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Diagrama conmutativo

El diagrama conmutativo utilizado en la demostración de los cinco lemas En matemáticas , y especialmente en teoría de categorías , un diagrama conmutativo es un diagrama tal que...

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El diagrama conmutativo utilizado en la demostración de los cinco lemas

En matemáticas , y especialmente en teoría de categorías , un diagrama conmutativo es un diagrama tal que todos los caminos dirigidos en el diagrama con los mismos puntos de inicio y fin conducen al mismo resultado. [ 1 ] Se dice que los diagramas conmutativos desempeñan en la teoría de categorías el papel que desempeñan las ecuaciones en el álgebra . [ 2 ]

Descripción

Un diagrama conmutativo suele constar de tres partes:

  • objetos (también conocidos como vértices )
  • morfismos (también conocidos como flechas o aristas )
  • rutas o compuestos

Símbolos de flecha

En los textos de álgebra, el tipo de morfismo se puede denotar con diferentes usos de flechas:

  • Un monomorfismo puede ser etiquetado con un↪{\displaystyle \hookrightarrow }[ 3 ] o un↣{\displaystyle \rightarrowtail }. [ 4 ]
  • Un epimorfismo puede ser etiquetado con un↠{\displaystyle \twoheadrightarrow }.
  • Un isomorfismo puede ser etiquetado con un→∼{\displaystyle {\overset {\sim }{\rightarrow }}}.
  • La flecha punteada normalmente representa la afirmación de que existe el morfismo indicado (siempre que se cumpla el resto del diagrama); la flecha puede etiquetarse opcionalmente como∃{\displaystyle \exists }.
    • Si el morfismo es además único, entonces la flecha punteada puede estar etiquetada.¡{\displaystyle !} o∃¡{\displaystyle \exists !} .
  • Si el morfismo actúa entre dos flechas (como en el caso de la teoría de categorías superiores ), se denomina preferiblemente transformación natural y puede etiquetarse como⇒{\displaystyle \Rightarrow }(como se puede ver más abajo en este artículo).

Los significados de las diferentes flechas no están completamente estandarizados: las flechas utilizadas para monomorfismos, epimorfismos e isomorfismos también se utilizan para inyecciones , sobreyecciones y biyecciones , así como para cofibraciones, fibraciones y equivalencias débiles en una categoría modelo .

Verificación de la conmutatividad

La conmutatividad tiene sentido para un polígono de cualquier número finito de lados (incluidos solo 1 o 2), y un diagrama es conmutativo si cada subdiagrama poligonal es conmutativo.

Tenga en cuenta que un diagrama puede no ser conmutativo, es decir, la composición de diferentes caminos en el diagrama puede no dar el mismo resultado.

Ejemplos

Ejemplo 1

En el diagrama de la izquierda, que expresa el primer teorema de isomorfismo , la conmutatividad del triángulo significa queF=F~∘π{\displaystyle f={\tilde {f}}\circ \pi }En el diagrama de la derecha, la conmutatividad del cuadrado significah∘F=k∘gramo{\displaystyle h\circ f=k\circ g}.

Ejemplo 2

Para que el diagrama que aparece a continuación sea conmutativo, deben cumplirse tres igualdades:

  1. r∘h∘gramo=H∘GRAMO∘l{\displaystyle r\circ h\circ g=H\circ G\circ l}
  2. metro∘gramo=GRAMO∘l{\displaystyle m\circ g=G\circ l}
  3. r∘h=H∘metro{\displaystyle r\circ h=H\circ m}

En este caso, dado que la primera igualdad se deduce de las dos anteriores, basta con demostrar que (2) y (3) son verdaderas para que el diagrama conmute. Sin embargo, como la igualdad (3) generalmente no se deduce de las otras dos, no suele ser suficiente con tener solo las igualdades (1) y (2) para demostrar la conmutatividad del diagrama.

Diagrama de seguimiento

El rastreo de diagramas (también llamado búsqueda diagramática ) es un método de demostración matemática utilizado especialmente en álgebra homológica , donde se establece una propiedad de algún morfismo rastreando los elementos de un diagrama conmutativo. Una demostración por rastreo de diagramas generalmente implica el uso formal de las propiedades del diagrama, como aplicaciones inyectivas o sobreyectivas , o sucesiones exactas . [ 5 ] Se construye un silogismo , para el cual la representación gráfica del diagrama es solo una ayuda visual. De ello se deduce que se termina "rastreando" elementos alrededor del diagrama, hasta que se construye o verifica el elemento o resultado deseado.

Algunos ejemplos de demostraciones mediante diagramas incluyen las que se suelen dar para el lema de los cinco , el lema de la serpiente , el lema del zigzag y el lema de los nueve .

En la teoría de categorías superiores

En la teoría de categorías superiores, se consideran no solo objetos y flechas, sino también flechas entre flechas, flechas entre flechas entre flechas, y así sucesivamente hasta el infinito . Por ejemplo, la categoría de categorías pequeñas Cat es naturalmente una 2-categoría, con functores como sus flechas y transformaciones naturales como las flechas entre functores. En este contexto, los diagramas conmutativos también pueden incluir estas flechas superiores, que a menudo se representan de la siguiente manera:⇒{\displaystyle \Rightarrow }. Por ejemplo, el siguiente diagrama (algo trivial) representa dos categorías C y D , junto con dos functores F , G  : C → D y una transformación natural α  : F ⇒ G :

En una 2-categoría existen dos tipos de composición (denominadas composición vertical y composición horizontal ), que también pueden representarse mediante diagramas de pegado (véase 2-categoría#Definiciones para ver ejemplos).

Diagramas como functores

Un diagrama conmutativo en una categoría C puede interpretarse como un functor de una categoría de índice J a C; a este functor se le llama diagrama .

De forma más formal, un diagrama conmutativo es una visualización de un diagrama indexado por una categoría de conjunto parcialmente ordenado . Dicho diagrama suele incluir:

  • un nodo para cada objeto en la categoría de índice,
  • una flecha para un conjunto generador de morfismos (omitiendo los mapas identidad y los morfismos que pueden expresarse como composiciones),
  • la conmutatividad del diagrama (la igualdad de diferentes composiciones de mapas entre dos objetos), que corresponde a la unicidad de un mapa entre dos objetos en una categoría de poset.

Por el contrario, dado un diagrama conmutativo, define una categoría de conjuntos parcialmente ordenados, donde:

  • Los objetos son los nodos,
  • Existe un morfismo entre dos objetos cualesquiera si y solo si existe un camino (dirigido) entre los nodos,
  • con la relación de que este morfismo es único (cualquier composición de mapas se define por su dominio y destino: este es el axioma de conmutatividad).

Sin embargo, no todos los diagramas son conmutativos (la noción de diagrama generaliza estrictamente el diagrama conmutativo). Como ejemplo sencillo, el diagrama de un solo objeto con un endomorfismo (F:incógnita→incógnita{\displaystyle f\colon X\to X}), o con dos flechas paralelas (∙⇉∙{\displaystyle \bullet \rightrightarrows \bullet }, eso es,F,gramo:incógnita→Y{\displaystyle f,g\colon X\to Y}(a veces llamado carcaj libre ), tal como se usa en la definición de ecualizador , no tiene por qué conmutar. Además, los diagramas pueden ser desordenados o imposibles de dibujar cuando el número de objetos o morfismos es grande (o incluso infinito).

Véase también

Referencias

  1. ↑ Weisstein, Eric W. "Diagrama conmutativo" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 25 de noviembre de 2019 .
  2. ↑ Mazzola, Guerino; Milmeister, Gérard; Weissmann, Jody (2005). Matemáticas integrales para científicos informáticos 2. Springer. pág. 140. doi : 10.1007/b138337 . ISBN  978-3-540-26937-3.
  3. ↑ "Matemáticas - Teoría de categorías - Arrow - Martin Baker" . www.euclideanspace.com . Consultado el 25 de noviembre de 2019 .
  4. ↑ Riehl, Emily (17 de noviembre de 2016). "1". Teoría de categorías en contexto (PDF) . Dover Publications. pág. 11. 
  5. ↑ Weisstein, Eric W. "Diagram Chasing" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 25 de noviembre de 2019 .

Bibliografía

  • Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990). Categorías abstractas y concretas (PDF) . John Wiley e hijos. ISBN 0-471-60922-6.Ya disponible como edición digital gratuita (PDF de 4,2 MB).
  • Barr, Michael ; Wells, Charles (2002). Toposes, Triples and Theories (PDF) . Springer. ISBN 0-387-96115-1.Versión en línea gratuita revisada y corregida de Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (278) Springer-Verlag, 1983).
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