poliedro dual

En el espacio euclidiano , el dual de un poliedro${\displaystyle P}$A menudo se define en términos de reciprocidad polar alrededor de una esfera. Aquí, cada vértice (polo) se asocia con un plano de cara (plano polar o simplemente polar) de modo que el rayo desde el centro hasta el vértice es perpendicular al plano, y el producto de las distancias desde el centro a cada uno es igual al cuadrado del radio. ^{[ 3 ]}

Cuando la esfera tiene radio${\displaystyle r}$y está centrado en el origen (de modo que queda definido por la ecuación${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}}$), entonces el dual polar de un poliedro convexo${\displaystyle P}$se define como

${\displaystyle P^{\circ }=\{q~{\big |}~q\cdot p\leq r^{2}}$a pesar de${\displaystyle p}$en${\displaystyle P\},}$

dónde${\displaystyle q\cdot p}$denota el producto escalar estándar de${\displaystyle q}$y${\displaystyle p}$.

Normalmente, cuando no se especifica ninguna esfera en la construcción del dual, se utiliza la esfera unitaria, lo que significa${\displaystyle r=1}$en las definiciones anteriores. ^{[ 4 ]}

Para cada plano de cara de${\displaystyle P}$descrita por la ecuación lineal $${\displaystyle x_{0}x+y_{0}y+z_{0}z=r^{2},}$$ el vértice correspondiente del poliedro dual${\displaystyle P^{\circ }}$tendrá coordenadas${\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$. De manera similar, cada vértice de${\displaystyle P}$corresponde a un plano de cara de${\displaystyle P^{\circ }}$y cada línea de borde de${\displaystyle P}$corresponde a una línea de borde de${\displaystyle P^{\circ }}$. La correspondencia entre los vértices, aristas y caras de${\displaystyle P}$y${\displaystyle P^{\circ }}$invierte la inclusión. Por ejemplo, si una arista de${\displaystyle P}$contiene un vértice, la arista correspondiente de${\displaystyle P^{\circ }}$estará contenido en la cara correspondiente.

Para un poliedro con centro de simetría , es común usar una esfera centrada en este punto, como en la construcción de Dorman-Luke (mencionada más adelante). En su defecto, para un poliedro con una esfera circunscrita, inscrita o semiesfera (con todas sus aristas tangentes), se puede usar este método. Sin embargo, es posible recíproco un poliedro respecto a cualquier esfera, y la forma resultante del dual dependerá del tamaño y la posición de la esfera; a medida que la esfera varía, también lo hace la forma del dual. La elección del centro de la esfera es suficiente para definir el dual salvo similitud.

Si un poliedro en el espacio euclidiano tiene un plano de cara, una arista o un vértice sobre el centro de la esfera, el elemento correspondiente de su dual tenderá al infinito. Dado que el espacio euclidiano nunca alcanza el infinito, el equivalente proyectivo, denominado espacio euclidiano extendido, puede formarse añadiendo el "plano en el infinito" requerido. Algunos teóricos prefieren atenerse al espacio euclidiano y afirmar que no existe dual. Mientras tanto, Wenninger (1983) encontró una manera de representar estos duales infinitos, de forma adecuada para la creación de modelos (de una porción finita).

El concepto de dualidad aquí está estrechamente relacionado con la dualidad en geometría proyectiva , donde líneas y aristas se intercambian. La polaridad proyectiva funciona bastante bien para poliedros convexos. Pero para figuras no convexas como los poliedros estrellados, cuando intentamos definir rigurosamente esta forma de dualidad poliédrica en términos de polaridad proyectiva, aparecen varios problemas. ^{[ 5 ]} Debido a los problemas de definición para la dualidad geométrica de poliedros no convexos, Grünbaum (2007) argumenta que cualquier definición adecuada de un poliedro no convexo debería incluir una noción de un poliedro dual.

Duales canónicos

Cualquier poliedro convexo puede transformarse en una forma canónica , en la que existe una semiesfera (o interesfera) unitaria tangente a cada arista, de manera que la posición promedio de los puntos de tangencia coincide con el centro de la esfera. Esta forma es única salvo congruencias.

Si aplicamos la reciprocidad a un poliedro canónico de este tipo respecto a su esfera media, el poliedro dual compartirá los mismos puntos de tangencia de aristas y, por lo tanto, también será canónico. Es el dual canónico, y ambos forman juntos un compuesto dual canónico. ^{[ 6 ]}

Incluso cuando un par de poliedros no se puede obtener mediante reciprocidad, se les puede llamar duales entre sí siempre que los vértices de uno se correspondan con las caras del otro, y las aristas de uno se correspondan con las aristas del otro, preservando la incidencia. Dichos pares de poliedros siguen siendo duales topológica o abstractamente.

Los vértices y aristas de un poliedro convexo forman un grafo (el 1-esqueleto del poliedro), incrustado en la superficie del poliedro (una esfera topológica). Este grafo puede proyectarse para formar un diagrama de Schlegel en un plano. El grafo formado por los vértices y aristas del poliedro dual es el grafo dual del grafo original.

En términos más generales, para cualquier poliedro cuyas caras formen una superficie cerrada, los vértices y las aristas del poliedro forman un grafo incrustado en esta superficie, y los vértices y las aristas del poliedro dual (abstracto) forman el grafo dual del grafo original.

Un poliedro abstracto es un tipo particular de conjunto parcialmente ordenado (poset) de elementos, de tal manera que las incidencias, o conexiones, entre los elementos del conjunto corresponden a las incidencias entre los elementos (caras, aristas, vértices) de un poliedro. Todo poset de este tipo tiene un poset dual, formado al invertir todas las relaciones de orden. Si el poset se visualiza como un diagrama de Hasse , el poset dual se puede visualizar simplemente invirtiendo el diagrama de Hasse.

De esta forma, cada poliedro geométrico se corresponde con un poliedro abstracto y posee un poliedro dual abstracto. Sin embargo, para algunos tipos de poliedros geométricos no convexos, el poliedro dual puede no ser realizable geométricamente.

La clase primaria de politopos autoduales son los politopos regulares con símbolos de Schläfli palíndromos . Todos los polígonos regulares, {a}, son autoduales, los poliedros de la forma {a,a}, los 4-politopos de la forma {a,b,a}, los 5-politopos de la forma {a,b,b,a}, etc.

Los politopos regulares autoduales son:

• Todos los polígonos regulares , {a}.
• Tetraedro regular : {3,3}
• En general, todos los n - símplexes regulares , {3,3,...,3}
• La celda regular de 24 celdas en 4  dimensiones, {3,4,3}.
• La gran celda de 120 celdas {5,5/2,5} y la gran celda estrellada de 120 celdas {5/2,5,5/2}

Los panales euclidianos regulares (infinitos) autoduales son:

• Apeirogon : { ∞ }
• Teselado cuadrado : {4,4}
• Panal cúbico : {4,3,4}
• En general, todos los panales hipercúbicos euclidianos regulares de dimensión n : {4,3,...,3,4}.

Los panales hiperbólicos regulares autoduales (infinitos) son:

• Teselaciones hiperbólicas compactas: {5,5} , {6,6} , ... {p,p}.
• Teselado hiperbólico paracompacto: { ∞ , ∞ }
• Panales hiperbólicos compactos: {3,5,3} , {5,3,5} , y {5,3,3,5}
• Panales hiperbólicos paracompactos: {3,6,3} , {6,3,6} , {4,4,4} , y {3,3,4,3,3}