Dimensión

La dimensión de un espacio vectorial es el número de vectores en cualquier base del espacio, es decir, el número de coordenadas necesarias para definir cualquier vector. Esta noción de dimensión (la cardinalidad de una base) se conoce a menudo como dimensión de Hamel o dimensión algebraica para distinguirla de otras nociones de dimensión.

Para el caso no libre , esto se generaliza a la noción de la longitud de un módulo .

Se puede calcular la dimensión, definida de forma única, de toda variedad topológica conexa . Una variedad topológica conexa es localmente homeomorfa al espacio euclidiano n- dimensional, donde n es la dimensión de la variedad.

Para variedades diferenciables conexas , la dimensión es también la dimensión del espacio vectorial tangente en cualquier punto.

En topología geométrica , la teoría de las variedades se caracteriza por la relativa sencillez de las dimensiones 1 y 2; los casos de alta dimensión n > 4 se simplifican al disponer de espacio adicional para trabajar; y los casos n = 3 y 4 son, en cierto modo, los más difíciles. Esta situación quedó muy patente en los distintos casos de la conjetura de Poincaré , en los que se aplicaron cuatro métodos de demostración diferentes.

Dimensión compleja

La dimensión de una variedad depende del cuerpo base con respecto al cual se define el espacio euclidiano. Si bien el análisis generalmente asume que una variedad está sobre los números reales , a veces es útil en el estudio de variedades complejas y variedades algebraicas trabajar sobre los números complejos en su lugar. Un número complejo (${\displaystyle x+iy}$) tiene una parte real${\displaystyle x}$y una parte imaginaria${\displaystyle y}$, en el cual${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$ambos son números reales; por lo tanto, la dimensión compleja es la mitad de la dimensión real.

Por el contrario, en contextos algebraicamente no restringidos, se puede aplicar un único sistema de coordenadas complejas a un objeto con dos dimensiones reales. Por ejemplo, una superficie esférica bidimensional ordinaria , al recibir una métrica compleja, se convierte en una esfera de Riemann de una dimensión compleja. ^{[ 3 ]}

La dimensión de una variedad algebraica puede definirse de diversas maneras equivalentes. La más intuitiva es probablemente la dimensión del espacio tangente en cualquier punto regular de la variedad . Otra forma intuitiva es definir la dimensión como el número de hiperplanos necesarios para que la intersección con la variedad se reduzca a un número finito de puntos (dimensión cero). Esta definición se basa en el hecho de que la intersección de una variedad con un hiperplano reduce la dimensión en uno, a menos que el hiperplano contenga la variedad.

Un conjunto algebraico, al ser una unión finita de variedades algebraicas, tiene como dimensión la máxima de las dimensiones de sus componentes. Es igual a la longitud máxima de las cadenas.${\displaystyle V_{0}\subsetneq V_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq V_{d}}$de subvariedades del conjunto algebraico dado (la longitud de dicha cadena es el número de "${\displaystyle \subsetneq }$").

Cada variedad puede considerarse como una pila algebraica , y su dimensión como variedad coincide con su dimensión como pila. Sin embargo, existen muchas pilas que no corresponden a variedades, y algunas de ellas tienen dimensión negativa. Específicamente, si${\displaystyle V}$es una variedad de dimensiones${\displaystyle m}$y${\displaystyle G}$es un grupo algebraico de dimensión${\displaystyle n}$actuando sobre V , entonces la pila de cocientes${\displaystyle [V/G]}$tiene dimensión${\displaystyle mn}$. ^{[ 4 ]}

La dimensión de Krull de un anillo conmutativo es la longitud máxima de las cadenas de ideales primos en él, siendo una cadena de longitud n una sucesión${\displaystyle {\mathcal {P}}_{0}\subsetneq {\mathcal {P}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathcal {P}}_{n}}$de ideales primos relacionados por inclusión. Está fuertemente relacionado con la dimensión de una variedad algebraica, debido a la correspondencia natural entre subvariedades e ideales primos del anillo de los polinomios en la variedad.

Para un álgebra sobre un cuerpo , la dimensión como espacio vectorial es finita si y solo si su dimensión de Krull es 0.

Para cualquier espacio topológico normal X , la dimensión de recubrimiento de Lebesgue de X se define como el entero más pequeño n para el cual se cumple lo siguiente: cualquier recubrimiento abierto tiene un refinamiento abierto (un segundo recubrimiento abierto en el cual cada elemento es un subconjunto de un elemento del primer recubrimiento) tal que ningún punto está incluido en más de n + 1 elementos. En este caso, dim X = n . Para X una variedad, esto coincide con la dimensión mencionada anteriormente. Si no existe tal entero n , entonces se dice que la dimensión de X es infinita, y se escribe dim X = ∞ . Además, X tiene dimensión −1, es decir, dim X = −1 si y solo si X es vacío. Esta definición de dimensión de recubrimiento puede extenderse de la clase de espacios normales a todos los espacios de Tychonoff simplemente reemplazando el término "abierto" en la definición por el término " funcionalmente abierto ".

Una dimensión inductiva puede definirse inductivamente de la siguiente manera. Consideremos un conjunto discreto de puntos (como una colección finita de puntos) de dimensión 0. Al arrastrar un objeto de dimensión 0 en una dirección, se obtiene un objeto de dimensión 1. Al arrastrar un objeto de dimensión 1 en una nueva dirección , se obtiene un objeto de dimensión 2. En general, se obtiene un objeto de dimensión ( n + 1 ) al arrastrar un objeto de dimensión n en una nueva dirección. La dimensión inductiva de un espacio topológico puede referirse a la dimensión inductiva pequeña o a la dimensión inductiva grande , y se basa en la analogía de que, en el caso de los espacios métricos, las bolas de dimensión ( n + 1 ) tienen fronteras de dimensión n , lo que permite una definición inductiva basada en la dimensión de las fronteras de los conjuntos abiertos. Además, la frontera de un conjunto discreto de puntos es el conjunto vacío, y por lo tanto, se puede considerar que el conjunto vacío tiene dimensión −1. ^{[ 5 ]}

De manera similar, para la clase de complejos CW , la dimensión de un objeto es el mayor n para el cual el n- esqueleto no es trivial. Intuitivamente, esto se puede describir de la siguiente manera: si el espacio original se puede deformar continuamente en una colección de triángulos de dimensiones superiores unidos por sus caras con una superficie compleja, entonces la dimensión del objeto es la dimensión de esos triángulos. ^{[ 6 ]}

La dimensión de Hausdorff es útil para estudiar conjuntos estructuralmente complejos, especialmente fractales . Se define para todos los espacios métricos y, a diferencia de las dimensiones mencionadas anteriormente, también puede tener valores reales no enteros. ^{[ 7 ]} La ​​dimensión de caja o dimensión de Minkowski es una variante de esta misma idea. En general, existen más definiciones de dimensiones fractales que funcionan para conjuntos altamente irregulares y que pueden tomar valores reales positivos no enteros.

Todo espacio de Hilbert admite una base ortonormal , y cualesquiera dos bases de este tipo para un espacio particular tienen la misma cardinalidad . Esta cardinalidad se denomina dimensión del espacio de Hilbert. Esta dimensión es finita si y solo si la dimensión de Hamel del espacio es finita, y en este caso ambas dimensiones coinciden.

Las teorías de la física clásica describen tres dimensiones físicas : desde un punto determinado en el espacio , las direcciones básicas en las que podemos movernos son arriba/abajo, izquierda/derecha y adelante/atrás. El movimiento en cualquier otra dirección se puede expresar en términos de estas tres. Moverse hacia abajo es lo mismo que moverse hacia arriba una distancia negativa. Moverse en diagonal hacia arriba y hacia adelante es, como su nombre lo indica , moverse en una combinación lineal de arriba y adelante. En su forma más simple: una línea describe una dimensión, un plano describe dos dimensiones y un cubo describe tres dimensiones. (Véase Espacio y sistema de coordenadas cartesianas ).

Una dimensión temporal , o dimensión del tiempo , es una dimensión del tiempo. El tiempo a menudo se denomina la " cuarta dimensión " por esta razón, pero eso no implica que sea una dimensión espacial. ^{[ 8 ]} Una dimensión temporal es una forma de medir el cambio físico. Se percibe de manera diferente a las tres dimensiones espaciales en que solo hay una, y que no podemos movernos libremente en el tiempo, sino que nos movemos subjetivamente en una dirección .

Las ecuaciones utilizadas en física para modelar la realidad no tratan el tiempo de la misma manera que lo percibimos comúnmente los humanos. Las ecuaciones de la mecánica clásica son simétricas con respecto al tiempo , y las ecuaciones de la mecánica cuántica suelen ser simétricas si se invierten tanto el tiempo como otras magnitudes (como la carga y la paridad ). En estos modelos, la percepción del tiempo fluyendo en una dirección es un efecto de las leyes de la termodinámica (percibimos el tiempo fluyendo en la dirección de la entropía creciente ).

El tratamiento más conocido del tiempo como dimensión es la relatividad especial de Poincaré y Einstein (y su extensión a la relatividad general ), que trata el espacio y el tiempo percibidos como componentes de una variedad de cuatro dimensiones , conocida como espaciotiempo , y en el caso especial y plano como espacio de Minkowski . El tiempo es diferente de otras dimensiones espaciales, ya que opera en todas ellas. El tiempo opera en la primera, segunda y tercera dimensiones espaciales, así como en dimensiones espaciales teóricas como una cuarta dimensión espacial . Sin embargo, el tiempo no está presente en un único punto de singularidad infinita absoluta, definido como un punto geométrico , ya que un punto infinitesimalmente pequeño no puede experimentar cambios y, por lo tanto, no tiene tiempo. Del mismo modo que un objeto se mueve a través de posiciones en el espacio, también se mueve a través de posiciones en el tiempo. En este sentido, la fuerza que impulsa cualquier objeto a cambiar es el tiempo . ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}

En física, la norma aceptada son las tres dimensiones del espacio y una del tiempo. Sin embargo, existen teorías que intentan unificar las cuatro fuerzas fundamentales mediante la introducción de dimensiones adicionales o hiperespacio . En particular, la teoría de supercuerdas requiere 10 dimensiones espaciotemporales y se origina a partir de una teoría más fundamental de 11 dimensiones, denominada provisionalmente teoría M, que engloba cinco teorías de supercuerdas previamente distintas. La teoría de la supergravedad también propone un espaciotemporal de 11 dimensiones = hiperespacio de 7 dimensiones + 4 dimensiones comunes. Hasta la fecha, no se dispone de evidencia experimental u observacional directa que respalde la existencia de estas dimensiones adicionales. Si el hiperespacio existe, debe estar oculto para nosotros por algún mecanismo físico. Una posibilidad bien estudiada es que las dimensiones adicionales se encuentren comprimidas a escalas tan pequeñas que resulten prácticamente invisibles para los experimentos actuales.

En 1921, la teoría de Kaluza-Klein presentó la teoría de 5D, incluyendo una dimensión espacial adicional. A nivel de la teoría cuántica de campos , la teoría de Kaluza-Klein unifica la gravedad con las interacciones de gauge , basándose en la constatación de que la gravedad que se propaga en dimensiones adicionales pequeñas y compactas es equivalente a las interacciones de gauge a grandes distancias. En particular, cuando la geometría de las dimensiones adicionales es trivial, reproduce el electromagnetismo . Sin embargo, a energías suficientemente altas o distancias cortas, esta configuración aún adolece de las mismas patologías que obstaculizan los intentos directos de describir la gravedad cuántica . Por lo tanto, estos modelos aún requieren una completitud UV , del tipo que la teoría de cuerdas pretende proporcionar. En particular, la teoría de supercuerdas requiere seis dimensiones compactas (hiperespacio 6D) que forman una variedad de Calabi-Yau . Así, la teoría de Kaluza-Klein puede considerarse como una descripción incompleta en sí misma, o como un subconjunto de la construcción de modelos de la teoría de cuerdas.

Además de las pequeñas y compactas dimensiones extra, puede haber otras que no sean evidentes porque la materia asociada a nuestro universo visible se localiza en un subespacio de (3 + 1) dimensiones . Por lo tanto, las dimensiones extra no tienen por qué ser pequeñas y compactas, sino que pueden ser grandes . Las D-branas son objetos dinámicos extendidos de diversas dimensionalidades predichos por la teoría de cuerdas que podrían desempeñar este papel. Tienen la propiedad de que las excitaciones de cuerdas abiertas, asociadas a las interacciones de gauge, están confinadas a la brana por sus extremos, mientras que las cuerdas cerradas que median la interacción gravitatoria pueden propagarse libremente por todo el espaciotiempo, o "el volumen". Esto podría estar relacionado con el hecho de que la gravedad sea exponencialmente más débil que las demás fuerzas, ya que se diluye a medida que se propaga en un volumen de mayor dimensión.

Algunos aspectos de la física de branas se han aplicado a la cosmología . Por ejemplo, la cosmología del gas de branas ^{[ 12 ] [ 13 ]} intenta explicar por qué hay tres dimensiones del espacio utilizando consideraciones topológicas y termodinámicas. Según esta idea, esto se debe a que tres es el mayor número de dimensiones espaciales en las que las cuerdas pueden intersecarse genéricamente. Si inicialmente hay muchos enrollamientos de cuerdas alrededor de dimensiones compactas, el espacio solo podría expandirse a tamaños macroscópicos una vez que estos enrollamientos se eliminen, lo que requiere que las cuerdas enrolladas en sentido opuesto se encuentren y se aniquilen. Pero las cuerdas solo pueden encontrarse para aniquilarse a una tasa significativa en tres dimensiones, por lo que se deduce que solo se permite que tres dimensiones del espacio crezcan grandes dada esta configuración inicial. Se dice que las dimensiones adicionales son universales si todos los campos son igualmente libres de propagarse dentro de ellas.