Polítopo

En geometría elemental , un politopo es un objeto geométrico con caras planas . Los politopos son la generalización de los poliedros tridimensionales a cualquier número de dimensiones. Los politopos pueden existir en cualquier número general de dimensiones $n$ como un politopo $n- dimensional o$ $n$ -politopo . Por ejemplo, un polígono bidimensional es un 2-politopo y un poliedro tridimensional es un 3-politopo. En este contexto, "caras planas" significa que las caras de un $(k + 1)$ -politopo están formadas por $k$ -politopos que pueden tener $(k - 1)$ -politopos en común.

Algunas teorías generalizan aún más la idea para incluir objetos como apeirotopos y teselaciones no acotados , descomposiciones o recubrimientos de variedades curvas, incluidos poliedros esféricos , y politopos abstractos de teoría de conjuntos .

Los politopos de más de tres dimensiones fueron descubiertos por primera vez por Ludwig Schläfli antes de 1853, quien llamó a dicha figura polisquema . ^{[ 1 ]} El término alemán Polytop fue acuñado por el matemático Reinhold Hoppe y fue introducido a los matemáticos ingleses como polytope por Alicia Boole Stott .

Definiciones y terminología

Actualmente, el término politopo es amplio y abarca una gran variedad de objetos, y en la literatura matemática aparecen diversas definiciones. Muchas de estas definiciones no son equivalentes entre sí, lo que da lugar a que distintos conjuntos de objetos superpuestos se denominen politopos . Representan diferentes enfoques para generalizar los politopos convexos e incluir otros objetos con propiedades similares.

El enfoque original, ampliamente seguido por Ludwig Schläfli , Thorold Gosset y otros, comienza con la extensión por analogía a cuatro o más dimensiones de la idea de polígono y poliedro, respectivamente, en dos y tres dimensiones. ^{[ 2 ]}

Los intentos de generalizar la característica de Euler de los poliedros a politopos de dimensiones superiores llevaron al desarrollo de la topología y al tratamiento de una descomposición o complejo CW como análogo a un politopo. ^{[ 3 ]} En este enfoque, un politopo puede considerarse como una teselación o descomposición de alguna variedad dada . Un ejemplo de este enfoque define un politopo como un conjunto de puntos que admite una descomposición simplicial . En esta definición, un politopo es la unión de un número finito de símplices , con la propiedad adicional de que, para cualesquiera dos símplices que tienen una intersección no vacía, su intersección es un vértice, arista o cara de dimensión superior de los dos. ^{[ 4 ]} Sin embargo, esta definición no permite politopos estrellados con estructuras internas, y por lo tanto está restringida a ciertas áreas de las matemáticas.

El descubrimiento de poliedros estrellados y otras construcciones inusuales condujo a la idea de un poliedro como superficie límite, ignorando su interior. ^{[ 5 ]} En este sentido, los politopos convexos en el espacio p son equivalentes a teselaciones de la ( p −1)-esfera , mientras que otros pueden ser teselaciones de otras superficies ( p −1) elípticas , planas o toroidales – véase teselación elíptica y poliedro toroidal . Un poliedro se entiende como una superficie cuyas caras son polígonos , un 4-politopo como una hipersuperficie cuyas facetas ( celdas ) son poliedros, y así sucesivamente.

La idea de construir un politopo de mayor dimensión a partir de politopos de menor dimensión también se extiende a veces hacia abajo en la dimensión, considerando una arista como un politopo de dimensión 1 delimitado por un par de puntos, y un punto o vértice como un politopo de dimensión 0. Este enfoque se utiliza, por ejemplo, en la teoría de politopos abstractos .

En ciertos campos de las matemáticas, los términos "politopo" y "poliedro" se usan en un sentido diferente: un poliedro (o poliedro n -dimensional ) es el objeto genérico (acotado o no acotado) en cualquier dimensión (denominado politopo en este artículo) y politopo significa un poliedro acotado . ^{[ 6 ]} Esta terminología se limita generalmente a politopos y poliedros convexos . Con esta terminología, un poliedro convexo es la intersección de un número finito de semiplanos y se define por sus lados, mientras que un politopo convexo es la envoltura convexa de un número finito de puntos y se define por sus vértices.

Los politopos con un número menor de dimensiones tienen nombres estándar:

Elementos

Un politopo comprende elementos de distinta dimensionalidad, como vértices, aristas, caras, celdas, etc. La terminología para estos no es del todo consistente entre los distintos autores. Por ejemplo, algunos autores usan «cara» para referirse a un elemento de dimensión ( n - 1), mientras que otros usan «cara» para denotar específicamente una cara de dimensión 2. Los autores pueden usar «j -cara» o «j- faceta» para indicar un elemento de dimensión j . Algunos usan «arista» para referirse a una cresta, mientras que HSM Coxeter usa «celda» para denotar un elemento de dimensión ( n - 1). ^{[ 8 ]}

Los términos adoptados en este artículo se presentan en la tabla a continuación:

Un politopo n -dimensional está delimitado por varias facetas ( n - 1)-dimensionales . Estas facetas son a su vez politopos, cuyas facetas son aristas ( n - 2)-dimensionales del politopo original. Cada arista surge como la intersección de dos facetas (pero la intersección de dos facetas no necesariamente es una arista). Las aristas son nuevamente politopos cuyas facetas dan lugar a límites ( n - 3)-dimensionales del politopo original, y así sucesivamente. Estos subpolitopos delimitadores pueden denominarse caras , o específicamente caras j- dimensionales o j -caras. Una cara 0-dimensional se llama vértice y consta de un solo punto. Una cara 1-dimensional se llama arista y consta de un segmento de línea. Una cara 2-dimensional consta de un polígono , y una cara 3-dimensional, a veces llamada celda , consta de un poliedro .

Clases importantes de politopos

politopos convexos

Un politopo puede ser convexo . Los politopos convexos son el tipo más simple de politopos y constituyen la base de varias generalizaciones diferentes del concepto de politopo. Un politopo convexo se define a veces como la intersección de un conjunto de semiplanos . Esta definición permite que un politopo no sea ni acotado ni finito. Los politopos se definen de esta manera, por ejemplo, en programación lineal . Un politopo es acotado si existe una bola de radio finito que lo contiene. Se dice que un politopo es puntiagudo si contiene al menos un vértice. Todo politopo acotado no vacío es puntiagudo. Un ejemplo de un politopo no puntiagudo es el conjunto $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x\geq 0\}$ Un politopo es finito si se define mediante un número finito de objetos, por ejemplo, como la intersección de un número finito de semiplanos. Es un politopo entero si todos sus vértices tienen coordenadas enteras.

Una cierta clase de politopos convexos son los politopos reflexivos . Una integral $d$ -politopo ${\mathcal {P}}$ es reflexivo si para alguna matriz entera $\mathbf {A}$ , ${\mathcal {P}}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}:\mathbf {Ax} \leq \mathbf {1} \}$ , dónde $\mathbf {1}$ denota un vector de todos unos, y la desigualdad es componente a componente. De esta definición se deduce que ${\mathcal {P}}$ es reflexivo si y solo si $(t+1){\mathcal {P}}^{\circ }\cap \mathbb {Z} ^{d}=t{\mathcal {P}}\cap \mathbb {Z} ^{d}$ a pesar de $t\in \mathbb {Z} _{\geq 0}$ . En otras palabras, un $(t+1)$ -dilatación de ${\mathcal {P}}$ difiere, en términos de puntos de retícula enteros, de un $t$ -dilatación de ${\mathcal {P}}$ únicamente mediante puntos de red obtenidos en el límite. Equivalentemente, ${\mathcal {P}}$ es reflexivo si y solo si su politopo dual ${\mathcal {P}}^{*}$ es un politopo integral. ^{[ 9 ]}

politopos regulares

Los politopos regulares poseen el mayor grado de simetría de todos los politopos. El grupo de simetría de un politopo regular actúa transitivamente sobre sus banderas ; por lo tanto, el politopo dual de un politopo regular también es regular.

Existen tres clases principales de politopos regulares que aparecen en cualquier número de dimensiones:

Símplices , incluyendo el triángulo equilátero y el tetraedro regular .
Hipercubos o politopos de medida, incluyendo el cuadrado y el cubo .
Ortoplexos o politopos cruzados, incluyendo el octaedro cuadrado y regular .

Las dimensiones dos, tres y cuatro incluyen figuras regulares que poseen simetrías quíntuples y algunas de las cuales son estrellas no convexas, y en dos dimensiones existen infinitos polígonos regulares de simetría n -ésima, tanto convexos como (para n ≥ 5) estrellados. Pero en dimensiones superiores no existen otros politopos regulares. ^{[ 2 ]}

En tres dimensiones, los sólidos platónicos convexos incluyen el dodecaedro y el icosaedro , ambos con simetría quíntuple , y también existen cuatro poliedros estrellados de Kepler-Poinsot con simetría quíntuple, lo que eleva el total a nueve poliedros regulares.

En cuatro dimensiones, los 4-politopos regulares incluyen un sólido convexo adicional con simetría cuádruple y dos con simetría quíntuple. Existen diez 4-politopos estrellados de Schläfli-Hess , todos con simetría quíntuple, lo que da un total de dieciséis 4-politopos regulares.

politopos estrellados

Un politopo no convexo puede autointersecarse; esta clase de politopos incluye los politopos estrellados . Algunos politopos regulares son estrellas. ^{[ 2 ]}

Propiedades

Característica de Euler

Dado que un politopo convexo (lleno) P en $d$ Las dimensiones son contraíbles hasta cierto punto, la característica de Euler $\chi$ de su frontera ∂P viene dada por la suma alternada:

\chi =n_{0}-n_{1}+n_{2}-\cdots \pm n_{d-1}=1+(-1)^{d-1}

, dónde

n_{j}

es el número de

j

-caras dimensionales.

Esto generaliza la fórmula de Euler para poliedros . ^{[ 10 ]}

ángulos internos

El teorema de Gram-Euler generaliza de manera similar la suma alternada de ángulos internos. ${\textstyle \sum \varphi }$ para poliedros convexos a politopos de dimensiones superiores: ^{[ 10 ]}

\sum \varphi =(-1)^{d-1}

Generalizaciones de un politopo

politopos infinitos

No todas las variedades son finitas. Si bien un politopo se entiende como un recubrimiento o descomposición de una variedad, esta idea puede extenderse a variedades infinitas. Los recubrimientos planos , los recubrimientos que llenan el espacio ( panales de abeja ) y los recubrimientos hiperbólicos son, en este sentido, politopos, y a veces se les denomina apeirotopos porque tienen un número infinito de celdas.

Entre ellas, existen formas regulares, como los poliedros sesgados regulares y la serie infinita de teselaciones representadas por el apeirogon regular , el teselado cuadrado, el panal cúbico, etc.

politopos abstractos

La teoría de los politopos abstractos intenta separar los politopos del espacio que los contiene, considerando sus propiedades puramente combinatorias. Esto permite extender la definición del término para incluir objetos para los que es difícil definir un espacio subyacente intuitivo, como la celda de 11 elementos .

Un politopo abstracto es un conjunto parcialmente ordenado de elementos o miembros que obedece ciertas reglas. Es una estructura puramente algebraica, y la teoría se desarrolló para evitar algunos de los problemas que dificultan la conciliación de las diversas clases geométricas dentro de un marco matemático coherente. Se dice que un politopo geométrico es una realización en algún espacio real del politopo abstracto asociado. ^{[ 11 ]}

politopos complejos

En los espacios de Hilbert complejos existen estructuras análogas a los politopos. $\mathbb {C} ^{n}$ donde n dimensiones reales van acompañadas de n dimensiones imaginarias . Los politopos complejos regulares se tratan de forma más apropiada como configuraciones . ^{[ 12 ]}

Dualidad

Cada n -politopo tiene una estructura dual, obtenida al intercambiar sus vértices por facetas, aristas por crestas, etc., generalmente intercambiando sus elementos de dimensión ( j − 1) por elementos de dimensión ( n − j ) (para j = 1 a n − 1), mientras se conserva la conectividad o incidencia entre los elementos.

Para un politopo abstracto, esto simplemente invierte el orden del conjunto. Esta inversión se observa en los símbolos de Schläfli para politopos regulares, donde el símbolo del politopo dual es simplemente el inverso del original. Por ejemplo, {4, 3, 3} es dual de {3, 3, 4}.

En el caso de un politopo geométrico, es necesaria alguna regla geométrica para la dualización; véanse, por ejemplo, las reglas descritas para los poliedros duales . Dependiendo de las circunstancias, la figura dual puede ser o no otro politopo geométrico. ^{[ 13 ]}

Si se invierte el dual, se recupera el politopo original. Por lo tanto, los politopos existen en pares duales.

politopos autoduales

Si un politopo tiene el mismo número de vértices que de facetas, de aristas que de crestas, etc., y las mismas conectividades, entonces la figura dual será similar a la original y el politopo es autodual.

Algunos politopos autoduales comunes incluyen:

Todo n - símplex regular , en cualquier número de dimensiones, con el símbolo de Schläfli {3 ⁿ }. Estos incluyen el triángulo equilátero {3}, el tetraedro regular {3,3} y el 5-celda {3,3,3}.
Cada panal hipercúbico , en cualquier número de dimensiones. Estos incluyen el apeirogon {∞}, el teselado cuadrado {4,4} y el panal cúbico {4,3,4}.
Numerosos teselados hiperbólicos compactos, paracompactos y no compactos, como el panal icosaédrico {3,5,3} y el teselado pentagonal de orden 5 {5,5}.
En 2 dimensiones, todos los polígonos regulares (2-politopos regulares)
En 3 dimensiones, las pirámides poligonales canónicas y las pirámides alargadas , y el dodecaedro tetraédrico disminuido.
En 4 dimensiones, la de 24 celdas , con el símbolo de Schläfli {3,4,3}. También la gran de 120 celdas {5,5/2,5} y la gran estrellada de 120 celdas {5/2,5,5/2}.

Historia

Los polígonos y los poliedros se conocen desde la antigüedad.

Un primer indicio de dimensiones superiores surgió en 1827, cuando August Ferdinand Möbius descubrió que dos sólidos simétricos pueden superponerse haciendo girar uno de ellos a través de una cuarta dimensión matemática. Para la década de 1850, otros matemáticos como Arthur Cayley y Hermann Grassmann también habían considerado la posibilidad de dimensiones superiores.

Ludwig Schläfli fue el primero en considerar análogos de polígonos y poliedros en estos espacios superiores. Describió los seis 4-politopos regulares convexos en 1852, pero su trabajo no se publicó hasta 1901, seis años después de su muerte. Para 1854, la tesis de habilitación de Bernhard Riemann había establecido firmemente la geometría de dimensiones superiores, y así se aceptó el concepto de politopos n -dimensionales. Los politopos de Schläfli fueron redescubiertos en numerosas ocasiones durante las décadas siguientes, incluso en vida del propio Schläfli.

En 1882, Reinhold Hoppe , escribiendo en alemán, acuñó la palabra «polytop» para referirse a este concepto más general de polígonos y poliedros. Posteriormente, Alicia Boole Stott , hija del lógico George Boole , introdujo el término «polytop» en inglés. ^{[ 2 ]}^{: vi}

En 1895, Thorold Gosset no solo redescubrió los politopos regulares de Schläfli, sino que también investigó las ideas de politopos semirregulares y teselaciones que llenan el espacio en dimensiones superiores. Los politopos también comenzaron a estudiarse en espacios no euclidianos, como el espacio hiperbólico.

En 1948 se alcanzó un hito importante con el libro Regular Polytopes de HSM Coxeter , que resumía el trabajo realizado hasta la fecha y añadía nuevos hallazgos propios.

Mientras tanto, el matemático francés Henri Poincaré había desarrollado la idea topológica de un politopo como la descomposición por partes (por ejemplo, un complejo CW ) de una variedad . Branko Grünbaum publicó su influyente trabajo sobre politopos convexos en 1967.

En 1952, Geoffrey Colin Shephard generalizó la idea como politopos complejos en un espacio complejo, donde cada dimensión real tiene asociada una dimensión imaginaria. Coxeter desarrolló aún más la teoría.

Las cuestiones conceptuales que planteaban los politopos complejos, la no convexidad, la dualidad y otros fenómenos llevaron a Grünbaum y otros al estudio más general de las propiedades combinatorias abstractas que relacionan vértices, aristas, caras, etc. Una idea relacionada fue la de los complejos de incidencia, que estudiaban la incidencia o conexión de los distintos elementos entre sí. Estos desarrollos condujeron finalmente a la teoría de los politopos abstractos como conjuntos parcialmente ordenados, o posets, de dichos elementos. Peter McMullen y Egon Schulte publicaron su libro Abstract Regular Polytopes en 2002.

Enumerar los politopos uniformes , convexos y no convexos, en cuatro o más dimensiones sigue siendo un problema pendiente. Los 4-politopos uniformes convexos fueron enumerados completamente por John Conway y Michael Guy usando una computadora en 1965; ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]} en dimensiones superiores este problema seguía abierto en 1997. ^{[ 16 ]} La enumeración completa para politopos uniformes no convexos no se conoce en cuatro dimensiones o más en 2008. ^{[ 17 ]}

En la actualidad, los politopos y conceptos relacionados han encontrado numerosas aplicaciones importantes en campos tan diversos como los gráficos por computadora , la optimización , los motores de búsqueda , la cosmología , la mecánica cuántica y muchos otros. En 2013, el amplituhedro fue descubierto como una construcción simplificadora en ciertos cálculos de física teórica.

Aplicaciones

En el campo de la optimización , la programación lineal estudia los máximos y mínimos de funciones lineales ; estos máximos y mínimos se producen en el límite de un politopo n- dimensional. En programación lineal, los politopos aparecen al utilizar coordenadas baricéntricas generalizadas y variables de holgura .

En la teoría de los twistores , una rama de la física teórica , se utiliza un politopo llamado amplituhedro para calcular las amplitudes de dispersión de partículas subatómicas cuando colisionan. Esta construcción es puramente teórica y no tiene ninguna manifestación física conocida, pero se dice que simplifica enormemente ciertos cálculos. ^{[ 18 ]}

Véase también

Volumen delimitador - politopo orientado discreto
Extensión de un poliedro
Panal de abejas (geometría)
Intersección de un poliedro con una línea
Lista de politopos regulares
Opetope
Polígono de Montreal

Referencias

Citas

↑ Coxeter 1973 , pp. 141–144, §7-x. Observaciones históricas.
1 2 3 4 Coxeter (1973)
↑ Richeson, D. (2008). La gema de Euler: La fórmula del poliedro y el nacimiento de la topología . Princeton University Press.
↑ Grünbaum (2003)
↑ Cromwell, P.; Poliedros , CUP (ppbk 1999) pp 205 y ss.
↑ Nemhauser y Wolsey, "Optimización entera y combinatoria", 1999, ISBN 978-0471359432, Definición 2.2.
1 2 3 Johnson, Norman W.; Geometrías y transformaciones , Cambridge University Press, 2018, pág. 224.
↑ Politopos regulares, pág. 127 La parte del politopo que se encuentra en uno de los hiperplanos se llama celda
↑ Beck, Matthias; Robins, Sinai (2007), Computing the Continuous Discretely: Integer-point enumeration in polyhedra , Undergraduate Texts in Mathematics, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-29139-0, MR 2271992
1 2 M. A. Perles y GC Shephard. 1967. "Sumas de ángulos de politopos convexos". Math. Scandinavica , Vol 21, No 2. Marzo de 1967. pp. 199–218.
↑ McMullen, Peter ; Schulte, Egon (diciembre de 2002), Abstract Regular Polytopes (1.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-81496-0
↑ Coxeter, HSM; Politopos complejos regulares , 1974
↑ Wenninger, M.; Modelos duales , CUP (1983).
↑ John Horton Conway: Mago matemático - Richard K. Guy
↑ Curtis, Robert Turner (junio de 2022). "John Horton Conway. 26 de diciembre de 1937—11 de abril de 2020" . Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society . 72 : 117–138 . doi : 10.1098/rsbm.2021.0034 .
↑ Simetría de politopos y poliedros , Egon Schulte. pág. 12: "Sin embargo, existen muchos más politopos uniformes, pero solo se conoce una lista completa para d = 4 [Joh]."
↑ John Horton Conway , Heidi Burgiel y Chaim Goodman-Strauss : Las simetrías de las cosas , pág. 408. «También existen análogos estelares de los poliedros de Arquímedes... Hasta donde sabemos, nadie ha enumerado aún los análogos en cuatro o más dimensiones».
^ Arkani-Hamed, Nima; Trnka, Jaroslav (2013). "El Amplituedro". Revista de Física de Altas Energías . 2014 (10): 30. arXiv : 1312.2007 . Código Bib : 2014JHEP...10..030A . doi : 10.1007/JHEP10(2014)030 .

Bibliografía

Coxeter, Harold Scott MacDonald (1973), Regular Polytopes , Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-61480-9.
Grünbaum, Branko (2003), Kaibel, Volker; Klee, Víctor ; Ziegler, Günter M. (eds.), Politopos convexos (2ª ed.), Nueva York y Londres: Springer-Verlag , ISBN 0-387-00424-6.
Ziegler, Günter M. (1995), Lecciones sobre politopos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 152, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag.

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Polítopo" . MathWorld .
"Las matemáticas te sorprenderán" – aplicación de politopos a una base de datos de artículos utilizada para generar noticias personalizadas a través de Internet – ( Business Week Online )
Politopos convexos regulares y semirregulares: una breve reseña histórica:

[FOOTNOTECoxeter1973141–144§7-x._Historical_remarks-1] Coxeter 1973 , pp. 141–144, §7-x. Observaciones históricas.

[coxeter1973-2] 1 2 3 4 Coxeter (1973)

[3] Richeson, D. (2008). La gema de Euler: La fórmula del poliedro y el nacimiento de la topología . Princeton University Press.

[Grünbaum2003-4] Grünbaum (2003)

[5] Cromwell, P.; Poliedros , CUP (ppbk 1999) pp 205 y ss.

[6] Nemhauser y Wolsey, "Optimización entera y combinatoria", 1999, ISBN 978-0471359432, Definición 2.2.

[johnson224-7] 1 2 3 Johnson, Norman W.; Geometrías y transformaciones , Cambridge University Press, 2018, pág. 224.

[8] Politopos regulares, pág. 127 La parte del politopo que se encuentra en uno de los hiperplanos se llama celda

[9] Beck, Matthias; Robins, Sinai (2007), Computing the Continuous Discretely: Integer-point enumeration in polyhedra , Undergraduate Texts in Mathematics, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-29139-0, MR 2271992

[pands-10] 1 2 M. A. Perles y GC Shephard. 1967. "Sumas de ángulos de politopos convexos". Math. Scandinavica , Vol 21, No 2. Marzo de 1967. pp. 199–218.

[11] McMullen, Peter ; Schulte, Egon (diciembre de 2002), Abstract Regular Polytopes (1.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-81496-0

[12] Coxeter, HSM; Politopos complejos regulares , 1974

[13] Wenninger, M.; Modelos duales , CUP (1983).

[14] John Horton Conway: Mago matemático - Richard K. Guy

[15] Curtis, Robert Turner (junio de 2022). "John Horton Conway. 26 de diciembre de 1937—11 de abril de 2020" . Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society . 72 : 117–138 . doi : 10.1098/rsbm.2021.0034 .

[16] Simetría de politopos y poliedros , Egon Schulte. pág. 12: "Sin embargo, existen muchos más politopos uniformes, pero solo se conoce una lista completa para d = 4 [Joh]."

[17] John Horton Conway , Heidi Burgiel y Chaim Goodman-Strauss : Las simetrías de las cosas , pág. 408. «También existen análogos estelares de los poliedros de Arquímedes... Hasta donde sabemos, nadie ha enumerado aún los análogos en cuatro o más dimensiones».

[18] Arkani-Hamed, Nima; Trnka, Jaroslav (2013). "El Amplituedro". Revista de Física de Altas Energías . 2014 (10): 30. arXiv : 1312.2007 . Código Bib : 2014JHEP...10..030A . doi : 10.1007/JHEP10(2014)030 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]