Hipercubo

En las siguientes proyecciones en perspectiva , el cubo es un cubo de 3 dimensiones y el teseracto es un cubo de 4 dimensiones.

En geometría , un hipercubo es un análogo n -dimensional de un cuadrado ( n = 2 ) y un cubo ( n = 3 ); el caso especial para n = 4 se conoce como teseracto . Es una figura cerrada , compacta y convexa cuyo esqueleto unidimensional consiste en grupos de segmentos de línea paralelos opuestos alineados en cada una de las dimensiones del espacio , perpendiculares entre sí y de la misma longitud. La diagonal más larga de un hipercubo unitario en n dimensiones es igual a${\displaystyle {\sqrt {n}}}$.

Un hipercubo n -dimensional se conoce más comúnmente como un n -cubo o, a veces, como un cubo n -dimensional . ^{[ 1 ] [ 2 ]} También se utiliza el término politopo de medida (originalmente de Elte, 1912) ^{[ 3 ]} , en particular en el trabajo de HSM Coxeter , quien también denomina a los hipercubos politopos γ n . ^{[ 4 ]}

El hipercubo es un caso especial de un hiperrectángulo (también llamado n-ortótopo ).

Un hipercubo unitario es un hipercubo cuyo lado tiene una longitud de una ^unidad . A menudo, el hipercubo cuyos vértices son los 2ⁿ ^puntos en Rⁿ con cada coordenada igual a 0 o 1 se denomina hipercubo unitario.

Todo hipercubo admite, como caras, hipercubos de una dimensión inferior contenidos en su frontera. Un hipercubo de dimensión${\displaystyle n}$admite${\displaystyle 2n}$facetas, o caras de dimensión${\displaystyle n-1}$: a (${\displaystyle 1}$El segmento de línea (-dimensional) tiene${\displaystyle 2}$puntos finales; un (${\displaystyle 2}$cuadrado -dimensional) tiene${\displaystyle 4}$lados o bordes; un${\displaystyle 3}$El cubo dimensional tiene${\displaystyle 6}$caras cuadradas; una (${\displaystyle 4}$-dimensional) teseracto tiene${\displaystyle 8}$cubos tridimensionales como sus facetas. El número de vértices de un hipercubo de dimensión${\displaystyle n}$es${\displaystyle 2^{n}}$(un habitual,${\displaystyle 3}$El cubo dimensional tiene${\displaystyle 2^{3}=8}$vértices, por ejemplo). ^{[ 5 ]}

El número de los${\displaystyle m}$hipercubos de -dimensiones (simplemente denominados como${\displaystyle m}$-cubos de aquí en adelante) contenidos en el límite de un${\displaystyle n}$-cubo es

${\displaystyle E_{m,n}=2^{nm}{n \choose m}}$, ^{[ 6 ]} donde   ${\displaystyle {n \choose m}={\frac {n!}{m!\,(nm)!}}}$y${\displaystyle n!}$denota el factorial de${\displaystyle n}$.

Por ejemplo, el límite de un${\displaystyle 4}$-cubo (${\displaystyle n=4}$) contiene${\displaystyle 8}$cubos (${\displaystyle 3}$-cubos),${\displaystyle 24}$cuadrados (${\displaystyle 2}$-cubos),${\displaystyle 32}$segmentos de línea (${\displaystyle 1}$-cubos) y${\displaystyle 16}$vértices (${\displaystyle 0}$-cubos). Esta identidad se puede demostrar mediante un argumento combinatorio simple: para cada uno de los${\displaystyle 2^{n}}$vértices del hipercubo, hay${\displaystyle {\tbinom {n}{m}}}$formas de elegir una colección de${\displaystyle m}$aristas incidentes a ese vértice. Cada una de estas colecciones define una de las${\displaystyle m}$caras de dimensión incidentes al vértice considerado. Haciendo esto para todos los vértices del hipercubo, cada uno de los${\displaystyle m}$Se cuentan las caras dimensionales del hipercubo.${\displaystyle 2^{m}}$veces ya que tiene tantos vértices, y necesitamos dividir${\displaystyle 2^{n}{\tbinom {n}{m}}}$por este número.

El número de facetas del hipercubo se puede utilizar para calcular el${\displaystyle (n-1)}$Volumen dimensional de su frontera: ese volumen es${\displaystyle 2n}$veces el volumen de un${\displaystyle (n-1)}$hipercubo de -dimensiones; es decir,${\displaystyle 2ns^{n-1}}$dónde${\displaystyle s}$es la longitud de las aristas del hipercubo.

Estos números también pueden generarse mediante la relación de recurrencia lineal .

${\displaystyle E_{m,n}=2E_{m,n-1}+E_{m-1,n-1}\!}$, con  ${\displaystyle E_{0,0}=1}$, y${\displaystyle E_{m,n}=0}$cuando${\displaystyle n<m}$,${\displaystyle n<0}$, o${\displaystyle m<0}$.

Por ejemplo, extender un cuadrado a través de sus 4 vértices agrega un segmento de línea (arista) adicional por vértice. Agregar el cuadrado opuesto para formar un cubo proporciona${\displaystyle E_{1,3}=12}$segmentos de línea.

El f-vector extendido para un n -cubo también se puede calcular mediante expansión.${\displaystyle (2x+1)^{n}}$(de forma concisa, (2,1) ⁿ ), y leyendo los coeficientes del polinomio resultante . Por ejemplo, los elementos de un teseracto son (2,1) ⁴ = (4,4,1) ² = (16,32,24,8,1).

Los hipercubos son una de las pocas familias de politopos regulares que se pueden representar en cualquier número de dimensiones. ^{[ 8 ]}

La familia de hipercubos es una de las tres familias de politopos regulares , etiquetadas por Coxeter como γ _n . Las otras dos son la familia dual de hipercubos, los politopos cruzados , etiquetados como β _n, y los símplices , etiquetados como α _n . Una cuarta familia, las teselaciones infinitas de hipercubos , se etiqueta como δ _n .

Otra familia relacionada de politopos semirregulares y uniformes son los demihipercubos , que se construyen a partir de hipercubos con vértices alternos eliminados y facetas simplex añadidas en los huecos, etiquetados como hγ _n .

Los n -cubos se pueden combinar con sus duales (los politopos cruzados ) para formar politopos compuestos:

• En dos dimensiones, obtenemos la figura de estrella octagrámica {8/2},
• En tres dimensiones obtenemos el compuesto de cubo y octaedro ,
• En cuatro dimensiones obtenemos el compuesto de teseracto y 16-celda.

El grafo de las aristas del n -hipercubo es isomorfo al diagrama de Hasse de la red de caras del ( n- 1) -símplex . Esto se puede observar orientando el n -hipercubo de manera que dos vértices opuestos se encuentren verticalmente, correspondiendo al ( n -1)-símplex y al politopo nulo, respectivamente. Cada vértice conectado al vértice superior se corresponde de forma única con una de las facetas ( n -2 caras) del ( n -1)-símplex , y cada vértice conectado a esos vértices se corresponde con una de las n -3 caras del símplex , y así sucesivamente, y los vértices conectados al vértice inferior se corresponden con los vértices del símplex.

Esta relación puede utilizarse para generar de forma eficiente la red de caras de un ( n -1)-símplex, ya que los algoritmos de enumeración de redes de caras aplicables a politopos generales son computacionalmente más costosos.

Los politopos complejos regulares se pueden definir en el espacio de Hilbert complejo llamados hipercubos generalizados , γ ^p _n = _p {4} ₂ {3}... ₂ {3} ₂ , o .. . Existen soluciones reales con p = 2, es decir γ ² _n = γ _n = ₂ {4} ₂ {3}... ₂ {3} ₂ = {4,3,..,3}. Para p > 2, existen en${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Las facetas son cubos generalizados ( n −1) y la figura del vértice son símplexes regulares .

El perímetro del polígono regular que se observa en estas proyecciones ortogonales se denomina polígono de Petrie . Los cuadrados generalizados ( n = 2) se muestran con aristas delineadas en rojo y azul alternando los colores p , mientras que los cubos de mayor n se dibujan con aristas delineadas en negro .

El número de elementos de m caras en un n -cubo generalizado p es:${\displaystyle p^{n-m}{n \choose m}}$. Esto tiene p ⁿ vértices y pn facetas. ^{[ 9 ]}

Cualquier entero positivo elevado a otra potencia entera positiva dará como resultado un tercer entero, que será un tipo específico de número figurado correspondiente a un n -cubo con un número de dimensiones igual al exponente. Por ejemplo, el exponente 2 dará como resultado un cuadrado perfecto, que puede representarse en forma de cuadrado con un lado igual a la base. De manera similar, el exponente 3 dará como resultado un cubo perfecto , un entero que puede representarse en forma de cubo con un lado igual a la base. Por lo tanto, elevar un número a 2 o 3 se conoce comúnmente como " elevar al cuadrado " y "elevar al cubo", respectivamente. Sin embargo, los nombres de los hipercubos de orden superior no parecen ser de uso común para potencias más altas.

• Red de interconexión de hipercubos de arquitectura informática
• Grupo hiperoctaédrico , el grupo de simetría del hipercubo
• Hiperesfera
• Simplex
• Paralelotopo
• Crucifixión (Corpus Hypercubus) , una pintura de Salvador Dalí que presenta un 4-cubo desplegado.

• Bowen, JP (abril de 1982). "Hipercubo" . Practical Computing . 5 (4): 97– 99. Archivado del original el 30 de junio de 2008. Recuperado el 30 de junio de 2008 .
• Coxeter, HSM (1973). "§7.2. véase la ilustración Fig. 7-2c". Politopos regulares (3.ª  ed.). Dover . págs. 122-123 . ISBN  0-486-61480-8.pág.  296, Tabla I (iii): Politopos regulares, tres politopos regulares en n dimensiones ( n  ≥  5)
• Hill, Frederick J.; Gerald R. Peterson (1974). Introducción a la teoría de conmutación y al diseño lógico: Segunda edición . Nueva York: John Wiley & Sons . ISBN 0-471-39882-9.Véase el capítulo 7.1 "Representación cúbica de funciones booleanas", donde se introduce la noción de "hipercubo" como un medio para demostrar un código de distancia 1 ( código Gray ) como los vértices de un hipercubo, y luego el hipercubo con sus vértices así etiquetados se comprime en dos dimensiones para formar un diagrama de Veitch o un mapa de Karnaugh .

• Weisstein, Eric W. "Hipercubo" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Grafos de hipercubo" . MathWorld .
• Rotación de un hipercubo por Enrique Zeleny, Proyecto de demostraciones de Wolfram .
• Descargas de Hypercube de Rudy Rucker y Farideh Dormishian
• A001787 Número de aristas en un hipercubo n-dimensional.     en OEIS