una reescritura de la representación de Schwinger mediante una integral de camino .

La representación de Schwinger resulta útil tanto para manifestar el aspecto de partícula del propagador como para simetrizar los denominadores de los diagramas de bucle.

Combinando denominadores

La representación de Schwinger tiene una aplicación práctica inmediata a los diagramas de bucle. Por ejemplo, para el diagrama en la teoría $φ 4$ formado al unir dos $x$ en dos semirrectas y hacer que las líneas restantes sean externas, la integral sobre los propagadores internos en el bucle es:

\int _{k}{\frac {1}{k^{2}+m^{2}}}{\frac {1}{(k+p)^{2}+m^{2}}}\,.

Aquí una línea transporta momento $k$ y la otra $k + p$ . La asimetría se puede corregir poniendo todo en la representación de Schwinger.

\int _{t,t'}e^{-t(k^{2}+m^{2})-t'\left((k+p)^{2}+m^{2}\right)}\,dt\,dt'\,.

Ahora el exponente depende principalmente de $t + t'$ ,

\int _{t,t'}e^{-(t+t')(k^{2}+m^{2})-t'2p\cdot k-t'p^{2}}\,,

excepto por la pequeña asimetría. Definiendo la variable $u = t + t'$ y $v = ⁠ t' / u ⁠$ , la variable $u$ va de 0 a $\infty$ , mientras que $v$ va de 0 a 1. La variable $u$ es el tiempo propio total para el bucle, mientras que $v$ parametriza la fracción del tiempo propio en la parte superior del bucle en comparación con la parte inferior.

El jacobiano para esta transformación de variables es fácil de obtener a partir de las identidades:

d(uv)=dt'\quad du=dt+dt'\,,

y " cuñando " da

u\,du\wedge dv=dt\wedge dt'\,

.

Esto permite evaluar explícitamente la integral $u :$

\int _{u,v}ue^{-u\left(k^{2}+m^{2}+v2p\cdot k+vp^{2}\right)}=\int {\frac {1}{\left(k^{2}+m^{2}+v2p\cdot k-vp^{2}\right)^{2}}}\,dv

dejando solo la $v$ -integral. Este método, inventado por Schwinger pero generalmente atribuido a Feynman, se llama denominador combinador . En abstracto, es la identidad elemental:

{\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{{\big (}vA+(1-v)B{\big )}^{2}}}\,dv

Pero esta forma no proporciona la motivación física para introducir $v$ ; $v$ es la proporción de tiempo propio en una de las ramas del bucle.

Una vez combinados los denominadores, un cambio en $k$ a $k' = k + vp$ simetriza todo:

\int _{0}^{1}\int {\frac {1}{\left(k^{2}+m^{2}+2vp\cdot k+vp^{2}\right)^{2}}}\,dk\,dv=\int _{0}^{1}\int {\frac {1}{\left(k'^{2}+m^{2}+v(1-v)p^{2}\right)^{2}}}\,dk'\,dv

Esta forma muestra que en el momento en que $p₂$ es más negativo que cuatro veces la masa de la partícula en el bucle, lo cual ocurre en una región física del espacio $de$ Lorentz , la integral presenta un corte. Es precisamente entonces cuando el momento externo puede crear partículas físicas.

Cuando el bucle tiene más vértices, hay más denominadores que combinar:

\int dk\,{\frac {1}{k^{2}+m^{2}}}{\frac {1}{(k+p_{1})^{2}+m^{2}}}\cdots {\frac {1}{(k+p_{n})^{2}+m^{2}}}

La regla general se deduce de la prescripción de Schwinger para denominadores $n + 1 :$

{\frac {1}{D_{0}D_{1}\cdots D_{n}}}=\int _{0}^{\infty }\cdots \int _{0}^{\infty }e^{-u_{0}D_{0}\cdots -u_{n}D_{n}}\,du_{0}\cdots du_{n}\,.

La integral sobre los parámetros de Schwinger $u i$ se puede dividir como antes en una integral sobre el tiempo propio total $u = u 0 + u 1 ... + u n$ y una integral sobre la fracción del tiempo propio en todos los segmentos del bucle excepto el primero $v i = ⁠ u i / u ⁠$ para $i \in {1,2,..., n}$ . Los $v i$ son positivos y suman menos de 1, por lo que la integral $de v$ se realiza sobre un simplex $n$ -dimensional.

El jacobiano para la transformación de coordenadas se puede calcular como antes:

du=du_{0}+du_{1}\cdots +du_{n}\,

d(uv_{i})=du_{i}\,.

Al combinar todas estas ecuaciones, se obtiene:

u^{n}\,du\wedge dv_{1}\wedge dv_{2}\cdots \wedge dv_{n}=du_{0}\wedge du_{1}\cdots \wedge du_{n}\,.

Esto da como resultado la integral:

\int _{0}^{\infty }\int _{\mathrm {simplex} }u^{n}e^{-u\left(v_{0}D_{0}+v_{1}D_{1}+v_{2}D_{2}\cdots +v_{n}D_{n}\right)}\,dv_{1}\cdots dv_{n}\,du\,,

donde el simplex es la región definida por las condiciones

v_{i}>0\quad {\mbox{and}}\quad \sum _{i=1}^{n}v_{i}<1

así como

v_{0}=1-\sum _{i=1}^{n}v_{i}\,.

Realizar la integral $u$ proporciona la prescripción general para combinar denominadores:

{\frac {1}{D_{0}\cdots D_{n}}}=n!\int _{\mathrm {simplex} }{\frac {1}{\left(v_{0}D_{0}+v_{1}D_{1}\cdots +v_{n}D_{n}\right)^{n+1}}}\,dv_{1}\,dv_{2}\cdots dv_{n}

Dado que el numerador del integrando no interviene, la misma fórmula funciona para cualquier bucle, independientemente de los espines que lleven las patas. La interpretación de los parámetros $v i$ es que representan la fracción del tiempo propio total empleado en cada pata.

Dispersión

Las funciones de correlación de una teoría cuántica de campos describen la dispersión de partículas. La definición de "partícula" en la teoría de campos relativista no es evidente por sí misma, ya que si se intenta determinar la posición de manera que la incertidumbre sea menor que la longitud de onda Compton , la incertidumbre en la energía es lo suficientemente grande como para producir más partículas y antipartículas del mismo tipo a partir del vacío. Esto significa que la noción de un estado de partícula única es, hasta cierto punto, incompatible con la noción de un objeto localizado en el espacio.

En la década de 1930, Wigner dio una definición matemática para los estados de partícula única: son un conjunto de estados que forman una representación irreducible del grupo de Poincaré . Los estados de partícula única describen un objeto con una masa finita, un momento bien definido y un espín. Esta definición es válida para protones y neutrones, electrones y fotones, pero excluye a los quarks, que están permanentemente confinados, por lo que la perspectiva moderna es más flexible: una partícula es cualquier cosa cuya interacción puede describirse en términos de diagramas de Feynman, que se interpretan como una suma sobre las trayectorias de las partículas.

Un operador de campo puede generar un estado de una partícula a partir del vacío, lo que significa que el operador de campo $φ (x)$ produce una superposición de estados de partículas de Wigner. En la teoría de campo libre, el campo produce únicamente estados de una partícula. Sin embargo, cuando existen interacciones, el operador de campo también puede producir estados de tres, cinco o seis partículas (si no hay simetría +/−, también de dos, cuatro o seis partículas). Para calcular la amplitud de dispersión de estados de una sola partícula, solo se requiere un límite preciso, llevando los campos al infinito e integrando en el espacio para eliminar las correcciones de orden superior.

La relación entre las funciones de dispersión y correlación es el teorema LSZ: la amplitud de dispersión para que $n$ partículas se conviertan en $m$ partículas en un evento de dispersión viene dada por la suma de los diagramas de Feynman que entran en la función de correlación para $n + m$ inserciones de campo, dejando fuera los propagadores para las ramas externas.

Por ejemplo, para la interacción $λφ 4$ de la sección anterior, la contribución de orden $λ$ a la función de correlación (Lorentz) es:

\left\langle \phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})\right\rangle ={\frac {i}{k_{1}^{2}}}{\frac {i}{k_{2}^{2}}}{\frac {i}{k_{3}^{2}}}{\frac {i}{k_{4}^{2}}}i\lambda \,

Al eliminar los propagadores externos, es decir, al eliminar los factores de $⁠$ $i$ $/$ $k$ $2$ $⁠$ , se obtiene la amplitud de dispersión invariante $M$ :

M=i\lambda \,

que es una constante, independiente del momento incidente y saliente. La interpretación de la amplitud de dispersión es que la suma de $| M | ²$ sobre todos los posibles estados finales es la probabilidad del evento de dispersión. Sin embargo, la normalización de los estados de partícula única debe elegirse cuidadosamente para asegurar que $M$ sea un invariante relativista.

Los estados de partícula única no relativistas se etiquetan mediante el momento $k$ , y se eligen de manera que tengan la misma norma en cada valor de $k$ . Esto se debe a que el operador unitario no relativista en los estados de partícula única es:

\int dk\,|k\rangle \langle k|\,.

En relatividad, la integral sobre los $k$ estados para una partícula de masa m integra sobre una hipérbola en el espacio $E, k$ definida por la relación energía-momento:

E^{2}-k^{2}=m^{2}\,.

Si la integral pondera cada $k$ puntos por igual, la medida no es invariante de Lorentz. La medida invariante integra sobre todos los valores de $k$ y $E$ , restringiéndose a la hipérbola con una función delta invariante de Lorentz:

\int \delta (E^{2}-k^{2}-m^{2})|E,k\rangle \langle E,k|\,dE\,dk=\int {dk \over 2E}|k\rangle \langle k|\,.

$Por lo tanto, los estados k$ normalizados difieren de los estados $k$ normalizados relativísticamente por un factor de

{\sqrt {E}}=\left(k^{2}-m^{2}\right)^{\frac {1}{4}}\,.

La amplitud invariante $M$ es entonces la amplitud de probabilidad de que los estados entrantes normalizados relativísticamente se conviertan en estados salientes normalizados relativísticamente.

Para valores no relativistas de $k$ , la normalización relativista es la misma que la normalización no relativista (salvo un factor constante). ${\sqrt {m}}$ ). En este límite, la amplitud de dispersión invariante $φ 4$ sigue siendo constante. Las partículas creadas por el campo $φ$ se dispersan en todas las direcciones con igual amplitud.

El potencial no relativista, que dispersa en todas direcciones con igual amplitud (en la aproximación de Born ), es aquel cuya transformada de Fourier es constante: un potencial de función delta. La dispersión de orden más bajo de la teoría revela su interpretación no relativista: describe un conjunto de partículas con una repulsión de función delta. Dos de estas partículas tienen aversión a ocupar el mismo punto al mismo tiempo.

Efectos no perturbadores

Si consideramos los diagramas de Feynman como una serie de perturbaciones , los efectos no perturbativos, como el efecto túnel, no aparecen, ya que cualquier efecto que tienda a cero más rápido que cualquier polinomio no afecta a la serie de Taylor. Incluso los estados ligados están ausentes, puesto que en cualquier orden finito las partículas solo se intercambian un número finito de veces, y para que exista un estado ligado, la fuerza de enlace debe durar indefinidamente.

Pero este punto de vista es engañoso, porque los diagramas no solo describen la dispersión, sino que también representan las correlaciones de la teoría de campos a corta distancia. Codifican no solo procesos asintóticos como la dispersión de partículas, sino que también describen las reglas de multiplicación para campos, la expansión del producto de operadores . Los procesos de tunelización no perturbativos implican configuraciones de campo que, en promedio, aumentan cuando la constante de acoplamiento disminuye, pero cada configuración es una superposición coherente de partículas cuyas interacciones locales se describen mediante diagramas de Feynman. Cuando el acoplamiento es pequeño, estos se convierten en procesos colectivos que involucran un gran número de partículas, pero donde las interacciones entre cada una de ellas son simples. (La serie de perturbaciones de cualquier teoría cuántica de campos con interacción tiene un radio de convergencia cero , lo que complica el límite de la serie infinita de diagramas necesarios (en el límite de acoplamiento nulo) para describir dichas configuraciones de campo).

Esto significa que los efectos no perturbativos aparecen asintóticamente en resumas de clases infinitas de diagramas, y estos diagramas pueden ser localmente simples. Los gráficos determinan las ecuaciones de movimiento locales, mientras que las configuraciones a gran escala permitidas describen la física no perturbativa. Pero debido a que los propagadores de Feynman no son locales en el tiempo, traducir un proceso de campo a un lenguaje de partículas coherente no es completamente intuitivo, y solo se ha desarrollado explícitamente en ciertos casos especiales. En el caso de estados ligados no relativistas , la ecuación de Bethe-Salpeter describe la clase de diagramas que se deben incluir para describir un átomo relativista. Para la cromodinámica cuántica , las reglas de suma de Shifman-Vainshtein-Zakharov describen modos de campo de longitud de onda larga excitados no perturbativamente en lenguaje de partículas, pero solo de una manera fenomenológica.

El número de diagramas de Feynman en órdenes superiores de la teoría de perturbaciones es muy grande, ya que existen tantos diagramas como grafos con un número dado de nodos. Los efectos no perturbativos dejan una huella en la forma en que divergen el número de diagramas y resumas en órdenes superiores. Solo porque los efectos no perturbativos aparecen de forma oculta en los diagramas fue posible analizarlos en la teoría de cuerdas, donde en muchos casos la descripción de Feynman es la única disponible.

En la cultura popular

El uso del diagrama anterior de la partícula virtual que produce un par quark - antiquark apareció en la comedia televisiva The Big Bang Theory , en el episodio "The Bat Jar Conjecture".
PhD Comics del 11 de enero de 2012 muestra diagramas de Feynman que visualizan y describen interacciones académicas cuánticas , es decir, los caminos que siguen los estudiantes de doctorado al interactuar con sus asesores.^{[ 12 ]}
El relato de ciencia ficción " Diagramas de vacío" , de Stephen Baxter , presenta el diagrama de vacío que da título a la obra, un tipo específico de diagrama de Feynman.
Feynman y su esposa, Gweneth Howarth, compraron una Dodge Tradesman Maxivan en 1975 y la hicieron pintar con diagramas de Feynman. ^{[ 13 ]} La furgoneta es actualmente propiedad del diseñador de videojuegos y físico Seamus Blackley . ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}^{[ 18 ]}^{[ 19 ]} Qantum era la identificación de la matrícula. ^{[ 20 ]}

Véase también

Notas

↑ "La contribución de Dyson consistió en indicar cómo podían utilizarse las ideas visuales de Feynman [...] Se dio cuenta de que los diagramas de Feynman [...] también pueden considerarse una representación del contenido lógico de las teorías de campos (tal como se expresan en sus expansiones perturbativas)". Schweber, op. cit. (1994)

Referencias

↑ Kaiser, David (2005). "Física y diagramas de Feynman" (PDF) . American Scientist . 93 (2): 156. doi : 10.1511/2005.52.957 . Archivado (PDF) del original el 27 de mayo de 2012.
↑ "Por qué los diagramas de Feynman son tan importantes" . Quanta Magazine . 5 de julio de 2016. Consultado el 16 de junio de 2020 .
↑ Feynman, Richard (1949). "La teoría de los positrones" . Physical Review . 76 (6): 749– 759. Bibcode : 1949PhRv...76..749F . doi : 10.1103/PhysRev.76.749 . S2CID 120117564. Archivado del original el 09-08-2022 . Recuperado el 12-11-2021 . En esta solución, los "estados de energía negativa" aparecen en una forma que puede ser representada (como por Stückelberg) en el espacio-tiempo como ondas que viajan desde el potencial externo hacia atrás en el tiempo. Experimentalmente, dicha onda corresponde a un positrón que se acerca al potencial y aniquila al electrón.
↑ Penco, R.; Mauro, D. (2006). "Teoría de perturbaciones mediante diagramas de Feynman en mecánica clásica". European Journal of Physics . 27 (5): 1241– 1250. arXiv : hep-th/0605061 . Bibcode : 2006EJPh...27.1241P . doi : 10.1088/0143-0807/27/5/023 . S2CID 2895311 .
↑ George Johnson (julio de 2000). "El jaguar y el zorro" . The Atlantic . Consultado el 26 de febrero de 2013 .
↑ Gribbin, John; Gribbin, Mary (1997). "5". Richard Feynman: Una vida en la ciencia . Penguin-Putnam.
↑ Mlodinow, Leonard (2011). El arco iris de Feynman . Vintage. pág. 29.
↑ Gerardus 't Hooft, Martinus Veltman, Diagrammar , Informe Amarillo del CERN 1973, reimpreso en G. 't Hooft, Bajo el hechizo del principio de calibre (World Scientific, Singapur, 1994), Introducción en línea Archivado el 19 de marzo de 2005 en Wayback Machine
↑ Martinus Veltman, Diagrammatica: El camino hacia los diagramas de Feynman , Cambridge Lecture Notes in Physics, ISBN 0-521-45692-4
↑ Bjorken, JD; Drell, SD (1965). Campos cuánticos relativistas . Nueva York: McGraw-Hill. pág. viii. ISBN 978-0-07-005494-3.
↑ Fetter, Alexander L.; Walecka, John Dirk (2003-06-20). Teoría cuántica de sistemas de muchas partículas . Courier Corporation. ISBN 978-0-486-42827-7.
↑ Jorge Cham , Interacción académica – Diagramas de Feynman , 11 de enero de 2012.
↑ Jepsen, Kathryn (5 de agosto de 2014). "Salvando la furgoneta Feynman" . Symmetry Magazine . Consultado el 23 de junio de 2022 .
↑ Dubner, Stephen J. (7 de febrero de 2024). "El brillante Sr. Feynman" . Freakonomics . Consultado el 9 de febrero de 2024 .
↑ «Fermilab Hoy» . www.fnal.gov .
↑
- Vías para avances teóricos en visualización
- Enero de 2017
- Gráficos por computadora y aplicaciones IEEE
- 37(4):103-112
- DOI:10.1109/MCG.2017.3271463
- https://www.researchgate.net/publication/319224539
↑ "Fermilab | Exposición TUFTE | 12 de abril - 26 de junio de 2014 | Acerca de la exposición" . www.fnal.gov .
↑
- Harald Fritzsch
- https://www.marinabaysands.com/content/dam/singapore/marinabaysands/master/main/home/museum/Feynman/Richard%20Feynman%20by%20Harald%20Fritzsch.pdf
↑ "Los garabatos del Dr. Feynman" . 12 de julio de 2005.
↑ "Quantum" . Liz Alzona Art .

Fuentes

Veltman, Martinus JG; 'T Hooft, Gerardus (1973). Diagrammar (Reporte). Informe amarillo del CERN. doi : 10.5170/CERN-1973-009 .
Kaiser, David (2005). Desmontando teorías: la dispersión de los diagramas de Feynman en la física de posguerra . Chicago: University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-42266-4.
Veltman, Martinus (16 de junio de 1994). Diagrammatica: El camino hacia los diagramas de Feynman . Cambridge Lecture Notes in Physics. ISBN 0-521-45692-4.(Versión ampliada y actualizada de 't Hooft y Veltman, 1973, citada anteriormente)
Srednicki, Mark Allen (2006). Teoría cuántica de campos . Manuscrito ( edición preliminar). Santa Bárbara, California: Universidad de California, Santa Bárbara . Archivado del original el 25 de julio de 2011. Consultado el 28 de enero de 2011 .
Schweber, Silvan S. (1994). QED y los hombres que la hicieron posible: Dyson, Feynman, Schwinger y Tomonaga . Serie Princeton en física. Princeton, NJ: Princeton University Press . ISBN 978-0-691-03327-3.

Enlaces externos

Artículo de la AMS: "Novedades en matemáticas: Diagramas de Feynman de dimensión finita"
Cómo dibujar diagramas de Feynman explicados por Flip Tanedo en Quantumdiaries.com
Creación de diagramas de Feynman con la biblioteca FeynDiagram de C++, que genera una salida PostScript.
Herramienta de diagramación en línea: Una aplicación gráfica para crear diagramas listos para su publicación.
JaxoDraw: Un programa Java para dibujar diagramas de Feynman.
Bowley, Roger; Copeland, Ed (2010). "Diagramas de Feynman" . Sesenta símbolos . Brady Haran para la Universidad de Nottingham .

[7] "La contribución de Dyson consistió en indicar cómo podían utilizarse las ideas visuales de Feynman [...] Se dio cuenta de que los diagramas de Feynman [...] también pueden considerarse una representación del contenido lógico de las teorías de campos (tal como se expresan en sus expansiones perturbativas)". Schweber, op. cit. (1994)

[Kaiser_2005-1] Kaiser, David (2005). "Física y diagramas de Feynman" (PDF) . American Scientist . 93 (2): 156. doi : 10.1511/2005.52.957 . Archivado (PDF) del original el 27 de mayo de 2012.

[2] "Por qué los diagramas de Feynman son tan importantes" . Quanta Magazine . 5 de julio de 2016. Consultado el 16 de junio de 2020 .

[Feynman_1949-3] Feynman, Richard (1949). "La teoría de los positrones" . Physical Review . 76 (6): 749– 759. Bibcode : 1949PhRv...76..749F . doi : 10.1103/PhysRev.76.749 . S2CID 120117564. Archivado del original el 09-08-2022 . Recuperado el 12-11-2021 . En esta solución, los "estados de energía negativa" aparecen en una forma que puede ser representada (como por Stückelberg) en el espacio-tiempo como ondas que viajan desde el potencial externo hacia atrás en el tiempo. Experimentalmente, dicha onda corresponde a un positrón que se acerca al potencial y aniquila al electrón.

[4] Penco, R.; Mauro, D. (2006). "Teoría de perturbaciones mediante diagramas de Feynman en mecánica clásica". European Journal of Physics . 27 (5): 1241– 1250. arXiv : hep-th/0605061 . Bibcode : 2006EJPh...27.1241P . doi : 10.1088/0143-0807/27/5/023 . S2CID 2895311 .

[5] George Johnson (julio de 2000). "El jaguar y el zorro" . The Atlantic . Consultado el 26 de febrero de 2013 .

[6] Gribbin, John; Gribbin, Mary (1997). "5". Richard Feynman: Una vida en la ciencia . Penguin-Putnam.

[8] Mlodinow, Leonard (2011). El arco iris de Feynman . Vintage. pág. 29.

[9] Gerardus 't Hooft, Martinus Veltman, Diagrammar , Informe Amarillo del CERN 1973, reimpreso en G. 't Hooft, Bajo el hechizo del principio de calibre (World Scientific, Singapur, 1994), Introducción en línea Archivado el 19 de marzo de 2005 en Wayback Machine

[10] Martinus Veltman, Diagrammatica: El camino hacia los diagramas de Feynman , Cambridge Lecture Notes in Physics, ISBN 0-521-45692-4

[11] Bjorken, JD; Drell, SD (1965). Campos cuánticos relativistas . Nueva York: McGraw-Hill. pág. viii. ISBN 978-0-07-005494-3.

[12] Fetter, Alexander L.; Walecka, John Dirk (2003-06-20). Teoría cuántica de sistemas de muchas partículas . Courier Corporation. ISBN 978-0-486-42827-7.

[13] Jorge Cham , Interacción académica – Diagramas de Feynman , 11 de enero de 2012.

[14] Jepsen, Kathryn (5 de agosto de 2014). "Salvando la furgoneta Feynman" . Symmetry Magazine . Consultado el 23 de junio de 2022 .

[Freakonomics-15] Dubner, Stephen J. (7 de febrero de 2024). "El brillante Sr. Feynman" . Freakonomics . Consultado el 9 de febrero de 2024 .

[16] «Fermilab Hoy» . www.fnal.gov .

[17] 
Vías para avances teóricos en visualización
Enero de 2017
Gráficos por computadora y aplicaciones IEEE
37(4):103-112
DOI:10.1109/MCG.2017.3271463
https://www.researchgate.net/publication/319224539

[mwBlk] Vías para avances teóricos en visualización

[mwBlo] Enero de 2017

[mwBls] Gráficos por computadora y aplicaciones IEEE

[mwBlw] 37(4):103-112

[mwBl0] DOI:10.1109/MCG.2017.3271463

[mwBl4] ttps://www.researchgate.net/publication/319224539

[18] "Fermilab | Exposición TUFTE | 12 de abril - 26 de junio de 2014 | Acerca de la exposición" . www.fnal.gov .

[19] 
Harald Fritzsch
https://www.marinabaysands.com/content/dam/singapore/marinabaysands/master/main/home/museum/Feynman/Richard%20Feynman%20by%20Harald%20Fritzsch.pdf

[mwBm8] Harald Fritzsch

[mwBnE] ttps://www.marinabaysands.com/content/dam/singapore/marinabaysands/master/main/home/museum/Feynman/Richard%20Feynman%20by%20Harald%20Fritzsch.pdf

[auto-20] "Los garabatos del Dr. Feynman" . 12 de julio de 2005.

[21] "Quantum" . Liz Alzona Art .

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Motivación e historia

Nombres alternativos

Representación de la realidad física

Interpretación de la trayectoria de las partículas

Descripción

Ejemplo de aniquilación electrón-positrón

Formulación de cuantización canónica

Reglas de Feynman

Ejemplo: procesos de segundo orden en QED

Dispersión de fermiones

Dispersión Compton y aniquilación/generación de pares e − e +

Formulación de la integral de trayectoria

Lagrangiano de campo escalar

En una red

Montecarlo

Propagador escalar

Ecuación de movimiento

Teorema de Wick

Momentos gaussianos superiores: completando el teorema de Wick

Interacción

Diagramas de Feynman

Orden del bucle

Factores de simetría

Diagramas conectados: teorema del clúster enlazado

burbujas de vacío

Fuentes

Giro 1/2 ; " fotones" y " fantasmas "

Spin ⁠ 1 / 2 ⁠ : Integrales de Grassmann

Espín 1: fotones

Giro 1: fantasmas no abelianos

Representación de la trayectoria de las partículas

Representación de Schwinger

Combinando denominadores

Dispersión

Efectos no perturbadores

En la cultura popular

Véase también

Notas

Referencias

Fuentes

Enlaces externos

Dispersión Compton y aniquilación/generación de pares e ⁻ e ⁺