Grupo hiperoctaédrico

En matemáticas , un grupo hiperoctaédrico es un tipo importante de grupo que puede representarse como el grupo de simetrías de un hipercubo o de un politopo cruzado . Fue nombrado por Alfred Young en 1930. Los grupos de este tipo se identifican por un parámetro $n$ , la dimensión del hipercubo.

Como grupo de Coxeter es de tipo $B n = C n$ , y como grupo de Weyl está asociado a los grupos simplécticos y a los grupos ortogonales en dimensiones impares. Como producto corona es donde $S$ $n$ es el grupo simétrico de grado $n$ . Como grupo de permutaciones , el grupo es el grupo simétrico con signo de permutaciones π ya sea del conjunto ⁠ ⁠ o del conjunto ⁠ ⁠ tales que ⁠ ⁠ para todo $i$ . Como grupo de matrices , puede describirse como el grupo de matrices ortogonales $n$ $\times$ $n$ cuyas entradas son todas números enteros . Equivalentemente, este es el conjunto de matrices $n$ $\times$ $n$ con entradas solo 0, 1 o –1, que son invertibles y que tienen exactamente una entrada distinta de cero en cada fila o columna. La teoría de representación del grupo hiperoctaédrico fue descrita por (Young 1930) según (Kerber 1971, p. 2). $Estilo de visualización S_{2}\wr S_{n}}$ $\{-n,-n+1,\cpuntos ,-1,1,2,\cpuntos ,n\}$ $\{-n,-n+1,\cpuntos ,n\}$ $\pi (i)=-\pi (-i)$

En tres dimensiones, el grupo hiperoctaédrico se conoce como $O \times S 2$ donde $O ≅ S 4$ es el grupo octaédrico , y $S 2$ es un grupo simétrico (aquí un grupo cíclico ) de orden 2. Se dice que las figuras geométricas en tres dimensiones con este grupo de simetría tienen simetría octaédrica , llamada así por el octaedro regular , o 3- ortoplex . En 4 dimensiones se llama simetría hexadecacórica , por la celda regular de 16 , o 4 - ortoplex . En dos dimensiones, la estructura del grupo hiperoctaédrico es el grupo diedro abstracto de orden ocho , que describe la simetría de un cuadrado , o 2-ortoplex.

Por dimensión

Los grupos hiperoctaédricos pueden denominarse como B _n , una notación entre corchetes, o como un gráfico de grupo de Coxeter:

Subgrupos

Hay un notable subgrupo de índice dos, correspondiente al grupo de Coxeter D _n y las simetrías del semihipercubo . Visto como un producto de corona, hay dos mapas naturales del grupo hiperoctaédrico al grupo cíclico de orden 2: un mapa que proviene de "multiplicar los signos de todos los elementos" (en las n copias de ), y un mapa que proviene de la paridad de la permutación. Multiplicando estos juntos produce un tercer mapa . El núcleo del primer mapa es el grupo de Coxeter En términos de permutaciones con signo , pensadas como matrices, este tercer mapa es simplemente el determinante, mientras que los dos primeros corresponden a "multiplicar las entradas distintas de cero" y "paridad de la permutación subyacente (sin signo)", que generalmente no son significativas para matrices, pero en el caso se deben a la coincidencia con un producto de corona. ${\estilo de visualización \{\pm 1\}}$ $C_{n}\to \{\pm 1\}$ $D_{n}.$

Los núcleos de estos tres mapas son los tres subgrupos de índice dos del grupo hiperoctaédrico, como se analiza en H1: Abelianización a continuación, y su intersección es el subgrupo derivado , de índice 4 (cociente del grupo 4 de Klein), que corresponde a las simetrías rotacionales del semihipercubo.

En la otra dirección, el centro es el subgrupo de matrices escalares, {±1}; geométricamente, cocientear por esto corresponde a pasar al grupo ortogonal proyectivo .

En dimensión 2 estos grupos describen completamente el grupo hiperoctaédrico, que es el grupo diedro Dih ₄ de orden 8 , y es una extensión 2.V (del 4-grupo por un grupo cíclico de orden 2). En general, pasando al subcociente (subgrupo derivado, centro mod) se encuentra el grupo de simetría del semihipercubo proyectivo.

El subgrupo hiperoctaédrico , D _n por dimensión:

La simetría hiperoctaédrica quiral , es el subgrupo directo, índice 2 de la simetría hiperoctaédrica.

Otro subgrupo de índice 2 notable puede llamarse simetría hiperpiritoédrica , por dimensión: ^[5] Estos grupos tienen n espejos ortogonales en n dimensiones.

Homología

La homología de grupo del grupo hiperoctaédrico es similar a la del grupo simétrico y exhibe estabilización, en el sentido de la teoría de homotopía estable .

yo₁: abelianización

El primer grupo de homología, que concuerda con la abelianización , se estabiliza en el cuatro-grupo de Klein y está dado por:

H_{1}(C_{n},\mathbf {Z} )={\begin{cases}0&n=0\\\mathbf {Z} /2&n=1\\\mathbf {Z} /2\times \mathbf {Z} /2&n\geq 2\end{cases}}.

Esto se ve fácilmente de manera directa: los elementos son de orden 2 (que no está vacío para ), y todos conjugados, al igual que las transposiciones en (que no está vacío para ), y estas son dos clases separadas. Estos elementos generan el grupo, por lo que las únicas abelianizaciones no triviales son a 2-grupos, y cualquiera de estas clases se puede enviar independientemente a ya que son dos clases separadas. Las aplicaciones se dan explícitamente como "el producto de los signos de todos los elementos" (en las n copias de ), y el signo de la permutación. Multiplicarlos juntos produce una tercera aplicación no trivial (el determinante de la matriz, que envía ambas clases a ), y junto con la aplicación trivial forman el 4-grupo. $-1$ $n\geq 1$ $S_{n}$ $n\geq 2$ $-1\in \{\pm 1\},$ $\{\pm 1\}$ $-1$

yo₂:Multiplicadores de Schur

Los segundos grupos de homología, conocidos clásicamente como multiplicadores de Schur , se calcularon en (Ihara y Yokonuma 1965).

Ellos son:

H_{2}(C_{n},\mathbf {Z} )={\begin{cases}0&n=0,1\\\mathbf {Z} /2&n=2\\(\mathbf {Z} /2)^{2}&n=3\\(\mathbf {Z} /2)^{3}&n\geq 4\end{cases}}.

Notas

^ abcd Conway y Smith 2003
^ du Val 1964, n.° 47
^ du Val 1964, n.° 42
^ du Val 1964, n.° 27
^ Coxeter 1999, p. 121, Ensayo 5 Poliedros oblicuos regulares
^ du Val 1964, n.° 41

Referencias

Miller, GA (1918). "Grupos formados por matrices especiales". Bull. Am. Math. Soc . 24 (4): 203–6. doi : 10.1090/S0002-9904-1918-03043-7 .
Du Val, P. (1964). Homografías, cuaterniones y rotaciones. Monografías matemáticas de Oxford. Clarendon Press. OCLC 904102141.
Ihara, Shin-ichiro; Yokonuma, Takeo (1965), "Sobre los grupos de segunda cohomología (multiplicadores de Schur) de grupos de reflexión finitos", Revista de la Facultad de Ciencias. Universidad de Tokio. Sección IA. Matemáticas , 11 : 155–171, ISSN 0040-8980, MR 0190232
Kerber, Adalbert (1971), Representaciones de grupos de permutación. I , Lecture Notes in Mathematics, vol. 240, Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0067943, ISBN 978-3-540-05693-5, Sr. 0325752
Kerber, Adalbert (1975), Representaciones de grupos de permutación. II , Lecture Notes in Mathematics, vol. 495, Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0085740, ISBN 978-3-540-07535-6, Sr. 0409624
Young, Alfred (1930), "Sobre el análisis sustitucional cuantitativo 5", Actas de la London Mathematical Society , Serie 2, 31 : 273–288, doi :10.1112/plms/s2-31.1.273, ISSN 0024-6115, JFM 56.0135.02
Coxeter, HSM; Moser, WOJ (2013) [1980]. Generadores y relaciones para grupos discretos (4.ª ed.). Springer. pág. 92 §7.4 Grupos fraccionarios lineales, pág. 122 §9.3 Grupos finitos. ISBN 978-3-662-21943-0.
Baake, M. (1984). "Estructura y representaciones del grupo hiperoctaédrico". J. Math. Phys . 25 (11): 3171. Bibcode :1984JMP....25.3171B. doi :10.1063/1.526087.
Stembridge, John R. (1992). "Las representaciones proyectivas del grupo hiperoctaédrico". J. Algebra . 145 (2): 396–453. doi :10.1016/0021-8693(92)90110-8. hdl : 2027.42/30235 .
Coxeter, HSM (1999). La belleza de la geometría: doce ensayos . Dover. ISBN 0-486-40919-8. Número de serie LCCN 99035678.
Conway, John H .; Smith, Derek A. (2003). Sobre cuaterniones y octoniones. CRC Press. ISBN 978-1-000-68777-4.

[Conway03-1] Conway y Smith 2003

[2] u Val 1964, n.° 47

[3] u Val 1964, n.° 42

[4] u Val 1964, n.° 27

[5] Coxeter 1999, p. 121, Ensayo 5 Poliedros oblicuos regulares

[6] u Val 1964, n.° 41