Hispanopedia Wiki
En geometría , un poliedro esférico o teselado esférico es un recubrimiento de la esfera cuya superficie se divide mediante arcos máximos en regiones delimitadas llamadas polígonos esféricos . Un poliedro cuyos vértices equidistan de su centro puede estudiarse fácilmente proyectando sus aristas sobre la esfera para obtener el poliedro esférico correspondiente.
El poliedro esférico más conocido es el balón de fútbol , considerado como un icosaedro truncado esférico . El siguiente poliedro esférico más popular es la pelota de playa , considerada como un hosoedro .
Algunos poliedros "impropios" , como los hosoedros y sus duales , los diedros , existen como poliedros esféricos, pero sus análogos de caras planas son degenerados . Por ejemplo, la pelota de playa hexagonal, {2, 6}, es un hosoedro, y {6, 2} es su diedro dual.
Historia
Durante el siglo X, el erudito islámico Abū al-Wafā' Būzjānī (Abu'l Wafa) estudió los poliedros esféricos como parte de un trabajo sobre la geometría necesaria para artesanos y arquitectos. [ 1 ]
El trabajo de Buckminster Fuller sobre cúpulas geodésicas a mediados del siglo XX desencadenó un auge en el estudio de los poliedros esféricos. [ 2 ] Casi al mismo tiempo, Coxeter los utilizó para enumerar todos los poliedros uniformes excepto uno , mediante la construcción de caleidoscopios ( construcción de Wythoff ). [ 3 ]
Ejemplos
Todos los poliedros regulares , los poliedros semirregulares y sus duales pueden proyectarse sobre la esfera como teselaciones:
Casos impropios
Los recubrimientos esféricos permiten casos que los poliedros no permiten, a saber, los hosoedros (figuras como {2,n}) y los diedros (figuras como {n,2}). Generalmente, se utilizan hosoedros regulares y diedros regulares.
Relación con los recubrimientos del plano proyectivo
Los poliedros esféricos que tienen al menos una simetría inversiva están relacionados con los poliedros proyectivos [ 4 ] (teselaciones del plano proyectivo real ) – así como la esfera tiene un mapa de recubrimiento 2 a 1 del plano proyectivo, los poliedros proyectivos corresponden bajo un recubrimiento doble a poliedros esféricos que son simétricos bajo reflexión a través del origen .
Los ejemplos más conocidos de poliedros proyectivos son los poliedros proyectivos regulares, los cocientes de los sólidos platónicos con simetría central , así como dos clases infinitas de diedros pares y hosoedros : [ 5 ]
- Hemicubo , {4,3}/2
- Hemioctaedro , {3,4}/2
- Hemidodecaedro , {5,3}/2
- Hemiicosaedro , {3,5}/2
- Hemidiedro, {2p,2}/2, p≥1
- Hemihosoedro, {2,2p}/2, p≥1
Véase también
Referencias
- ↑ Sarhangi, Reza (septiembre de 2008). "Ilustrando a Abu al-Wafā' Būzjānī: imágenes planas, construcciones esféricas". Iranian Studies . 41 (4): 511– 523. doi : 10.1080/00210860802246184 .
- ↑ Popko, Edward S. (2012). Esferas divididas: Geodésicas y la subdivisión ordenada de la esfera . CRC Press. pág. xix. ISBN 978-1-4665-0430-1
La invención de la cúpula geodésica por Buckminster Fuller fue el mayor estímulo para la investigación y el desarrollo de la subdivisión esférica
. - ↑ Coxeter, HSM ; Longuet-Higgins, MS ; Miller, JCP (1954). "Polyedros uniformes". Phil. Trans . 246 A (916): 401– 50. JSTOR 91532 .
- ↑ McMullen, Peter ; Schulte, Egon (2002). "6C. Politopos regulares proyectivos". Politopos regulares abstractos . Cambridge University Press. págs. 162-165 . ISBN 0-521-81496-0.
- ↑ Coxeter, HSM (1969). "§21.3 Mapas regulares"Introducción a la geometría ( 2.ª ed.). Wiley. págs. 386-388 . ISBN 978-0-471-50458-0MR 0123930 .
- Poliedros
- Mosaico
- Esferas