Imagen de interacción

En mecánica cuántica , la representación de interacción (también conocida como representación de interacción o representación de Dirac , en honor a Paul Dirac , quien la introdujo) ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} es una representación intermedia entre la representación de Schrödinger y la representación de Heisenberg . Mientras que en las otras dos representaciones el vector de estado o los operadores presentan dependencia temporal, en la representación de interacción ambos presentan parte de la dependencia temporal de las observables . ^{[ 3 ]} La representación de interacción es útil para tratar los cambios en las funciones de onda y las observables debido a las interacciones. La mayoría de los cálculos de teoría de campos ^{[ 4 ]} utilizan la representación de interacción porque construyen la solución de la ecuación de Schrödinger de muchos cuerpos como la solución de partículas libres en presencia de algunas partes interactuantes desconocidas.

Las ecuaciones que incluyen operadores que actúan en diferentes instantes de tiempo, válidas en la representación de interacción, no necesariamente se cumplen en las representaciones de Schrödinger o Heisenberg. Esto se debe a que las transformaciones unitarias dependientes del tiempo relacionan los operadores de una representación con los operadores análogos de las otras.

La representación de interacción es un caso especial de transformación unitaria aplicada al hamiltoniano y a los vectores de estado.

El teorema de Haag dice que la imagen de interacción no existe en el caso de campos cuánticos que interactúan .

Definición

Los operadores y vectores de estado en la representación de interacción están relacionados mediante un cambio de base ( transformación unitaria ) con esos mismos operadores y vectores de estado en la representación de Schrödinger.

Para pasar a la imagen de interacción, dividimos el hamiltoniano de la imagen de Schrödinger en dos partes:

$H_{\text{S}}=H_{0,{\text{S}}}+H_{1,{\text{S}}}.$

Cualquier elección posible de partes dará como resultado una imagen de interacción válida; pero para que la imagen de interacción sea útil para simplificar el análisis de un problema, las partes normalmente se elegirán de manera que H _0,S se entienda bien y sea exactamente soluble, mientras que H _1,S contenga alguna perturbación más difícil de analizar para este sistema.

Si el hamiltoniano tiene una dependencia temporal explícita (por ejemplo, si el sistema cuántico interactúa con un campo eléctrico externo aplicado que varía en el tiempo), normalmente será ventajoso incluir los términos explícitamente dependientes del tiempo con H _1,S , dejando H _0,S independiente del tiempo:

$H_{\text{S}}(t)=H_{0,{\text{S}}}+H_{1,{\text{S}}}(t).$

Procedemos asumiendo que este es el caso. Si existe un contexto en el que tenga sentido que H _0,S dependa del tiempo, entonces se puede proceder reemplazando $\mathrm {e} ^{\pm \mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }$ mediante el operador de evolución temporal correspondiente en las definiciones que figuran a continuación.

Vectores de estado

Dejar $|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{\text{S}}t/\hbar }|\psi (0)\rangle$ sea el vector de estado dependiente del tiempo en la imagen de Schrödinger. Un vector de estado en la imagen de interacción, $|\psi _{\text{I}}(t)\rangle$ , se define con una transformación unitaria adicional dependiente del tiempo. ^{[ 5 ]}

$|\psi _{\text{I}}(t)\rangle ={\text{e}}^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }|\psi _{\text{S}}(t)\rangle .$

Operadores

Un operador en la imagen de interacción se define como

$A_{\text{I}}(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }A_{\text{S}}(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }.$

Nótese que A _S ( t ) normalmente no depende de $t$ y puede reescribirse simplemente como A _S . Solo depende de $t$ si el operador tiene una "dependencia temporal explícita", por ejemplo, debido a su dependencia de un campo eléctrico externo variable en el tiempo. Otro caso de dependencia temporal explícita puede ocurrir cuando A _S ( t ) es una matriz de densidad (véase más adelante).

operador hamiltoniano

Para el operador $H_{0}$ En sí, la imagen de interacción y la imagen de Schrödinger coinciden:

H_{0,{\text{I}}}(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }H_{0,{\text{S}}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }=H_{0,{\text{S}}}.

Esto se ve fácilmente a través del hecho de que los operadores conmutan con funciones diferenciables de sí mismos. Este operador en particular puede entonces llamarse $H_{0}$ sin ambigüedad.

Para el hamiltoniano de perturbación $H_{1,{\text{I}}}$ , sin embargo,

H_{1,{\text{I}}}(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }H_{1,{\text{S}}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar },

donde el hamiltoniano de perturbación de la imagen de interacción se convierte en un hamiltoniano dependiente del tiempo, a menos que [ H _1,S , H _0,S ] = 0.

También es posible obtener la imagen de interacción para un hamiltoniano dependiente del tiempo H _0,S ( t ), pero las exponenciales deben ser reemplazadas por el propagador unitario para la evolución generada por H _0,S ( t ), o más explícitamente con una integral exponencial ordenada en el tiempo.

Matriz de densidad

Se puede demostrar que la matriz de densidad se transforma en la imagen de interacción de la misma manera que cualquier otro operador. En particular, sean $ρ I$ y $ρ S$ las matrices de densidad en la imagen de interacción y la imagen de Schrödinger, respectivamente. Si existe una probabilidad $p n$ de estar en el estado físico | ψ _n ⟩, entonces

{\begin{aligned}\rho _{\text{I}}(t)&=\sum _{n}p_{n}(t)\left|\psi _{n,{\text{I}}}(t)\right\rangle \left\langle \psi _{n,{\text{I}}}(t)\right|\\&=\sum _{n}p_{n}(t)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }\left|\psi _{n,{\text{S}}}(t)\right\rangle \left\langle \psi _{n,{\text{S}}}(t)\right|\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }\\&=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }\rho _{\text{S}}(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }.\end{aligned}}

Evolución temporal

Evolución temporal de los estados

Transformar la ecuación de Schrödinger en la imagen de interacción da como resultado

\mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}|\psi _{\text{I}}(t)\rangle =H_{1,{\text{I}}}(t)|\psi _{\text{I}}(t)\rangle ,

que establece que en la representación de interacción, un estado cuántico evoluciona mediante la parte de interacción del hamiltoniano tal como se expresa en dicha representación. ^{[ 6 ]} Una demostración se presenta en Fetter y Walecka. ^{[ 7 ]}

Evolución temporal de los operadores

Si el operador A _S es independiente del tiempo (es decir, no tiene "dependencia temporal explícita"; véase más arriba), entonces la evolución temporal correspondiente para A _I ( t ) viene dada por

\mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}A_{\text{I}}(t)=[A_{\text{I}}(t),H_{0,{\text{S}}}].

En la imagen de interacción, los operadores evolucionan en el tiempo como los operadores en la imagen de Heisenberg con el hamiltoniano $H' = H 0$ .

Evolución temporal de la matriz de densidad

La evolución de la matriz de densidad en la imagen de interacción es

\mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\rho _{\text{I}}(t)=[H_{1,{\text{I}}}(t),\rho _{\text{I}}(t)],

en concordancia con la ecuación de Schrödinger en la imagen de interacción.

Valores esperados

Para un operador general $A$ , el valor esperado en la imagen de interacción viene dado por

\langle A_{\text{I}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{I}}(t)|A_{\text{I}}(t)|\psi _{\text{I}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{S}}(t)|e^{-iH_{0,{\text{S}}}t}e^{iH_{0,{\text{S}}}t}\,A_{\text{S}}\,e^{-iH_{0,{\text{S}}}t}e^{iH_{0,{\text{S}}}t}|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\langle A_{\text{S}}(t)\rangle .

Utilizando la expresión de la matriz de densidad para el valor esperado, obtendremos

\langle A_{\text{I}}(t)\rangle =\operatorname {Tr} {\big (}\rho _{\text{I}}(t)\,A_{\text{I}}(t){\big )}.

ecuación de Schwinger-Tomonaga

El término representación de interacción fue inventado por Schwinger. ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]} En esta nueva representación mixta, el vector de estado ya no es constante en general, pero sí lo es si no hay acoplamiento entre campos. El cambio de representación conduce directamente a la ecuación de Tomonaga-Schwinger: ^{[ 10 ]}^{[ 9 ]}

ihc{\frac {\partial \Psi [\sigma ]}{\partial \sigma (x)}}={\hat {H}}(x)\Psi (\sigma )

{\hat {H}}(x)=-{\frac {1}{c}}j_{\mu }(x)A^{\mu }(x)

Donde el hamiltoniano en este caso es el hamiltoniano de interacción QED, pero también puede ser una interacción genérica, y $\sigma$ es una superficie espacial que pasa por el punto $x$ La derivada representa formalmente una variación sobre esa superficie dada $x$ fijo. Es difícil dar una interpretación matemática formal precisa de esta ecuación. ^{[ 11 ]}

Schwinger denomina a este enfoque "diferencial" y "de campo", en contraposición al enfoque "integral" y "de partículas" de los diagramas de Feynman. ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}

La idea central es que si la interacción tiene una constante de acoplamiento pequeña (es decir, en el caso del electromagnetismo del orden de la constante de estructura fina), los términos perturbativos sucesivos serán potencias de la constante de acoplamiento y, por lo tanto, más pequeños. ^{[ 14 ]}

Usar

El propósito de la imagen de interacción es transferir toda la dependencia temporal debida a H ₀ a los operadores, permitiéndoles así evolucionar libremente y dejando solo a H _1,I para controlar la evolución temporal de los vectores de estado.

La imagen de interacción es conveniente cuando se considera el efecto de un pequeño término de interacción, H _1,S , que se agrega al hamiltoniano de un sistema resuelto, H _0,S . Al utilizar la imagen de interacción, se puede usar la teoría de perturbación dependiente del tiempo para encontrar el efecto de H _1,I , ^{[ 15 ]}^{: 355ff} eg, en la derivación de la regla de oro de Fermi , ^{[ 15 ]}^{: 359–363} o la serie de Dyson ^{[ 15 ]}^{: 355–357} en la teoría cuántica de campos : en 1947, Shin'ichirō Tomonaga y Julian Schwinger apreciaron que la teoría de perturbación covariante podría formularse elegantemente en la imagen de interacción, ya que los operadores de campo pueden evolucionar en el tiempo como campos libres, incluso en presencia de interacciones, ahora tratadas perturbativamente en dicha serie de Dyson.

Comparación resumida de la evolución en todas las imágenes

Para un hamiltoniano independiente del tiempo H _S , donde H _0,S es el hamiltoniano libre,

Referencias

↑ Duck, Ian; Sudarshan, ECG (1998). «Capítulo 6: La invención de la teoría cuántica de campos por Dirac». Pauli y el teorema de la estadística de espín . World Scientific Publishing. págs. 149–167 . ISBN 978-9810231149.
↑ "Representación de la interacción" (PDF) . courses.physics.illinois . Archivado (PDF) del original el 24 de mayo de 2024.
↑ Albert Messiah (1966). Mecánica cuántica , North Holland, John Wiley & Sons. ISBN 0486409244; JJ Sakurai (1994). Mecánica cuántica moderna (Addison-Wesley) ISBN 9780201539295.
↑ JW Negele, H. Orland (1988), Sistemas cuánticos de muchas partículas, ISBN 0738200522.
↑ "La imagen de interacción, apuntes de clase de la Universidad de Nueva York" . Archivado del original el 4 de septiembre de 2013.
↑ Teoría cuántica de campos para aficionados con talento, capítulo 18: para quienes vieron que se la denominaba ecuación de Schwinger-Tomonaga, cabe aclarar que no se trata de dicha ecuación. Esta es una generalización de la ecuación de Schrödinger a foliaciones arbitrarias del espaciotiempo con características espaciales.
↑ Fetter, Alexander L.; Walecka, John Dirk (1971). Teoría cuántica de sistemas de muchas partículas . McGraw-Hill. pág. 55. ISBN 978-0-07-020653-3.
↑ Schwinger, J. (1958), Artículos seleccionados sobre electrodinámica cuántica , Dover, pág. 151, ISBN 0-486-60444-6{{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
1 2 Schwinger, J. (1948), "Electrodinámica cuántica. I. Una formulación covariante." , Physical Review , 74 (10): 1439– 1461, Bibcode : 1948PhRv...74.1439S , doi : 10.1103/PhysRev.74.1439
↑ Schwinger, J. (1958), Artículos seleccionados sobre electrodinámica cuántica , Dover, págs. 151, 163, 170, 276, ISBN 0-486-60444-6{{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
↑ Wakita, Hitoshi (1976), "Integración de la ecuación de Tomonaga-Schwinger" , Communications in Mathematical Physics , 50 (1): 61– 68, Bibcode : 1976CMaPh..50...61W , doi : 10.1007/BF01608555 , S2CID 122590381
↑ Discurso de Schwinger al recibir el Premio Nobel (PDF) , pág. 140. Schwinger denomina informalmente al método diferencial como un enfoque local y al método integral como un tipo de enfoque global. El término «global» se utiliza aquí con respecto al dominio de integración.
↑ Schwinger, J. (1958), Artículos seleccionados sobre electrodinámica cuántica , Dover, pág. xiii, prefacio, ISBN 0-486-60444-6,Schwinger denomina informalmente enfoque local a la referencia a campos también en el contexto de acciones locales. Las partículas son propiedades emergentes de un enfoque integral aplicado al campo, o enfoque promediado. Al mismo tiempo, establece una analogía con la distinción clásica entre partículas y campos, y muestra cómo se realiza esto para campos cuánticos.{{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
↑ Schwinger, J. (1958), Artículos seleccionados sobre electrodinámica cuántica , Dover, pág. 152, ISBN 0-486-60444-6{{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
1 2 3 Sakurai, JJ; Napolitano, Jim (2010), Mecánica cuántica moderna (2.ª ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0805382914

Lecturas adicionales

LD Landau ; EM Lifshitz (1977). Mecánica cuántica: Teoría no relativista . Vol. 3 (3.ª ed.). Pergamon Press . ISBN 978-0-08-020940-1.
Townsend, John S. (2000). Un enfoque moderno de la mecánica cuántica (2.ª ed.). Sausalito, California: University Science Books. ISBN 1-891389-13-0.

Véase también

[:4-1] Duck, Ian; Sudarshan, ECG (1998). «Capítulo 6: La invención de la teoría cuántica de campos por Dirac». Pauli y el teorema de la estadística de espín . World Scientific Publishing. págs. 149–167 . ISBN 978-9810231149.

[2] "Representación de la interacción" (PDF) . courses.physics.illinois . Archivado (PDF) del original el 24 de mayo de 2024.

[3] Albert Messiah (1966). Mecánica cuántica , North Holland, John Wiley & Sons. ISBN 0486409244; JJ Sakurai (1994). Mecánica cuántica moderna (Addison-Wesley) ISBN 9780201539295.

[4] JW Negele, H. Orland (1988), Sistemas cuánticos de muchas partículas, ISBN 0738200522.

[5] "La imagen de interacción, apuntes de clase de la Universidad de Nueva York" . Archivado del original el 4 de septiembre de 2013.

[6] Teoría cuántica de campos para aficionados con talento, capítulo 18: para quienes vieron que se la denominaba ecuación de Schwinger-Tomonaga, cabe aclarar que no se trata de dicha ecuación. Esta es una generalización de la ecuación de Schrödinger a foliaciones arbitrarias del espaciotiempo con características espaciales.

[7] Fetter, Alexander L.; Walecka, John Dirk (1971). Teoría cuántica de sistemas de muchas partículas . McGraw-Hill. pág. 55. ISBN 978-0-07-020653-3.

[Schwinger-8] Schwinger, J. (1958), Artículos seleccionados sobre electrodinámica cuántica , Dover, pág. 151, ISBN 0-486-60444-6{{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

[Schwinger0-9] 1 2 Schwinger, J. (1948), "Electrodinámica cuántica. I. Una formulación covariante." , Physical Review , 74 (10): 1439– 1461, Bibcode : 1948PhRv...74.1439S , doi : 10.1103/PhysRev.74.1439

[Schwinger1-10] Schwinger, J. (1958), Artículos seleccionados sobre electrodinámica cuántica , Dover, págs. 151, 163, 170, 276, ISBN 0-486-60444-6{{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

[Wakita1976-11] Wakita, Hitoshi (1976), "Integración de la ecuación de Tomonaga-Schwinger" , Communications in Mathematical Physics , 50 (1): 61– 68, Bibcode : 1976CMaPh..50...61W , doi : 10.1007/BF01608555 , S2CID 122590381

[SchwingerNP-12] Discurso de Schwinger al recibir el Premio Nobel (PDF) , pág. 140. Schwinger denomina informalmente al método diferencial como un enfoque local y al método integral como un tipo de enfoque global. El término «global» se utiliza aquí con respecto al dominio de integración.

[Schwinger3-13] Schwinger, J. (1958), Artículos seleccionados sobre electrodinámica cuántica , Dover, pág. xiii, prefacio, ISBN 0-486-60444-6,Schwinger denomina informalmente enfoque local a la referencia a campos también en el contexto de acciones locales. Las partículas son propiedades emergentes de un enfoque integral aplicado al campo, o enfoque promediado. Al mismo tiempo, establece una analogía con la distinción clásica entre partículas y campos, y muestra cómo se realiza esto para campos cuánticos.{{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

[Schwinger2-14] Schwinger, J. (1958), Artículos seleccionados sobre electrodinámica cuántica , Dover, pág. 152, ISBN 0-486-60444-6{{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

[Sakurai-15] 1 2 3 Sakurai, JJ; Napolitano, Jim (2010), Mecánica cuántica moderna (2.ª ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0805382914

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