Brana

En la teoría de cuerdas y teorías afines (como la supergravedad ), una brana es un objeto físico que generaliza la noción de partícula puntual cero- dimensional , cuerda unidimensional o membrana bidimensional a objetos de dimensiones superiores. Las branas son objetos dinámicos que pueden propagarse a través del espacio-tiempo según las reglas de la mecánica cuántica . Tienen masa y pueden tener otros atributos, como carga .

Matemáticamente, las branas pueden representarse dentro de categorías y se estudian en matemáticas puras para comprender la simetría especular homológica y la geometría no conmutativa .

La palabra "brana" se originó en 1987 como una contracción de " membrana ". ^{[ 1 ]}

Una partícula puntual es una 0-brana, de dimensión cero; una cuerda, llamada así por las cuerdas musicales vibrantes , es una 1-brana; una membrana, llamada así por las membranas vibrantes como los parches de tambor , es una 2-brana. ^{[ 2 ]} El objeto correspondiente de dimensión arbitraria p se llama p -brana, término acuñado por MJ Duff et al. en 1988. ^{[ 3 ]}

Una p -brana barre un volumen ( p +1)-dimensional en el espaciotiempo llamado su volumen de mundo . Los físicos a menudo estudian campos análogos al campo electromagnético , que residen en el volumen de mundo de una brana. ^{[ 4 ]}

En la teoría de cuerdas , una cuerda puede ser abierta (formando un segmento con dos extremos) o cerrada (formando un bucle cerrado). Las D-branas son una clase importante de branas que surgen al considerar cuerdas abiertas. A medida que una cuerda abierta se propaga a través del espacio-tiempo, sus extremos deben estar sobre una D-brana. La letra "D" en D-brana se refiere a la condición de contorno de Dirichlet , que la D-brana satisface. ^{[ 5 ]}

Un punto crucial sobre las D-branas es que la dinámica en el volumen de mundo de la D-brana se describe mediante una teoría de gauge , un tipo de teoría física altamente simétrica que también se utiliza para describir el comportamiento de las partículas elementales en el Modelo Estándar de la física de partículas . Esta conexión ha dado lugar a importantes avances en la teoría de gauge y la teoría cuántica de campos . Por ejemplo, condujo al descubrimiento de la correspondencia AdS/CFT , una herramienta teórica que los físicos utilizan para traducir problemas difíciles de la teoría de gauge en problemas matemáticamente más manejables de la teoría de cuerdas. ^{[ 6 ]}

Matemáticamente, las branas se pueden describir utilizando la noción de categoría . ^{[ 7 ]} Esta es una estructura matemática que consta de objetos y, para cualquier par de objetos, un conjunto de morfismos entre ellos. En la mayoría de los ejemplos, los objetos son estructuras matemáticas (como conjuntos , espacios vectoriales o espacios topológicos ) y los morfismos son funciones entre estas estructuras. ^{[ 8 ]} De igual manera, se pueden considerar categorías donde los objetos son D-branas y los morfismos entre dos branas${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$son estados de cuerdas abiertas estiradas entre${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$. ^{[ 9 ]}

In one version of string theory known as the topological B-model, the D-branes are complex submanifolds of certain six-dimensional shapes called Calabi–Yau manifolds, together with additional data that arise physically from having charges at the endpoints of strings.^[10] Intuitively, one can think of a submanifold as a surface embedded inside of a Calabi–Yau manifold, although submanifolds can also exist in dimensions different from two.^[11] In mathematical language, the category having these branes as its objects is known as the derived category of coherent sheaves on the Calabi–Yau.^[12] In another version of string theory called the topological A-model, the D-branes can again be viewed as submanifolds of a Calabi–Yau manifold. Roughly speaking, they are what mathematicians call special Lagrangian submanifolds.^[13] This means, among other things, that they have half the dimension of the space in which they sit, and they are length-, area-, or volume-minimizing.^[14] The category having these branes as its objects is called the Fukaya category.^[15]

The derived category of coherent sheaves is constructed using tools from complex geometry, a branch of mathematics that describes geometric shapes in algebraic terms and solves geometric problems using algebraic equations.^[16] On the other hand, the Fukaya category is constructed using symplectic geometry, a branch of mathematics that arose from studies of classical physics. Symplectic geometry studies spaces equipped with a symplectic form, a mathematical tool that can be used to compute area in two-dimensional examples.^[17]

The homological mirror symmetry conjecture of Maxim Kontsevich states that the derived category of coherent sheaves on one Calabi–Yau manifold is equivalent in a certain sense to the Fukaya category of a completely different Calabi–Yau manifold.^[18] This equivalence provides an unexpected bridge between two branches of geometry, namely complex and symplectic geometry.^[19]

• Black brane
• Brane cosmology
• Dirac membrane
• Lagrangian submanifold
• M2-brane
• M5-brane
• NS5-brane

• Aspinwall, Paul; Bridgeland, Tom; Craw, Alastair; Douglas, Michael; Gross, Mark; Kapustin, Anton; Moore, Gregory; Segal, Graeme; Szendröi, Balázs; Wilson, PMH, eds. (2009). Branas de Dirichlet y simetría especular . Clay Mathematics Monographs . Vol.  4. American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-3848-8.
• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático profesional . ISBN 978-0-387-98403-2.
• Moore, Gregory (2005). "¿Qué es  ... una brana?" (PDF) . Notices of the AMS . 52 : 214. Recuperado el 7 de junio de 2018 .
• Yau, Shing-Tung ; Nadis, Steve (2010). La forma del espacio interior: la teoría de cuerdas y la geometría de las dimensiones ocultas del universo . Basic Books . ISBN 978-0-465-02023-2.
• Zaslow, Eric (2008). «Simetría especular». En Gowers, Timothy (ed.). The Princeton Companion to Mathematics . ISBN 978-0-691-11880-2.