Derivación (álgebra diferencial)

En matemáticas , una derivación es una función en un álgebra que generaliza ciertas características del operador de derivada . Específicamente, dada un álgebra${\displaystyle A}$sobre un anillo o un campo${\displaystyle K}$, a${\displaystyle K}$-derivación es una${\displaystyle K}$- mapa lineal${\displaystyle D:A\to A}$que satisface la ley de Leibniz :

${\displaystyle D(ab)=aD(b)+D(a)b.}$

En términos más generales, si${\displaystyle M}$es un${\displaystyle A}$- bimódulo , un${\displaystyle K}$-mapa lineal${\displaystyle D:A\to M}$que satisface la ley de Leibniz también se llama derivación. La colección de todas${\displaystyle K}$-derivaciones de${\displaystyle A}$a sí mismo se denota por${\displaystyle \mathrm {Der} _ {K}(A)}$. La colección de${\displaystyle K}$-derivaciones de${\displaystyle A}$en un${\displaystyle A}$-módulo${\displaystyle M}$se denota por${\displaystyle \mathrm {Der} _ {K}(A,M)}$.

Las derivaciones se presentan en muchos contextos diferentes en diversas áreas de las matemáticas. La derivada parcial con respecto a una variable es una${\displaystyle \mathbb {R} }$-derivación sobre el álgebra de funciones diferenciables de valor real en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. La derivada de Lie con respecto a un campo vectorial es una${\displaystyle \mathbb {R} }$-derivación en el álgebra de funciones diferenciables en una variedad diferenciable ; más generalmente es una derivación en el álgebra tensorial de una variedad. De ello se deduce que la representación adjunta de un álgebra de Lie es una derivación en esa álgebra. La derivada de Pincherle es un ejemplo de una derivación en álgebra abstracta . Si el álgebra${\displaystyle A}$es no conmutativo, entonces el conmutador con respecto a un elemento del álgebra${\displaystyle A}$define un endomorfismo lineal de${\displaystyle A}$a sí mismo, que es una derivación sobre${\displaystyle K}$. Eso es,

${\displaystyle [FG,N]=[F,N]G+F[G,N]\,,}$

dónde${\displaystyle [\cdot ,N]}$es el conmutador con respecto a${\displaystyle N}$. Un álgebra${\displaystyle A}$equipado con una derivación distinguida${\displaystyle d}$Constituye un álgebra diferencial y es en sí misma un objeto de estudio significativo en áreas como la teoría diferencial de Galois .

Si${\displaystyle A}$es un${\displaystyle K}$-álgebra, para${\displaystyle K}$un anillo, y D :${\displaystyle A}$→${\displaystyle A}$es un${\displaystyle K}$-derivación, entonces

• Si${\displaystyle A}$tiene una unidad 1, entonces${\displaystyle D(1)=D(1^{2})=2D(1)}$, de modo que${\displaystyle D(1)=0}$. Así pues por${\displaystyle K}$-linealidad,${\displaystyle D(k)=0}$a pesar de${\displaystyle k\in K}$.
• Si${\displaystyle A}$es conmutativo, entonces${\displaystyle D(x^{2})=xD(x)+D(x)x=2xD(x)}$, y${\displaystyle D(x^{n})=nx^{n-1}D(x)}$, según la regla de Leibniz.
• En términos más generales, para cualquier${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\in A}$, por inducción se deduce que

  ${\displaystyle D(x_{1}x_{2}\cdots x_{n})=\sum _{i}x_{1}\cdots x_{i-1}D(x_{i})x_{i+1}\cdots x_{n}}$

que es${\displaystyle \textstyle \sum _{i}D(x_{i})\prod _{j\neq i}x_{j}}$si para todos${\displaystyle i}$,${\displaystyle D(x_{i})}$se desplaza con${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i-1}}$.

• Para${\displaystyle n>1}$,${\displaystyle D^{n}}$no es una derivación, sino que satisface una regla de Leibniz de orden superior:

${\displaystyle D^{n}(uv)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cdot D^{nk}(u)\cdot D^{k}(v).}$

Además, si${\displaystyle M}$es un${\displaystyle A}$-bimodule, escribir

${\displaystyle \operatorname {Der} _{K}(A,M)}$

para el conjunto de${\displaystyle K}$-derivaciones de${\displaystyle A}$a${\displaystyle M}$.

• ${\displaystyle \mathrm {Der} _ {K}(A,M)}$es un módulo sobre${\displaystyle K}$.
• ${\displaystyle \mathrm {Der} _ {K}(A)}$es un álgebra de Lie con corchete de Lie definido por el conmutador :

${\displaystyle [D_{1},D_{2}]=D_{1}\circ D_{2}-D_{2}\circ D_{1}.}$

puesto que se verifica fácilmente que el conmutador de dos derivaciones es de nuevo una derivación.

• Hay un${\displaystyle A}$-módulo${\displaystyle \Omega _{A/K}}$(llamadas diferenciales de Kähler ) con una${\displaystyle K}$-derivación${\displaystyle d:A\to \Omega _{A/K}}$a través de la cual cualquier derivación${\displaystyle D:A\to M}$factores. Es decir, para cualquier derivación${\displaystyle D}$'hay un${\displaystyle A}$-mapa del módulo${\displaystyle \varphi }$con

${\displaystyle D:A{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\Omega _{A/K}{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}M}$

La correspondencia${\displaystyle D\leftrightarrow \varphi }$es un isomorfismo de${\displaystyle A}$-módulos:

${\displaystyle \operatorname {Der} _{K}(A,M)\simeq \operatorname {Hom} _{A}(\Omega _{A/K},M)}$

• Si${\displaystyle k\subset K}$es un subanillo , entonces${\displaystyle A}$hereda un${\displaystyle k}$-estructura de álgebra, por lo que hay una inclusión

${\displaystyle \operatorname {Der} _{K}(A,M)\subset \operatorname {Der} _{k}(A,M),}$

ya que cualquier${\displaystyle K}$-derivación es un fortiori a${\displaystyle k}$-derivación.

Dado un álgebra graduada${\displaystyle A}$y un mapa lineal homogéneo${\displaystyle D}$de grado${\displaystyle |D|}$en${\displaystyle A}$,${\displaystyle D}$es una derivación homogénea si

${\displaystyle {D(ab)=D(a)b+\varepsilon ^{|a||D|}aD(b)}}$

para cada elemento homogéneo${\displaystyle A}$y cada elemento${\displaystyle b}$de${\displaystyle A}$para un factor de conmutador${\displaystyle \varepsilon =\pm 1}$Una derivación graduada es la suma de derivaciones homogéneas con la misma${\displaystyle \varepsilon }$.

Si${\displaystyle \varepsilon =1}$, esta definición se reduce al caso habitual. Si${\displaystyle \varepsilon =-1}$Sin embargo, entonces

${\displaystyle {D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a||D|}aD(b)}}$

para impar${\displaystyle |D|}$, y${\displaystyle D}$se denomina antiderivación .

Ejemplos de antiderivaciones incluyen la derivada exterior y el producto interior que actúan sobre formas diferenciales .

Derivaciones graduadas de superálgebras (es decir,${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$Las álgebras graduadas) a menudo se denominan superderivaciones .

Las derivaciones de Hasse-Schmidt son${\displaystyle K}$homomorfismos de álgebra

${\displaystyle A\to A[[t]].}$

Componiendo además con el mapa que envía una serie de potencias formales${\displaystyle \sum a_{n}t^{n}}$al coeficiente${\displaystyle a_{1}}$da una derivación.

• En geometría diferencial, las derivaciones son vectores tangentes.
• Diferencial de Kähler
• Derivado de Hasse
• p -derivación
• Derivados de Wirtinger
• Derivada del mapa exponencial

• Bourbaki, Nicolas (1989), Álgebra I , Elementos de matemáticas, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
• Eisenbud, David (1999), Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica (3.ª  ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94269-8.
• Matsumura, Hideyuki (1970), Álgebra conmutativa , serie de notas de conferencias de matemáticas, WA Benjamin, ISBN 978-0-8053-7025-6.
• Kolař, Ivan; Slovák, Jan; Michor, Peter W. (1993), Operaciones naturales en geometría diferencial , Springer-Verlag.