Configuración (politopo)

En geometría , HSM Coxeter denominó al politopo regular un tipo especial de configuración .

Otras configuraciones en geometría son algo diferente. Estas configuraciones de politopos pueden denominarse con mayor precisión matrices de incidencia , donde los elementos iguales se agrupan en filas y columnas. Los politopos regulares tendrán una fila y una columna por cada k -cara , mientras que otros politopos tendrán una fila y una columna para cada tipo de k-cara según sus clases de simetría. Un politopo sin simetría tendrá una fila y una columna por cada elemento, y la matriz se llenará con 0 si los elementos no están conectados y con 1 si lo están. Los elementos con la misma k no estarán conectados y tendrán una entrada "*" en la tabla. ^{[ 1 ]}

Cada politopo, y cada politopo abstracto, tiene un diagrama de Hasse que expresa estas conectividades, las cuales pueden describirse sistemáticamente con una matriz de incidencia .

Una configuración para un politopo regular se representa mediante una matriz donde el elemento diagonal, N _i , es el número de caras i en el politopo. Los elementos diagonales también se denominan f-vector de un politopo . El elemento no diagonal ( i ≠ j ) N _ij es el número de caras j incidentes con cada elemento de cara i , de modo que N _i N _ij = N _j N _ji . ^{[ 2 ]}

El principio se extiende generalmente a n dimensiones, donde 0 ≤ j < n .

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}N_{0}&N_{0,1}&N_{0,2}&\cdots &N_{0,n-1}\\N_{1,0}&N_{1}&N_{1,2}&\cdots &N_{1,n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\N_{n-1,0}&N_{n-1,1}&N_{n-1,2}&\cdots &N_{n-1}\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

Un polígono regular , símbolo de Schläfli { q }, tendrá una matriz de 2x2, con la primera fila para los vértices y la segunda fila para las aristas. El orden g es 2q . 

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}N_{0}&N_{01}\\N_{10}&N_{1}\end{matrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}g/2&2\\2&g/2\end{matrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}q&2\\2&q\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

Un n-gono típico tendrá una matriz de 2n x 2n, donde las primeras n filas y columnas serán los vértices, y las últimas n filas y columnas serán las aristas.

Cuadriláteros

Los cuadriláteros se pueden clasificar por simetría, cada uno con su propia matriz. Existen pares duales de cuadriláteros que, al rotarlos 180 grados, tendrán la misma matriz, con los vértices y las aristas invertidos. Los cuadrados, los paralelogramos y los cuadriláteros en general son autoduales por clase, por lo que sus matrices permanecen inalteradas al rotarlos 180 grados.

La idea también es aplicable a polígonos complejos regulares , _p { q } _r construidos en${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}N_{0}&N_{01}\\N_{10}&N_{1}\end{matrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}g/r&r\\p&g/p\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

El grupo de reflexión complejo es _p [ q ] _r , orden${\displaystyle g=8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}}$. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

La idea se puede aplicar en tres dimensiones considerando incidencias de puntos, líneas y planos, o j -espacios (0 ≤ j < 3) , donde cada j -espacio es incidente con N _jk k- espacios ( j ≠ k ) . Escribiendo N _j para el número de j -espacios presentes, una configuración dada puede representarse mediante la matriz

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}N_{0}&N_{01}&N_{02}\\N_{10}&N_{1}&N_{12}\\N_{20}&N_{21}&N_{2}\end{matrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}g/2q&q&q\\2&g/4&2\\p&p&g/2p\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$para el símbolo de Schläfli {p,q}, con orden de grupo g = 4 pq /(4 − ( p − 2)( q − 2)).         

Tetraedro

Los tetraedros poseen matrices que también pueden agruparse según su simetría. Un tetraedro típico tiene 14 filas y 4 columnas, correspondientes a sus 4 vértices, 6 aristas y 4 caras. Los tetraedros son autoduales, y rotar sus matrices 180 grados (intercambiando vértices y caras) no altera su estructura.

• Coxeter, HSM (1948), Politopos regulares , Methuen y Co..
• Coxeter, HSM (1991), Politopos complejos regulares , Cambridge University Press, ISBN 0-521-39490-2
• Coxeter, HSM (1999), "Configuraciones autoduales y grafos regulares", La belleza de la geometría , Dover, ISBN 0-486-40919-8