Matriz de permutación generalizada

En matemáticas , una matriz de permutación generalizada (o matriz monomial ) es una matriz con el mismo patrón de elementos no nulos que una matriz de permutación , es decir, hay exactamente un elemento no nulo en cada fila y en cada columna. A diferencia de una matriz de permutación, donde el elemento no nulo debe ser 1, en una matriz de permutación generalizada el elemento no nulo puede ser cualquier valor distinto de cero. Un ejemplo de una matriz de permutación generalizada es:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&3&0\\0&-7&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}.}$

Una matriz invertible A es una matriz de permutación generalizada si y solo si puede escribirse como un producto de una matriz diagonal invertible D y una matriz de permutación (implícitamente invertible ) P : es decir,

${\displaystyle A=DP.}$

• Si una matriz no singular y su inversa son ambas matrices no negativas (es decir, matrices con entradas no negativas), entonces la matriz es una matriz de permutación generalizada.
• El determinante de una matriz de permutación generalizada viene dado por$${\displaystyle \det(G)=\det(P)\cdot \det(D)=\operatorname {sgn} (\pi )\cdot d_{11}\cdot \ldots \cdot d_{nn},}$$dónde${\displaystyle \operatorname {sgn} (\pi )}$es el signo de la permutación${\displaystyle \pi }$asociado con${\displaystyle P}$ y${\displaystyle d_{11},\ldots ,d_{nn}}$son los elementos diagonales de${\displaystyle D}$.

Se puede generalizar aún más permitiendo que las entradas pertenezcan a un anillo , en lugar de a un cuerpo. En ese caso, si se requiere que las entradas no nulas sean unidades del anillo, se obtiene nuevamente un grupo. Por otro lado, si solo se requiere que las entradas no nulas sean distintas de cero, pero no necesariamente invertibles, este conjunto de matrices forma un semigrupo .

También se puede permitir esquemáticamente que las entradas no nulas pertenezcan a un grupo G, entendiendo que la multiplicación de matrices solo implicará multiplicar un único par de elementos del grupo, no "sumar" elementos del grupo. Esto es un abuso de notación , ya que los elementos de las matrices que se multiplican deben permitir la multiplicación y la suma, pero es una noción sugerente para el grupo abstracto (formalmente correcto).${\displaystyle G\wr S_{n}}$(el producto de la corona del grupo G por el grupo simétrico).

Una matriz de permutación con signo es una matriz de permutación generalizada cuyas entradas no nulas son ±1, y son las matrices de permutación generalizadas enteras con inverso entero.

• Joyner, David (2008). Aventuras en la teoría de grupos. El cubo de Rubik, la máquina de Merlín y otros juguetes matemáticos (2.ª ed. actualizada y revisada  ). Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press. ISBN 978-0-8018-9012-3. Zbl 1221.00013 .