Semihipercubo

En geometría , los semihipercubos (también llamados n-demicubos , n-hemicubos y politopos de media medida ) son una clase de n - politopos construidos a partir de la alternancia de un n - hipercubo , etiquetado como hγ _n por ser la mitad de la familia de hipercubos, γ _n . Se elimina la mitad de los vértices y se forman nuevas facetas. Las 2 n facetas se convierten en 2 n ( n −1)-demicubos , y se forman 2 ⁿ ( n −1) -facetas símplex en lugar de los vértices eliminados. ^[1]

Se les ha dado un prefijo demi- a cada nombre de hipercubo : demicubo, demiteseracto, etc. El demicubo es idéntico al tetraedro regular , y el demiteseracto es idéntico al tetraedro regular de 16 celdas . El demipenteracto se considera semirregular por tener solo facetas regulares. Las formas superiores no tienen todas las facetas regulares, sino que son todos politopos uniformes .

Los vértices y los bordes de un semihipercubo forman dos copias del gráfico del cubo dividido por la mitad .

Un n -demicubo tiene simetría de inversión si n es par .

Thorold Gosset describió el demipenteracto en su publicación de 1900, en la que enumeraba todas las figuras regulares y semirregulares de n dimensiones superiores a tres. Lo llamó semirregular 5-ico . También existe dentro de la familia de politopos semirregulares k _{21 .}

Los semihipercubos se pueden representar mediante símbolos Schläfli extendidos de la forma h{4,3,...,3} como la mitad de los vértices de {4,3,...,3}. Las figuras de vértices de los semihipercubos son n - símplex rectificados .

Se representan mediante diagramas de Coxeter-Dynkin de tres formas constructivas:

1. ... (Como ortótopo alternado ) s{2 ^1,1,...,1 }
2. ...(Como un hipercubo alternado ) h{4,3 ^{n −1} }
3. .... (Como un semihipercubo) {3 ^{1, n −3,1} }

HSM Coxeter también etiquetó los terceros diagramas de bifurcación como 1 _{k 1,} que representan las longitudes de las tres ramas y están lideradas por la rama anillada.

Un n-demicubo , n mayor que 2, tiene n ( n −1)/2 aristas que se encuentran en cada vértice. Los gráficos a continuación muestran menos aristas en cada vértice debido a la superposición de aristas en la proyección de simetría.

En general, los elementos de un semicubo se pueden determinar a partir del n -cubo original: (con C _{n , m} = m ^-ésimo número de caras en el n -cubo = 2 ^{n − m} n !/( m !( n − m )!))

• Vértices: D _{n ,0} = 1/2 C _{n ,0} = 2 ^{n −1} ( Quedan la mitad de los vértices del n -cubo)
• Aristas: D _{n ,1} = C _{n ,2} = 1/2 n ( n −1) 2 ^{n −2} (Se pierden todas las aristas originales, cada cara cuadrada crea una nueva arista)
• Caras: D _{n ,2} = 4 * C _{n ,3} = 2/3 n ( n −1)( n −2) 2 ^{n −3} (Se pierden todas las caras originales, cada cubo crea 4 nuevas caras triangulares)
• Células: D _{n ,3} = C _{n ,3} + 2 ³ C _{n ,4} (tetraedros de las células originales más las nuevas)
• Hiperceldas: D _{n ,4} = C _{n ,4} + 2 ⁴ C _{n ,5} (16 celdas y 5 celdas respectivamente)
• ...
• [Para m = 3,..., n −1]: D _{n , m} = C _{n , m} + 2 ^m C _{n , m +1} ( m -demicubos y m -símplex respectivamente)
• ...
• Facetas: D _{n , n −1} = 2 n + 2 ^{n −1} (( n −1)-demicubos y ( n −1)-símplices respectivamente)

El estabilizador del semihipercubo en el grupo hiperoctaédrico (el grupo de Coxeter [4,3 ^{n −1} ]) tiene índice 2. Es el grupo de Coxeter [3 ^{n −3,1,1} ] de orden , y se genera por permutaciones de los ejes de coordenadas y reflexiones a lo largo de pares de ejes de coordenadas. ^[2]$Estilo de visualización BC_{n}$${\displaystyle D_{n},}$$estilo de visualización 2^{n-1}n!}$

Las construcciones como ortotopos alternados tienen la misma topología, pero pueden estirarse con diferentes longitudes en n ejes de simetría.

El disfenoide rómbico es el ejemplo tridimensional de cuboide alternado. Tiene tres conjuntos de longitudes de aristas y caras triangulares escalenas .

• Panal de abejas hipercubo
• Politopo E semirregular

• T. Gosset : Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , Messenger of Mathematics , Macmillan, 1900
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 26, págs. 409: Hemicubos: 1 _n1 ) 
• Caleidoscopios: escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]  
  • (Artículo 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]

• Olshevsky, George. «Polítopo de media medida». Glosario de hiperespacio . Archivado desde el original el 4 de febrero de 2007.