poliedro proyectivo

En geometría , un poliedro proyectivo (global) es una teselación del plano proyectivo real . ^{[ 1 ]} Estos son análogos proyectivos de los poliedros esféricos –teselaciones de la esfera– y de los poliedros toroidales –teselaciones de los toroides–.

Los poliedros proyectivos también se denominan teselaciones elípticas ^{[ 2 ]} o recubrimientos elípticos , refiriéndose al plano proyectivo como geometría elíptica (proyectiva) , por analogía con el recubrimiento esférico ^{[ 3 ]} , sinónimo de "poliedro esférico". Sin embargo, el término geometría elíptica se aplica tanto a geometrías esféricas como proyectivas, por lo que el término conlleva cierta ambigüedad en el caso de los poliedros.

Como descomposiciones celulares del plano proyectivo, tienen característica de Euler 1, mientras que los poliedros esféricos tienen característica de Euler 2. El calificativo "globalmente" sirve para contrastar con los poliedros proyectivos locales , que se definen en la teoría de los poliedros abstractos .

Los poliedros proyectivos no superpuestos ( densidad 1) corresponden a poliedros esféricos (o, equivalentemente, poliedros convexos ) con simetría central . Esto se desarrolla y amplía a continuación en relación con los poliedros esféricos y con los poliedros tradicionales .

Los ejemplos más conocidos de poliedros proyectivos son los poliedros proyectivos regulares, los cocientes de los sólidos platónicos con simetría central , así como dos clases infinitas de diedros pares y hosoedros : ^{[ 4 ]}

• Hemicubo , {4,3}/2
• Hemioctaedro , {3,4}/2
• Hemidodecaedro , {5,3}/2
• Hemiicosaedro , {3,5}/2
• Hemidiedro, {2p,2}/2, p>=1
• Hemihosoedro, {2,2p}/2, p>=1

Estos se pueden obtener tomando el cociente del poliedro esférico asociado por el mapa antipodal (identificando puntos opuestos en la esfera).

Por otro lado, el tetraedro no posee simetría central, por lo que no existe el "hemitetraedro". Véase la relación con los poliedros esféricos a continuación para comprender cómo se trata el tetraedro.

Hemipoliedros

Cabe señalar que el prefijo "hemi-" también se utiliza para referirse a los hemipoliedros , que son poliedros uniformes con algunas caras que pasan por el centro de simetría. Dado que estos no definen poliedros esféricos (porque pasan por el centro, que no se corresponde con un punto definido en la esfera), tampoco definen poliedros proyectivos mediante la aplicación cociente del espacio tridimensional (menos el origen) al plano proyectivo.

De estos hemipoliedros uniformes, solo el tetrahemihexaedro es topológicamente un poliedro proyectivo, como se puede comprobar por su característica de Euler y su evidente conexión con la superficie romana . Está cubierto por el cuboctaedro y puede realizarse como el cociente del cuboctaedro esférico mediante la aplicación antipodal. Es el único poliedro uniforme (tradicional) proyectivo; es decir, el único poliedro proyectivo uniforme que se sumerge en el espacio euclidiano tridimensional como un poliedro uniforme tradicional.

Hay un mapa de cobertura de 2 a 1${\displaystyle S^{2}\to \mathbf {RP} ^{2}}$de la esfera al plano proyectivo, y bajo este mapa, los poliedros proyectivos corresponden a poliedros esféricos con simetría central : el recubrimiento doble de un poliedro proyectivo es un poliedro esférico con simetría central. Además, debido a que un mapa de recubrimiento es un homeomorfismo local (en este caso una isometría local ), tanto el poliedro esférico como el poliedro proyectivo correspondiente tienen la misma figura de vértice abstracta .

Por ejemplo, la cubierta doble del hemicubo (proyectivo) es el cubo (esférico). El hemicubo tiene 4 vértices, 3 caras y 6 aristas, cada una de las cuales está cubierta por 2 copias en la esfera, y en consecuencia el cubo tiene 8 vértices, 6 caras y 12 aristas, mientras que ambos poliedros tienen una figura de vértice 4.4.4 (3 cuadrados que se unen en un vértice).

Además, el grupo de simetría (de isometrías ) de un poliedro proyectivo y de un poliedro esférico que lo recubre están relacionados: las simetrías del poliedro proyectivo se identifican naturalmente con las simetrías de rotación del poliedro esférico, mientras que el grupo de simetría completo del poliedro esférico es el producto de su grupo de rotación (el grupo de simetría del poliedro proyectivo) y el grupo cíclico de orden 2, {± I }. Véase el apartado de grupo de simetría más adelante para más detalles y otras dimensiones.

Los poliedros esféricos sin simetría central no definen un poliedro proyectivo, ya que las imágenes de los vértices, las aristas y las caras se superponen. En el lenguaje de los teselados, la imagen en el plano proyectivo es un teselado de grado 2, lo que significa que cubre el plano proyectivo dos veces; en lugar de que dos caras en la esfera correspondan a una cara en el plano proyectivo, cubriéndolo dos veces, cada cara en la esfera corresponde a una sola cara en el plano proyectivo, cubriéndolo, por lo tanto, dos veces.

La correspondencia entre poliedros proyectivos y poliedros esféricos con simetría central puede extenderse a una conexión de Galois que incluya todos los poliedros esféricos (no necesariamente con simetría central) si las clases se extienden para incluir teselaciones de grado 2 del plano proyectivo, cuyas cubiertas no son poliedros, sino el compuesto poliédrico de un poliedro sin simetría central, junto con su inverso central (un compuesto de 2 poliedros). Esto geometriza la conexión de Galois al nivel de subgrupos finitos de O(3) y PO(3), bajo los cuales la adjunción es "unión con el inverso central". Por ejemplo, el tetraedro no tiene simetría central y tiene 4 vértices, 6 aristas y 4 caras, y figura de vértice 3.3.3 (3 triángulos que se unen en cada vértice). Su imagen en el plano proyectivo tiene 4 vértices, 6 aristas (que se intersecan) y 4 caras (que se superponen), cubriendo el plano proyectivo dos veces. La cubierta de esto es el octaedro estrellado – equivalentemente, el compuesto de dos tetraedros – que tiene 8 vértices, 12 aristas y 8 caras, y vértice figura 3.3.3.

En el contexto de los politopos abstractos , se suele hablar de " politopos localmente proyectivos" (véase Politopo abstracto: Topología local) . Por ejemplo, la celda de 11 caras es un "politopo localmente proyectivo", pero no es un poliedro globalmente proyectivo, ni tampoco tesela ninguna variedad, ya que no es localmente euclidiano, sino localmente proyectivo, como indica su nombre.

Los politopos proyectivos pueden definirse en dimensiones superiores como teselaciones del espacio proyectivo en una dimensión menos. Definir politopos proyectivos k -dimensionales en un espacio proyectivo n -dimensional es algo más complicado, porque la definición habitual de politopos en el espacio euclidiano requiere tomar combinaciones convexas de puntos, lo cual no es un concepto proyectivo y rara vez se aborda en la literatura, pero se ha definido, como en ( Vives y Mayo 1991 ) .

El grupo de simetría de un politopo proyectivo es un subgrupo finito (por lo tanto discreto) ^{[ nota 1 ]} del grupo ortogonal proyectivo , PO, y recíprocamente todo subgrupo finito de PO es el grupo de simetría de un politopo proyectivo tomando el politopo dado por imágenes de un dominio fundamental para el grupo.

Las dimensiones relevantes son las siguientes: el espacio proyectivo real n -dimensional es la proyectividad del espacio euclidiano ( n +1)-dimensional ,${\displaystyle \mathbf {RP} ^{n}=\mathbf {P} (\mathbf {R} ^{n+1}),}$Así, el grupo ortogonal proyectivo de un espacio proyectivo n -dimensional se denota

PO( n +1)  =  P(O( n +1))  =  O( n +1)/{± I }.

Si n = 2k es par (por lo que n + 1  =  2k + 1 es impar), entonces O(2k + 1) = SO( 2k + 1) × {± I } se descompone como un producto y, por lo tanto,  ${\displaystyle PO(2k+1)=PSO(2k+1)\cong SO(2k+1)}$^{[ nota 2 ]} por lo que el grupo de isometrías proyectivas puede identificarse con el grupo de isometrías rotacionales.

Así, en particular, el grupo de simetría de un poliedro proyectivo es el grupo de simetría rotacional del poliedro esférico que lo recubre; el grupo de simetría completo del poliedro esférico es entonces simplemente el producto directo con la reflexión a través del origen , que es el núcleo al pasar al espacio proyectivo. El plano proyectivo no es orientable, por lo que no existe una noción distinta de "isometrías que preservan la orientación de un poliedro proyectivo", lo cual se refleja en la igualdad PSO(3)  =  PO(3).

Si n = 2k  +  1 es impar, entonces O( n + 1)  =  O( 2k + 2) no se descompone como un producto, y por lo tanto el grupo de simetría del politopo proyectivo no es simplemente las simetrías rotacionales del politopo esférico, sino más bien un cociente 2 a 1 del grupo de simetría completo del politopo esférico correspondiente (el grupo esférico es una extensión central del grupo proyectivo). Además, en dimensión proyectiva impar (dimensión vectorial par)${\displaystyle PSO(2k)\neq PO(2k)}$y es en cambio un subgrupo propio (índice 2), por lo que existe una noción distinta de isometrías que preservan la orientación.

Por ejemplo, en n  =  1 (polígonos), las simetrías de un 2 r -gono son el grupo diedral Dih _{2 r} (de orden 4 r ), con el grupo rotacional el grupo cíclico C _{2 r} , siendo estos subgrupos de O(2) y SO(2), respectivamente. La proyectividad de un 2 r -gono (en el círculo) es un r -gono (en la línea proyectiva), y en consecuencia los grupos cociente, subgrupos de PO(2) y PSO(2) son Dih _r y C _r . Nótese que el mismo cuadrado conmutativo de subgrupos aparece para el cuadrado del grupo Spin y el grupo Pin – Spin(2), Pin ₊ (2), SO(2), O(2) – aquí subiendo a un recubrimiento doble, en lugar de bajar a un cociente doble.

Por último, según el teorema de retículos , existe una conexión de Galois entre subgrupos de O( n ) y subgrupos de PO( n ), en particular de subgrupos finitos. Bajo esta conexión, los grupos de simetría de politopos con simetría central corresponden a los grupos de simetría del politopo proyectivo correspondiente, mientras que los grupos de simetría de politopos esféricos sin simetría central corresponden a los grupos de simetría de politopos proyectivos de grado 2 (teselados que cubren el espacio proyectivo dos veces), cuya cubierta (que corresponde a la adjunción de la conexión) es un compuesto de dos politopos: el politopo original y su inverso central.

Estos grupos de simetría deben compararse y contrastarse con grupos poliédricos binarios ; así como Pin _± ( n )  →  O( n ) es un recubrimiento 2 a 1, y por lo tanto existe una conexión de Galois entre grupos poliédricos binarios y grupos poliédricos, O( n )  →  PO( n ) es un recubrimiento 2 a 1, y por lo tanto tiene una conexión de Galois análoga entre subgrupos. Sin embargo, mientras que los subgrupos discretos de O( n ) y PO( n ) corresponden a grupos de simetría de politopos esféricos y proyectivos, que corresponden geométricamente al mapa de recubrimiento${\displaystyle S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n},}$no hay espacio de cobertura de${\displaystyle S^{n}}$(para${\displaystyle n\geq 2}$) ya que la esfera es simplemente conexa , y por lo tanto no hay un "politopo binario" correspondiente para el cual los subgrupos de Pin sean grupos de simetría.

• Poliedro esférico
• poliedro toroidal