Continuidad absoluta

Dejar${\displaystyle I}$ser un intervalo en la recta real${\displaystyle \mathbb {R} }$. Una función${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$es absolutamente continuo en${\displaystyle I}$si para cada número positivo${\displaystyle \varepsilon }$, hay un número positivo${\displaystyle \delta }$de tal manera que siempre que una secuencia finita de subintervalos disjuntos por pares${\displaystyle (x_{k},y_{k})}$de${\displaystyle I}$con${\displaystyle x_{k}<y_{k}}$satisface ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}(y_{k}-x_{k})<\delta }$

entonces

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}|f(y_{k})-f(x_{k})|<\varepsilon .}$

La colección de todas las funciones absolutamente continuas en${\displaystyle I}$se denota${\displaystyle \operatorname {AC} (I)}$.

Las siguientes condiciones sobre una función de valor real f en un intervalo compacto [ a , b ] son ​​equivalentes: ^{[ 2 ]}

1. f es absolutamente continua;
2. f tiene una derivada f ′ casi en todas partes , la derivada es integrable de Lebesgue y$${\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\,dt}$$para todo x en [ a , b ];
3. Existe una función integrable de Lebesgue g en [ a , b ] tal que$${\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}g(t)\,dt}$$para todo x en [ a , b ].

Si se cumplen estas condiciones equivalentes, entonces necesariamente cualquier función g como en la condición 3 satisface g = f ′ casi en todas partes.

La equivalencia entre (1) y (3) se conoce como el teorema fundamental del cálculo integral de Lebesgue , debido a Lebesgue . ^{[ 3 ]}

Para una definición equivalente en términos de medidas, véase la sección Relación entre las dos nociones de continuidad absoluta .

• La suma y la diferencia de dos funciones absolutamente continuas también son absolutamente continuas. Si las dos funciones están definidas en un intervalo cerrado (acotado) , entonces su producto también es absolutamente continuo. ^{[ 4 ]} En intervalos no acotados esto puede fallar: por ejemplo, en${\displaystyle \mathbb {R} }$, la función${\displaystyle f(x)=x}$es absolutamente continuo, pero${\displaystyle f(x)^{2}}$Ni siquiera es uniformemente continuo.
• Si una función absolutamente continua f está definida en un intervalo cerrado (acotado) y no es cero en ningún punto, entonces 1/f es absolutamente continua. ^{[ 5 ]}
• Toda función absolutamente continua (sobre un intervalo compacto) es uniformemente continua y, por lo tanto, continua . Toda función (globalmente) Lipschitz-continua es absolutamente continua. ^{[ 6 ]}
• Si f : [ a , b ] → R es absolutamente continua, entonces es débilmente diferenciable ; recíprocamente, si f : [ a , b ] → R es débilmente diferenciable, entonces coincide casi en todas partes con una función absolutamente continua ^{[ 7 ]} ; esto proporciona una caracterización de los espacios de Sobolev en intervalos de la recta real.
• Si f : [ a , b ] → R es absolutamente continua, entonces tiene variación acotada en [ a , b ]. ^{[ 8 ]}
• Si f : [ a , b ] → R es absolutamente continua, entonces se puede escribir como la diferencia de dos funciones monótonas no decrecientes absolutamente continuas en [ a , b ].
• Si f : [ a , b ] → R es absolutamente continua, entonces tiene la propiedad Luzin N (es decir, para cualquier${\displaystyle N\subseteq [a,b]}$de tal manera que${\displaystyle \lambda (N)=0}$, sostiene que${\displaystyle \lambda (f(N))=0}$, dónde${\displaystyle \lambda }$representa la medida de Lebesgue en R ).
• f : I → R es absolutamente continua si y solo si es continua, tiene variación acotada y posee la propiedad Luzin N. Esta afirmación también se conoce como el teorema de Banach-Zareckiǐ. ^{[ 9 ]}
• Si f : I → R es absolutamente continua y g : R → R es globalmente Lipschitz-continua , entonces la composición g${\displaystyle \circ }$f es absolutamente continua. Recíprocamente, para cada función g que no es globalmente Lipschitz continua existe una función absolutamente continua f tal que g${\displaystyle \circ }$f no es absolutamente continua. ^{[ 10 ]}

La siguiente función es uniformemente continua pero no absolutamente continua:

• La función de Cantor en [0, 1] (es de variación acotada pero no absolutamente continua);

La siguiente función es absolutamente continua pero no α-Hölder continua:

• La función f ( x )  = x ^β en [0, c ], para cualquier 0 < β < α < 1  

La siguiente función es absolutamente continua y α-Hölder continua , pero no Lipschitz continua :

• La función f ( x )  = √ x en [0, c ], para α ≤ 1/2.    

Sea ( X , d ) un espacio métrico y sea I un intervalo en la recta real R. Una función f : I → X es absolutamente continua en I si para todo número positivo${\displaystyle \varepsilon }$, hay un número positivo${\displaystyle \delta }$de tal manera que siempre que una secuencia finita de subintervalos disjuntos dos a dos [ x _k , y _k ] de I satisfaga:

${\displaystyle \sum _{k}\left|y_{k}-x_{k}\right|<\delta }$

entonces:

${\displaystyle \sum _{k}d\left(f(y_{k}),f(x_{k})\right)<\varepsilon .}$

El conjunto de todas las funciones absolutamente continuas de I en X se denota AC( I ; X ).

Una generalización adicional es el espacio AC ^p ( I ; X ) de curvas f : I → X tales que: ^{[ 11 ]}

${\displaystyle d\left(f(s),f(t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,d\tau {\text{ para todo }}[s,t]\subseteq I}$

para algún m en el espacio L ^p L ^p (I).

• Toda función absolutamente continua (sobre un intervalo compacto) es uniformemente continua y, por lo tanto, continua . Toda función Lipschitz-continua es absolutamente continua.
• Si f : [ a , b ] → X es absolutamente continua, entonces es de variación acotada en [ a , b ].
• Para f ∈ AC ^p ( I ; X ), la derivada métrica de f existe para λ - casi todo tiempo en I , y la derivada métrica es el m ∈ L ^p ( I ; R ) más pequeño tal que: ^{[ 12 ]}$${\displaystyle d\left(f(s),f(t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,d\tau {\text{ para todo }}[s,t]\subseteq I.}$$

Una medida${\displaystyle \mu }$En los subconjuntos de Borel de la recta real, es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue.${\displaystyle \lambda }$si por cada${\displaystyle \lambda }$-conjunto medible${\displaystyle A,}$${\displaystyle \lambda (A)=0}$implica${\displaystyle \mu (A)=0}$. De forma equivalente, ${\displaystyle \mu (A)>0}$implica${\displaystyle \lambda (A)>0}$Esta condición se escribe como${\displaystyle \mu \ll \lambda .}$Decimos${\displaystyle \mu }$está dominado por${\displaystyle \lambda .}$

En la mayoría de las aplicaciones, si se dice que una medida en la recta real es absolutamente continua —sin especificar con respecto a qué otra medida es absolutamente continua— entonces se entiende la continuidad absoluta con respecto a la medida de Lebesgue.

El mismo principio se aplica a las medidas en subconjuntos de Borel de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},n\geq 2.}$

Las siguientes condiciones sobre una medida finita${\displaystyle \mu }$en subconjuntos de Borel de la recta real son equivalentes: ^{[ 13 ]}

1. ${\displaystyle \mu }$es absolutamente continuo;
2. Por cada número positivo${\displaystyle \varepsilon }$Hay un número positivo${\displaystyle \delta >0}$de tal manera que${\displaystyle \mu (A)<\varepsilon }$para todos los conjuntos Borel${\displaystyle A}$de Lebesgue mide menos que${\displaystyle \delta$ ;}
3. Existe una función integrable de Lebesgue.${\displaystyle g}$en la línea real de tal manera que:$${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}g\,d\lambda }$$para todos los subconjuntos de Borel${\displaystyle A}$de la línea real.

Para una definición equivalente en términos de funciones, consulte la sección Relación entre las dos nociones de continuidad absoluta .

Cualquier otra función que satisfaga (3) es igual a${\displaystyle g}$casi en todas partes. Dicha función se denomina derivada de Radon-Nikodym , o densidad, de la medida absolutamente continua.${\displaystyle \mu .}$

La equivalencia entre (1), (2) y (3) también se cumple en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$a pesar de${\displaystyle n=1,2,3,\ldots .}$

Por lo tanto, las medidas absolutamente continuas en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$son precisamente aquellas que tienen densidades; como caso especial, las medidas de probabilidad absolutamente continuas son precisamente aquellas que tienen funciones de densidad de probabilidad .

Si${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \nu }$son dos medidas en el mismo espacio mensurable${\displaystyle (X,{\mathcal {A}}),}$${\displaystyle \mu }$Se dice queabsolutamente continuo con respecto a${\displaystyle \nu }$si${\displaystyle \mu (A)=0}$para cada conjunto${\displaystyle A}$para qué${\displaystyle \nu (A)=0.}$^{[ 14 ]} Esto está escrito como "${\displaystyle \mu \ll \nu }$". Eso es: $${\displaystyle \mu \ll \nu \qquad {\text{ if and only if }}\qquad {\text{ for all }}A\in {\mathcal {A}},\quad (\nu (A)=0\ {\text{ implies }}\ \mu (A)=0).}$$

Cuando${\displaystyle \mu \ll \nu ,}$entonces${\displaystyle \nu }$Se dice quedominante${\displaystyle \mu .}$

La continuidad absoluta de medidas es reflexiva y transitiva , pero no es antisimétrica , por lo que es un preorden en lugar de un orden parcial . En cambio, si${\displaystyle \mu \ll \nu }$y${\displaystyle \nu \ll \mu ,}$las medidas${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \nu }$Se dice que son equivalentes . Por lo tanto, la continuidad absoluta induce un orden parcial de dichas clases de equivalencia .

Si${\displaystyle \mu }$es una medida con signo o compleja , se dice que${\displaystyle \mu }$es absolutamente continuo con respecto a${\displaystyle \nu }$si su variación${\displaystyle |\mu |}$Satisface${\displaystyle |\mu |\ll \nu$ ;} equivalentemente, si cada conjunto${\displaystyle A}$para qué${\displaystyle \nu (A)=0}$es${\displaystyle \mu }$- nulo .

El teorema de Radon-Nikodym ^{[ 15 ]} establece que si${\displaystyle \mu }$es absolutamente continuo con respecto a${\displaystyle \nu ,}$y ambas medidas son σ-finitas , entonces${\displaystyle \mu }$tiene una densidad, o "derivada de Radon-Nikodym", con respecto a${\displaystyle \nu ,}$lo que significa que existe una${\displaystyle \nu }$-función medible${\displaystyle f}$tomando valores en${\displaystyle [0,+\infty ),}$denotado por${\displaystyle f=d\mu /d\nu ,}$de tal manera que para cualquier${\displaystyle \nu }$-conjunto medible${\displaystyle A}$tenemos: $${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}f\,d\nu .}$$

Mediante el teorema de descomposición de Lebesgue , ^{[ 16 ]} toda medida σ-finita puede descomponerse en la suma de una medida absolutamente continua y una medida singular con respecto a otra medida σ-finita. Véase medida singular para ejemplos de medidas que no son absolutamente continuas.