Atlas (topología)

En matemáticas , particularmente en topología , un atlas es un concepto que se utiliza para describir una variedad . Un atlas consta de cartas individuales que, en términos generales, describen regiones individuales de la variedad. En general, la noción de atlas subyace a la definición formal de una variedad y estructuras relacionadas, como los fibrados vectoriales y otros fibrados .

La definición de un atlas depende de la noción de carta . Una carta para un espacio topológico M es un homeomorfismo.${\displaystyle \varphi }$de un subconjunto abierto U de M a un subconjunto abierto de un espacio euclidiano . La carta se registra tradicionalmente como el par ordenado.${\displaystyle (U,\varphi )}$. ^{[ 1 ]}

Cuando se elige un sistema de coordenadas en el espacio euclidiano, esto define las coordenadas en${\displaystyle U}$: las coordenadas de un punto${\displaystyle P}$de${\displaystyle U}$se definen como las coordenadas de${\displaystyle \varphi (P).}$El par formado por una carta y dicho sistema de coordenadas se denomina sistema de coordenadas local , carta de coordenadas , parche de coordenadas , mapa de coordenadas o marco local .

Un atlas para un espacio topológico${\displaystyle M}$es una familia indexada${\displaystyle \{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha }):\alpha \in I\}}$de gráficos en${\displaystyle M}$que cubre${\displaystyle M}$(eso es,${\textstyle \bigcup _{\alpha \in I}U_{\alpha }=M}$). Si para algún n fijo , la imagen de cada carta es un subconjunto abierto del espacio euclidiano n -dimensional , entonces${\displaystyle M}$Se dice que es una variedad n -dimensional .

El plural de atlas es atlases , aunque algunos autores usan atlantes . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Un atlas${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right)_{i\in I}}$en un${\displaystyle n}$variedad dimensional${\displaystyle M}$Se considera un atlas adecuado si se cumplen las siguientes condiciones:

• La imagen de cada gráfico es${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$o${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$, dónde${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$es el semi-espacio cerrado ,
• ${\displaystyle \left(U_{i}\right)_{i\in I}}$es una cubierta abierta localmente finita de${\displaystyle M}$, y
• ${\textstyle M=\bigcup _{i\in I}\varphi _{i}^{-1}\left(B_{1}\right)}$, dónde${\displaystyle B_{1}}$es la bola abierta de radio 1 centrada en el origen.

Toda variedad con numerabilidad segunda admite un atlas adecuado. ^{[ 4 ]} Además, si${\displaystyle {\mathcal {V}}=\left(V_{j}\right)_{j\in J}}$es una cubierta abierta de la variedad de segundo orden${\displaystyle M}$, entonces hay un atlas adecuado${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right)_{i\in I}}$en${\displaystyle M}$, de tal manera que${\displaystyle \left(U_{i}\right)_{i\in I}}$es un refinamiento de${\displaystyle {\mathcal {V}}}$. ^{[ 4 ]}

${\displaystyle M}$

${\displaystyle U_{\alpha }}$

${\displaystyle U_{\beta }}$

${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$

${\displaystyle \varphi _{\beta }}$

${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }}$

${\displaystyle \tau _{\beta ,\alpha }}$

${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

Dos gráficos en una variedad y su respectivo mapa de transición.

Un mapa de transición permite comparar dos cartas de un atlas. Para realizar esta comparación, consideramos la composición de una carta con la inversa de la otra. Esta composición no está bien definida a menos que restrinjamos ambas cartas a la intersección de sus dominios de definición. (Por ejemplo, si tenemos una carta de Europa y una de Rusia, podemos compararlas en su superposición, es decir, la parte europea de Rusia).

Para ser más precisos, supongamos que${\displaystyle (U_{\alpha },\varphi _{\alpha })}$y${\displaystyle (U_{\beta },\varphi _{\beta })}$son dos cartas para una variedad M tal que${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$no está vacío . El mapa de transición${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }:\varphi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \varphi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}$es el mapa definido por $${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }=\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}.}$$

Tenga en cuenta que desde${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$y${\displaystyle \varphi _{\beta }}$son ambos homeomorfismos, el mapa de transición${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }}$También es un homeomorfismo.

A menudo se busca una estructura más compleja en una variedad que la meramente topológica. Por ejemplo, si se desea una noción inequívoca de diferenciación de funciones en una variedad, es necesario construir un atlas cuyas funciones de transición sean diferenciables . Dicha variedad se denomina diferenciable . Dada una variedad diferenciable, se puede definir inequívocamente la noción de vectores tangentes y, por consiguiente, la de derivadas direccionales .

Si cada función de transición es una aplicación suave , entonces el atlas se llama atlas suave y la variedad misma se llama suave . Alternativamente, se podría requerir que las aplicaciones de transición tengan solo k derivadas continuas, en cuyo caso se dice que el atlas es${\displaystyle C^{k}}$.

En términos muy generales, si cada función de transición pertenece a un pseudogrupo${\displaystyle {\mathcal {G}}}$de homeomorfismos del espacio euclidiano, entonces el atlas se llama${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-atlas. Si los mapas de transición entre cartas de un atlas conservan una trivialización local , entonces el atlas define la estructura de un fibrado.

• Atlas suave
• Marco liso

• Atlas de Rowland, Todd