Distribución binomial negativa beta

En teoría de la probabilidad , una distribución binomial negativa beta es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta. ${\displaystyle X}$igual al número de fallos necesarios para obtener${\displaystyle r}$éxitos en una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes . La probabilidad${\displaystyle p}$La probabilidad de éxito en cada ensayo se mantiene constante dentro de un experimento dado, pero varía entre diferentes experimentos siguiendo una distribución beta . Por lo tanto, la distribución es una distribución de probabilidad compuesta .

Esta distribución también se ha denominado distribución inversa de Markov-Pólya y distribución generalizada de Waring ^{[ 1 ]} o simplemente abreviada como distribución BNB . Una forma desplazada de la distribución se ha denominado distribución beta-Pascal . ^{[ 1 ]}

Si los parámetros de la distribución beta son${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$y si

${\displaystyle X\mid p\sim \mathrm {NB} (r,p),}$

dónde

${\displaystyle p\sim {\textrm {B}}(\alpha ,\beta ),}$

entonces la distribución marginal de${\displaystyle X}$(es decir, la distribución predictiva posterior ) es una distribución binomial negativa beta:

${\displaystyle X\sim \mathrm {BNB} (r,\alpha,\beta).}$

En lo anterior,${\displaystyle \mathrm {NB} (r,p)}$es la distribución binomial negativa y${\displaystyle {\textrm {B}}(\alpha ,\beta )}$es la distribución beta .

Denotando${\displaystyle f_{X|p}(k|q),f_{p}(q|\alpha ,\beta )}$Al calcular las densidades de las distribuciones binomial negativa y beta, respectivamente, obtenemos la función de masa de probabilidad (PMF).${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)}$ de la distribución del BNB por marginación:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(k|\alpha ,\beta ,r)\;=&\;\int _{0}^{1}f_{X|p}(k|r,q)\cdot f_{p}(q|\alpha ,\beta )\mathrm {d} q\\=&\;\int _{0}^{1}{\binom {k+r-1}{k}}(1-q)^{k}q^{r}\cdot {\frac {q^{\alpha -1}(1-q)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\mathrm {d} q\\=&\;{\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}{\binom {k+r-1}{k}}\int _{0}^{1}q^{\alpha +r-1}(1-q)^{\beta +k-1}\mathrm {d} q\end{aligned}}}$

Observando que la integral se evalúa como:

${\displaystyle \int _{0}^{1}q^{\alpha +r-1}(1-q)^{\beta +k-1}\mathrm {d} q={\frac {\Gamma (\alpha +r)\Gamma (\beta +k)}{\Gamma (\alpha +\beta +k+r)}}}$

Podemos llegar a las siguientes fórmulas mediante manipulaciones relativamente sencillas.

Si${\displaystyle r}$Si es un número entero, entonces la PMF se puede escribir en términos de la función beta :

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\binom {r+k-1}{k}}{\frac {\mathrm {B} (\alpha +r,\beta +k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}$.

De forma más general, el PMF se puede escribir

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\Gamma (r+k)}{k!\;\Gamma (r)}}{\frac {\mathrm {B} (\alpha +r,\beta +k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}$

o

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\mathrm {B} (r+k,\alpha +\beta )}{\mathrm {B} (r,\alpha )}}{\frac {\Gamma (k+\beta )}{k!\;\Gamma (\beta )}}}$.

La distribución geométrica beta es un caso especial importante de la distribución binomial negativa beta que ocurre para${\displaystyle r=1}$En este caso, la función de masa de probabilidad se simplifica a

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta )={\frac {\mathrm {B} (\alpha +1,\beta +k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}$.

Esta distribución se utiliza en algunos modelos de "Compra hasta morir" (Buy Till you Die , BTYD).

Además, cuando${\displaystyle \beta =1}$La distribución geométrica beta se reduce a la distribución de Yule-Simon . Sin embargo, es más común definir la distribución de Yule-Simon en términos de una versión desplazada de la distribución geométrica beta. En particular, si${\displaystyle X\sim BG(\alpha ,1)}$entonces${\displaystyle X+1\sim YS(\alpha )}$.

En el caso de que los 3 parámetros${\displaystyle r,\alpha }$y${\displaystyle \beta }$son enteros positivos, la distribución binomial negativa Beta también puede motivarse mediante un modelo de urna , o más específicamente, un modelo básico de urna de Pólya . Consideremos una urna que inicialmente contiene${\displaystyle \alpha }$bolas rojas (el color de parada) y${\displaystyle \beta }$bolas azules. En cada paso del modelo, se extrae una bola al azar de la urna y se vuelve a colocar, junto con una bola adicional del mismo color. El proceso se repite una y otra vez, hasta que${\displaystyle r}$Se extraen bolas de color rojo. La variable aleatoria${\displaystyle X}$de los sorteos observados de bolas azules se distribuyen según un${\displaystyle \mathrm {BNB} (r,\alpha ,\beta )}$. Nótese que, al final del experimento, la urna siempre contiene el número fijo.${\displaystyle r+\alpha }$de bolas rojas mientras contiene el número aleatorio${\displaystyle X+\beta }$bolas azules.

Por la propiedad de no identificabilidad,${\displaystyle X}$puede generarse de forma equivalente con la urna que inicialmente contiene${\displaystyle \alpha }$bolas rojas (el color de parada) y${\displaystyle r}$bolas azules y parar cuando${\displaystyle \beta }$Se observan bolas rojas.

• Distribución binomial negativa
• Distribución multinomial negativa de Dirichlet

• Johnson, NL; Kotz, S.; Kemp, AW (1993) Distribuciones discretas univariadas , 2.ª edición, Wiley ISBN 0-471-54897-9 (Sección 6.2.3)
• Kemp, CD; Kemp, AW (1956) "Distribuciones hipergeométricas generalizadas", Journal of the Royal Statistical Society , Serie B, 18, 202 – 211
• Wang, Zhaoliang (2011) "Una distribución binomial negativa mixta con aplicación", Journal of Statistical Planning and Inference , 141 (3), 1153-1160 doi : 10.1016/j.jspi.2010.09.020

• Gráfico interactivo: Relaciones de distribución univariada