Dimensión isoperimétrica

En matemáticas , la dimensión isoperimétrica de una variedad es una noción de dimensión que intenta capturar cómo el comportamiento a gran escala de la variedad se asemeja al de un espacio euclidiano (a diferencia de la dimensión topológica o la dimensión de Hausdorff que comparan diferentes comportamientos locales con los del espacio euclidiano).

En el espacio euclidiano , la desigualdad isoperimétrica dice que de todos los cuerpos con el mismo volumen, la pelota es la que tiene la menor área superficial. En otras variedades suele ser muy difícil encontrar el cuerpo preciso que minimice el área superficial, y no es de esto de lo que trata la dimensión isoperimétrica. La pregunta que nos haremos es cuál es aproximadamente el área superficial mínima, sea cual sea el cuerpo que la realice.

Decimos acerca de una variedad diferenciable M que satisface una desigualdad isoperimétrica d -dimensional si para cualquier conjunto abierto D en M con un borde suave se tiene

${\displaystyle \operatorname {área} (\partial D)\geq C\operatorname {vol} (D)^{(d-1)/d}.}$

Las notaciones vol y área se refieren a las nociones regulares de volumen y área superficial en la variedad, o más precisamente, si la variedad tiene n dimensiones topológicas, entonces vol se refiere a un volumen n -dimensional y área se refiere a un volumen ( n  − 1)-dimensional. C aquí se refiere a alguna constante, que no depende de D (puede depender de la variedad y de d ).

La dimensión isoperimétrica de M es el supremo de todos los valores de d tales que M satisface una desigualdad isoperimétrica de dimensión d .

Un espacio euclidiano de dimensión d tiene dimensión isoperimétrica d . Este es el conocido problema isoperimétrico : como se explicó anteriormente, para el espacio euclidiano la constante C se conoce con precisión, ya que se alcanza el mínimo para la pelota.

Un cilindro infinito (es decir, un producto del círculo por la línea ) tiene dimensión topológica 2 pero dimensión isoperimétrica 1. De hecho, multiplicar cualquier variedad por una variedad compacta no cambia la dimensión isoperimétrica (solo cambia el valor de la constante C ). Cualquier variedad compacta tiene dimensión isoperimétrica 0.

También es posible que la dimensión isoperimétrica sea mayor que la dimensión topológica. El ejemplo más simple es el parque de juegos infinito , que tiene dimensión topológica 2 y dimensión isoperimétrica 3. Consulte [1] para ver imágenes y código de Mathematica.

El plano hiperbólico tiene dimensión topológica 2 y dimensión isoperimétrica infinita. De hecho, el plano hiperbólico tiene constante de Cheeger positiva . Esto significa que satisface la desigualdad

${\displaystyle \operatorname {área} (\partial D)\geq C\operatorname {vol} (D),}$

lo que obviamente implica una dimensión isoperimétrica infinita.

Una integración simple sobre r (o suma en el caso de gráficos) muestra que una desigualdad isoperimétrica d -dimensional implica un crecimiento de volumen d -dimensional , es decir

${\displaystyle \operatorname {vol} B(x,r)\geq Cr^{d}}$

donde B ( x , r ) denota la bola de radio r alrededor del punto x en la distancia de Riemann o en la distancia gráfica . En general, lo opuesto no es cierto, es decir, incluso un crecimiento de volumen uniformemente exponencial no implica ningún tipo de desigualdad isoperimétrica. Se puede tener un ejemplo simple tomando el grafo Z (es decir, todos los enteros con aristas entre n y n  + 1) y conectando al vértice n un árbol binario completo de altura | n |. Ambas propiedades (crecimiento exponencial y dimensión isoperimétrica 0) son fáciles de verificar.

Una excepción interesante es el caso de los grupos . Resulta que un grupo con crecimiento polinomial de orden d tiene dimensión isoperimétrica d . Esto es válido tanto para el caso de los grupos de Lie como para el gráfico de Cayley de un grupo finitamente generado .

Un teorema de Varopoulos relaciona la dimensión isoperimétrica de un grafo con la tasa de escape del paseo aleatorio en el grafo. El resultado establece

Teorema de Varopoulos: Si G es un grafo que satisface una desigualdad isoperimétrica d-dimensional entonces

${\displaystyle p_{n}(x,y)\leq Cn^{-d/2}}$

donde es la probabilidad de que un paseo aleatorio en G comenzando desde x esté en y después de n pasos, y C es una constante.${\textstyle p_{n}(x,y)}$

• Isaac Chavel, Desigualdades isoperimétricas: perspectivas geométricas y analíticas diferenciales , Cambridge University Press, Cambridge, Reino Unido (2001), ISBN  0-521-80267-9

Se analiza el tema en el contexto de las variedades, sin mencionar los gráficos.

• N. Th. Varopoulos, Desigualdades isoperimétricas y cadenas de Markov , J. Funct. Anal. 63:2 (1985), 215–239.
• Thierry Coulhon y Laurent Saloff-Coste, Isopérimétrie pour les groupes et les variétés , Rev. Mat. Iberoamericana 9:2 (1993), 293–314.

Este artículo contiene el resultado de que en grupos de crecimiento polinómico, el crecimiento del volumen y las desigualdades isoperimétricas son equivalentes. En francés.

• Fan Chung, Desigualdades isoperimétricas discretas . Encuestas en geometría diferencial IX , International Press, (2004), 53–82. http://math.ucsd.edu/~fan/wp/iso.pdf.

Este artículo contiene una definición precisa de la dimensión isoperimétrica de un gráfico y establece muchas de sus propiedades.