politopo complejo

En geometría , un politopo complejo es una generalización de un politopo en el espacio real a una estructura análoga en un espacio de Hilbert complejo , donde cada dimensión real está acompañada por una imaginaria .

Un politopo complejo puede entenderse como una colección de puntos, líneas, planos, etc., complejos, donde cada punto es la unión de múltiples líneas, cada línea de múltiples planos, y así sucesivamente.

Existen definiciones precisas únicamente para los politopos complejos regulares , que son configuraciones . Los politopos complejos regulares han sido completamente caracterizados y pueden describirse utilizando una notación simbólica desarrollada por Coxeter .

También se han descrito algunos politopos complejos que no son completamente regulares.

Definiciones e introducción

La línea compleja $\mathbb {C} ^{1}$ Un plano tiene una dimensión con coordenadas reales y otra con coordenadas imaginarias . Al aplicar coordenadas reales a ambas dimensiones, se dice que tiene dos dimensiones sobre los números reales. Un plano real, con el eje imaginario etiquetado como tal, se denomina diagrama de Argand . Por ello, a veces se le llama plano complejo. El espacio complejo bidimensional (también llamado a veces plano complejo) puede considerarse como un espacio tetradimensional sobre los números reales. Del mismo modo, el espacio complejo n puede verse como un espacio vectorial real bidimensional.

Un n -politopo complejo en el espacio n- completo es el análogo de un n - politopo real en el espacio n- real . Sin embargo, no existe un análogo complejo natural del ordenamiento de puntos en una recta real (ni de las propiedades combinatorias asociadas). Por ello, un politopo complejo no puede considerarse una superficie contigua y no delimita un interior como lo hace un politopo real.

En el caso de los politopos regulares , se puede hacer una definición precisa utilizando la noción de simetría. Para cualquier politopo regular , el grupo de simetría (en este caso, un grupo de reflexión complejo , llamado grupo de Shephard ) actúa transitivamente sobre las banderas , es decir, sobre las secuencias anidadas de un punto contenido en una línea contenida en un plano, y así sucesivamente.

Más detalladamente, se dice que una colección P de subespacios afines (o planos ) de un espacio unitario complejo V de dimensión n es un politopo complejo regular si cumple las siguientes condiciones: ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

para cada $-1 \leq i < j < k \leq n$ , si $F$ es un plano en P de dimensión i y $H$ es un plano en P de dimensión k tal que $F \subset H$ entonces hay al menos dos planos G en P de dimensión j tales que $F \subset G \subset H$ ;
para cada $i$ $,$ $j$ tal que $-1 \leq$ $i$ $<$ $j$ $- 2,$ $j$ $\leq$ $n$ , si $F$ $\subset$ $G$ son planos de P de dimensiones i , j , entonces el conjunto de planos entre F y G está conectado, en el sentido de que se puede pasar de cualquier miembro de este conjunto a cualquier otro mediante una secuencia de contenciones; y
el subconjunto de transformaciones unitarias de V que fijan P son transitivas en las banderas $F$ $0$ $\subset$ $F$ $1$ $\subset \dots \subset$ $F$ $n$ de planos de P (con $F$ $i$ de dimensión i para todo i ).

(Aquí, un plano de dimensión −1 se considera el conjunto vacío .) Por lo tanto, por definición, los politopos complejos regulares son configuraciones en el espacio unitario complejo. ^{[ 3 ]}

Los politopos complejos regulares fueron descubiertos por Shephard (1952), y la teoría fue desarrollada posteriormente por Coxeter (1974).

Un politopo complejo existe en el espacio complejo de dimensión equivalente. Por ejemplo, los vértices de un polígono complejo son puntos en el plano complejo. $\mathbb {C} ^{2}$ (un plano en el que cada punto tiene dos números complejos como coordenadas, que no debe confundirse con el plano de Argand de los números complejos), y los bordes son líneas complejas $\mathbb {C} ^{1}$ Existen como subespacios (afines) del plano que se intersecan en los vértices. Por lo tanto, como espacio complejo unidimensional, a una arista se le puede asignar su propio sistema de coordenadas , dentro del cual los puntos de la arista están representados cada uno por un único número complejo.

En un politopo complejo regular, los vértices incidentes en la arista están dispuestos simétricamente alrededor de su centroide , que a menudo se usa como origen del sistema de coordenadas de la arista (en el caso real, el centroide es simplemente el punto medio de la arista). La simetría surge de una reflexión compleja alrededor del centroide; esta reflexión dejará la magnitud de cualquier vértice sin cambios, pero cambiará su argumento en una cantidad fija, moviéndolo a las coordenadas del siguiente vértice en el orden. Por lo tanto, podemos suponer (después de una elección adecuada de escala) que los vértices en la arista satisfacen la ecuación $x^{p}-1=0$ donde p es el número de vértices incidentes. Así, en el diagrama de Argand de la arista, los vértices se encuentran en los vértices de un polígono regular centrado en el origen.

En la imagen superior se muestran tres proyecciones reales del polígono complejo regular 4{4}2, con aristas a, b, c, d, e, f, g y h . Tiene 16 vértices, que para mayor claridad no se han marcado individualmente. Cada arista tiene cuatro vértices y cada vértice se encuentra sobre dos aristas, por lo que cada arista intersecta con otras cuatro. En el primer diagrama, cada arista está representada por un cuadrado. Los lados del cuadrado no forman parte del polígono, sino que se dibujan únicamente para ayudar a relacionar visualmente los cuatro vértices. Las aristas están dispuestas simétricamente. (Nótese que el diagrama se parece a la proyección del plano de Coxeter B ₄ del teseracto , pero es estructuralmente diferente).

El diagrama central abandona la simetría octogonal en aras de la claridad. Cada arista se representa como una línea real, y cada punto de intersección de dos líneas es un vértice. La conectividad entre las distintas aristas es claramente visible.

El último diagrama da una idea de la estructura proyectada en tres dimensiones: los dos cubos de vértices son, de hecho, del mismo tamaño, pero se ven en perspectiva a diferentes distancias en la cuarta dimensión.

politopos unidimensionales complejos regulares

Un politopo real unidimensional existe como un segmento cerrado en la recta real. $\mathbb {R} ^{1}$ , definido por sus dos puntos extremos o vértices en la línea. Su símbolo de Schläfli es {} .

De forma análoga, un 1-politopo complejo existe como un conjunto de p vértices en la línea compleja. $\mathbb {C} ^{1}$ Estos se pueden representar como un conjunto de puntos en un diagrama de Argand ( x , y ) = x + iy . Un politopo regular complejo unidimensional _p {} tiene p ( p ≥ 2) vértices dispuestos para formar un polígono regular convexo { p } en el plano de Argand. ^{[ 5 ]}

A diferencia de los puntos en la recta real, los puntos en la recta compleja no tienen un orden natural. Por lo tanto, a diferencia de los politopos reales, no se puede definir un interior. ^{[ 6 ]} A pesar de esto, los 1-politopos complejos se suelen representar, como en este caso, como un polígono regular acotado en el plano de Argand.

Un borde real se genera como la línea que une un punto con su imagen reflejada en un espejo. Una reflexión unitaria de orden 2 puede considerarse como una rotación de 180 grados alrededor de un centro. Un borde es *inactivo* si el punto generador se encuentra sobre la línea de reflexión o en el centro.

Un politopo regular real unidimensional se representa mediante un símbolo de Schläfli vacío {} o un diagrama de Coxeter-Dynkin . El punto o nodo del diagrama de Coxeter-Dynkin representa un generador de reflexión, mientras que el círculo alrededor del nodo significa que el punto generador no está en la reflexión, por lo que su imagen reflejada es un punto distinto de sí mismo. Por extensión, un politopo regular complejo unidimensional en $\mathbb {C} ^{1}$ Tiene un diagrama de Coxeter-Dynkin , para cualquier entero positivo p , 2 o mayor, que contiene p vértices. p puede suprimirse si es 2. También puede representarse mediante un símbolo de Schläfli vacío _p {}, } _p {, {} _p , o _p {2} ₁ . El 1 es un marcador de posición notacional, que representa una reflexión inexistente o un generador de identidad de período 1. (Un 0-politopo, real o complejo, es un punto y se representa como } {, o ₁ {2} ₁ .)

La simetría se denota mediante el diagrama de Coxeter y, alternativamente, puede describirse en notación de Coxeter como _p [], [] _p o ] _p [, _p [2] ₁ o _p [1] _p . La simetría es isomorfa al grupo cíclico , orden p . ^{[ 7 ]} Los subgrupos de _p [] son cualquier divisor entero d , _d [], donde d ≥2.

Un generador de operador unitario para se considera una rotación de 2π / p radianes en sentido antihorario , y una arista se crea mediante aplicaciones secuenciales de una única reflexión unitaria. Un generador de reflexión unitaria para un 1-politopo con $p vértices es e²πi/p = cos(2π$ $/$ $p$ ) + $i$ $sin$ $($ $2π$ $/$ $p$ $)$ $.$ $Cuando$ $p$ $=$ $2$ $,$ $el$ generador es e²πi = ^–1 , lo que equivale a una reflexión puntual en el plano real ^.

En politopos complejos de orden superior, los 1-politopos forman p- aristas. Una 2-arista es similar a una arista real ordinaria, ya que contiene dos vértices, pero no necesariamente se encuentra sobre una línea real.

Polígonos complejos regulares

Mientras que los 1-politopos pueden tener un número ilimitado de p , los polígonos complejos regulares finitos, excluyendo los polígonos de prisma doble _p {4} ₂ , están limitados a elementos de 5 aristas (aristas pentagonales), y los apeirogones regulares infinitos también incluyen elementos de 6 aristas (aristas hexagonales).

Notaciones

Notación Schläfli modificada por Shephard

Shephard ideó originalmente una forma modificada de la notación de Schläfli para politopos regulares. Para un polígono delimitado por p ₁ -aristas, con un p ₂ -conjunto como figura de vértice y grupo de simetría general de orden g , denotamos el polígono como p ₁ ( g ) p ₂ .

El número de vértices V es entonces g / p ₂ y el número de aristas E es g / p ₁ .

El polígono complejo ilustrado arriba tiene ocho lados cuadrados ( p ₁ =4) y dieciséis vértices ( p ₂ =2). A partir de esto, podemos calcular que g = 32, lo que da como resultado el símbolo de Schläfli modificado 4(32)2.

Notación Schläfli modificada revisada de Coxeter

Una notación más moderna _{p ₁} { q } _{p ₂} se debe a Coxeter , ^{[ 8 ]} y se basa en la teoría de grupos . Como grupo de simetría, su símbolo es _{p ₁} [ q ] _{p ₂} .

El grupo de simetría _{p ₁} [ q ] _{p ₂} está representado por 2 generadores R ₁ , R ₂ , donde: R ₁^{p ₁} = R ₂^{p ₂} = I. Si q es par, (R ₂ R ₁ ) ^{q /2} = (R ₁ R ₂ ) ^{q /2} . Si q es impar, (R ₂ R ₁ ) ^(q−1)/2 R ₂ = (R ₁ R ₂ ) ^{( q −1)/2} R ₁ . Cuando q es impar, p ₁ = p ₂ .

Para ₄ [4] ₂ tiene R ₁⁴ = R ₂² = I, (R ₂ R ₁ ) ² = (R ₁ R ₂ ) ² .

Para ₃ [5] ₃ tiene R ₁³ = R ₂³ = I, (R ₂ R ₁ ) ² R ₂ = (R ₁ R ₂ ) ² R ₁ .

Diagramas de Coxeter-Dynkin

Coxeter también generalizó el uso de diagramas de Coxeter-Dynkin a politopos complejos; por ejemplo, el polígono complejo _p { q } _r se representa mediante y el grupo de simetría equivalente, _p [ q ] _r , es un diagrama sin anillo . Los nodos p y r representan espejos que producen imágenes p y r en el plano. Los nodos sin etiquetar en un diagrama tienen etiquetas implícitas 2. Por ejemplo, un polígono regular real es ₂ { q } ₂ o { q } o .

Una limitación: los nodos conectados por órdenes de ramificación impares deben tener órdenes de nodos idénticos. Si no es así, el grupo creará polígonos "estrellados", con elementos superpuestos. Por lo tanto , y son ordinarios, mientras que es estrellado.

12 grupos de Shephard irreductibles

Coxeter enumeró esta lista de polígonos complejos regulares en $\mathbb {C} ^{2}$ Un polígono complejo regular, _p { q } _r o , tiene p aristas y r figuras de vértices gonales . _p { q } _r es un politopo finito si ( p + r ) q > pr ( q -2).

Su simetría se escribe como _p [ q ] _r , llamado grupo de Shephard , análogo a un grupo de Coxeter , al tiempo que permite reflexiones unitarias .

Para grupos no estrellados, el orden del grupo _p [ q ] _r se puede calcular como $g=8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}$ . ^{[ 10 ]}

El número de Coxeter para _p [ q ] _r es $h=2/(1/p+2/q+1/r-1)$ , por lo que el orden del grupo también se puede calcular como $g=2h^{2}/q$ Un polígono complejo regular puede dibujarse en proyección ortogonal con simetría h -gonal.

Las soluciones de rango 2 que generan polígonos complejos son:

Las soluciones excluidas con q impar y p y r desiguales son: ₆ [3] ₂ , ₆ [3] ₃ , ₉ [3] ₃ , ₁₂ [3] ₃ , ..., ₅ [5] ₂ , ₆ [5] ₂ , ₈ [5] ₂ , ₉ [5] ₂ , ₄ [7] ₂ , ₉ [5] ₂ , ₃ [9] ₂ , y ₃ [11] ₂ .

Otros q enteros con p y r desiguales , crean grupos estrellados con dominios fundamentales superpuestos: , , , , , y .

El polígono dual de _p { q } _r es _r { q } _p . Un polígono de la forma _p { q } _p es autodual. Los grupos de la forma _p [2 q ] ₂ tienen una semi-simetría _p [ q ] _p , por lo que un polígono regular es lo mismo que uno cuasirregular . Además, los polígonos regulares con el mismo orden de nodos, , tienen una construcción alternada , lo que permite que los bordes adyacentes sean de dos colores diferentes. ^[¹¹^]

El orden del grupo, g , se utiliza para calcular el número total de vértices y aristas. Tendrá g / r vértices y g / p aristas. Cuando p = r , el número de vértices y aristas es igual. Esta condición es necesaria cuando q es impar.

Generadores de matrices

El grupo p [ q ] r , , puede representarse mediante dos matrices: ^[¹²^]

Con

k={\sqrt {\frac {\cos({\frac {\pi }{p}}-{\frac {\pi }{r}})+\cos({\frac {2\pi }{q}})}{2\sin {\frac {\pi }{p}}\sin {\frac {\pi }{r}}}}}

Ejemplos

Enumeración de polígonos complejos regulares

Coxeter enumeró los polígonos complejos en la Tabla III de Politopos Complejos Regulares. ^{[ 13 ]}

Visualizaciones de polígonos complejos regulares

Los polígonos de la forma _p {2 r } _q se pueden visualizar mediante q conjuntos de colores de p- aristas. Cada p -arista se ve como un polígono regular, aunque no tiene caras.

Proyecciones ortogonales 2D de polígonos complejos ₂ { r } _q

Los polígonos de la forma ₂ {4} _q se denominan ortoplexos generalizados . Comparten vértices con las duopirámides q - q de 4D , vértices conectados por aristas de orden 2.

₂ {4} ₂ , , con 4 vértices y 4 aristas
₂ {4} ₃ , , con 6 vértices y 9 aristas ^[¹⁴^]
₂ {4} ₄ , , con 8 vértices y 16 aristas
₂ {4} ₅ , , con 10 vértices y 25 aristas
₂ {4} ₆ , , con 12 vértices y 36 aristas
₂ {4} ₇ , , con 14 vértices y 49 aristas
₂ {4} ₈ , , con 16 vértices y 64 aristas
₂ {4} ₉ , , con 18 vértices y 81 aristas
₂ {4} ₁₀ , , con 20 vértices y 100 aristas

Polígonos complejos _p {4} ₂

_Los polígonos de la forma _p₄² se denominan hipercubos generalizados (cuadrados para polígonos). Comparten vértices con los duoprismas p₁ - p₂ de 4 dimensiones , vértices conectados por aristas p. Los vértices se representan en verde y las aristas p en colores alternos, rojo y azul. La perspectiva se distorsiona ligeramente para dimensiones impares con el fin de desplazar los vértices superpuestos desde el centro.

₂ {4} ₂ , o , con 4 vértices y 4 aristas de 2 lados
₃ {4} ₂ , o , con 9 vértices y 6 aristas (triangulares) de 3 lados ^[¹⁴^]
₄ {4} ₂ , o , con 16 vértices y 8 (cuadrados) 4-aristas
₅ {4} ₂ , o , con 25 vértices y 10 (pentagonales) 5-aristas
₆ {4} ₂ , o , con 36 vértices y 12 aristas (hexagonales) de 6 lados
₇ {4} ₂ , o , con 49 vértices y 14 aristas (heptagonales) de 7 lados
₈ {4} ₂ , o , con 64 vértices y 16 (octogonales) 8 aristas
₉ {4} ₂ , o , con 81 vértices y 18 aristas (enneagonales) de 9 lados
₁₀ {4} ₂ , o , con 100 vértices y 20 (decagonales) aristas de 10

Proyecciones de perspectiva 3D de polígonos complejos _p {4} ₂ . Los duales ₂ {4} _p: se obtienen añadiendo vértices dentro de las aristas y añadiendo aristas en lugar de vértices.

₃ {4} ₂ , o con 9 vértices, 6 aristas de 3 lados en 2 conjuntos de colores
₂ {4} ₃ , con 6 vértices, 9 aristas en 3 conjuntos
₄ {4} ₂ , o con 16 vértices, 8 aristas de 4 lados en 2 conjuntos de colores y aristas cuadradas rellenas de 4 lados
₅ {4} ₂ , o con 25 vértices, 10 aristas de 5 lados en 2 conjuntos de colores

Otros polígonos complejos _p { r } ₂

₃ {6} ₂ , o , con 24 vértices en negro y 16 aristas de 3 colores en 2 conjuntos de aristas de 3 en rojo y azul ^[¹⁵^]
₃ {8} ₂ , o , con 72 vértices en negro y 48 aristas de 3 colores en 2 conjuntos de aristas de 3 en rojo y azul ^[¹⁶^]

Proyecciones ortogonales 2D de polígonos complejos, _p { r } _p

Los polígonos de la forma _p { r } _p tienen el mismo número de vértices y aristas. Además, son autoduales.

₃ {3} ₃ ,o, con 8 vértices en negro y 8 aristas de 3 colores en 2 conjuntos de aristas de 3 en rojo y azul^[¹⁷^]
₃ {4} ₃ , o , con 24 vértices y 24 aristas de 3 lados mostradas en 3 conjuntos de colores, un conjunto relleno ^[¹⁸^]
₄ {3} ₄ , o , con 24 vértices y 24 aristas de 4 lados mostradas en 4 conjuntos de colores ^[¹⁸^]
₃ {5} ₃ , o , con 120 vértices y 120 aristas de 3 lados ^[¹⁹^]
₅ {3} ₅ , o , con 120 vértices y 120 aristas de 5 lados ^[²⁰^]

politopos complejos regulares

En general, un politopo complejo regular es representado por Coxeter como _p { z ₁ } _q {z ₂ } _r {z ₃ } _s ... o diagrama de Coxeter ..., que tiene simetría _p [ z ₁ ] _q [ z ₂ ] _r [ z ₃ ] _s ... o .... ^[²¹^]

Existen familias infinitas de politopos complejos regulares que aparecen en todas las dimensiones, generalizando los hipercubos y los politopos cruzados en el espacio real. El "ortotopo generalizado" de Shephard generaliza el hipercubo; su símbolo es γ ^p_n = _p {4} ₂ {3} ₂ ... ₂ {3} ₂ y su diagrama es ... . Su grupo de simetría tiene el diagrama _p [4] ₂ [3] ₂ ... ₂ [3] ₂ ; en la clasificación de Shephard-Todd, este es el grupo G( p , 1, n ) que generaliza las matrices de permutación con signo. Su politopo regular dual, el "politopo cruzado generalizado", está representado por el símbolo β ^p_n = ₂ {3} ₂ {3} ₂ ... ₂ {4} _p y su diagrama es ... . ^[²²^]

Un politopo complejo regular unidimensional en $\mathbb {C} ^{1}$ se representa como , que tiene p vértices, con su representación real un polígono regular , { p }. Coxeter también le da el símbolo γ ^p₁ o β ^p₁ como hipercubo generalizado unidimensional o politopo cruzado. Su simetría es _p [] o , un grupo cíclico de orden p . En un politopo superior, _p {} o representa un elemento de p -arista, con una 2-arista, {} o , que representa una arista real ordinaria entre dos vértices. ^{[ 22 ]}

Un politopo complejo dual se construye intercambiando k y ( n -1- k )-elementos de un n -politopo. Por ejemplo, un polígono complejo dual tiene vértices centrados en cada arista, y las nuevas aristas están centradas en los vértices antiguos. Un vértice de valencia v crea una nueva arista v , y las aristas e se convierten en vértices de valencia e . ^{[ 23 ]} El dual de un politopo complejo regular tiene un símbolo invertido. Los politopos complejos regulares con símbolos simétricos, es decir _p { q } _p , _p { q } _r { q } _p , _p { q } _r { s } _r { q } _p , etc. son autoduales .

Enumeración de poliedros complejos regulares

Coxeter enumeró esta lista de poliedros complejos regulares no estrellados en $\mathbb {C} ^{3}$ , incluyendo los 5 sólidos platónicos en $\mathbb {R} ^{3}$ . ^{[ 24 ]}

Un poliedro complejo regular, _p { n ₁ } _q { n ₂ } _r o , tiene caras, aristas y figuras de vértices .

Un poliedro regular complejo _p { n ₁ } _q { n ₂ } _r requiere que tanto g ₁ = orden( _p [ n ₁ ] _q ) como g ₂ = orden( _q [ n ₂ ] _r ) sean finitos.

Dado g = orden( _p [ n ₁ ] _q [ n ₂ ] _r ), el número de vértices es g / g ₂ , y el número de caras es g / g ₁ . El número de aristas es g / pr .

Visualizaciones de poliedros complejos regulares

Proyecciones ortogonales 2D de poliedros complejos, _p { s } _t { r } _r

Real {3,3} , o tiene 4 vértices, 6 aristas y 4 caras.
₃ {3} ₃ {3} ₃ ,o, tiene 27 vértices, 72 aristas de 3 lados y 27 caras, con una cara resaltada en azul.^[²⁶^]
₂ {4} ₃ {3} ₃ , tiene 54 vértices, 216 aristas simples y 72 caras, con una cara resaltada en azul. ^[²⁷^]
₃ {3} ₃ {4} ₂ ,o, tiene 72 vértices, 216 aristas de 3 lados y 54 vértices, con una cara resaltada en azul.^[²⁸^]

Octaedros generalizados

Los octaedros generalizados tienen una construcción regular como y una forma cuasiregular como . Todos los elementos son símplexes .

Real {3,4} , o , con 6 vértices, 12 aristas y 8 caras
₂ {3} ₂ {4} ₃ , o , con 9 vértices, 27 aristas y 27 caras
₂ {3} ₂ {4} ₄ , o , con 12 vértices, 48 aristas y 64 caras
₂ {3} ₂ {4} ₅ , o , con 15 vértices, 75 aristas y 125 caras
₂ {3} ₂ {4} ₆ , o , con 18 vértices, 108 aristas y 216 caras
₂ {3} ₂ {4} ₇ , o , con 21 vértices, 147 aristas y 343 caras
₂ {3} ₂ {4} ₈ , o , con 24 vértices, 192 aristas y 512 caras
₂ {3} ₂ {4} ₉ , o , con 27 vértices, 243 aristas y 729 caras
₂ {3} ₂ {4} ₁₀ , o , con 30 vértices, 300 aristas y 1000 caras

Cubos generalizados

Los cubos generalizados tienen una construcción regular como y una construcción prismática como , un producto de tres 1-politopos p -gonales. Los elementos son cubos generalizados de menor dimensión.

Real {4,3} , o tiene 8 vértices, 12 aristas y 6 caras.
₃ {4} ₂ {3} ₂ , o tiene 27 vértices, 27 aristas de 3 lados y 9 caras ^[²⁶^]
₄ {4} ₂ {3} ₂ , o , con 64 vértices, 48 aristas y 12 caras
₅ {4} ₂ {3} ₂ , o , con 125 vértices, 75 aristas y 15 caras
₆ {4} ₂ {3} ₂ , o , con 216 vértices, 108 aristas y 18 caras
₇ {4} ₂ {3} ₂ , o , con 343 vértices, 147 aristas y 21 caras
₈ {4} ₂ {3} ₂ , o , con 512 vértices, 192 aristas y 24 caras
₉ {4} ₂ {3} ₂ , o , con 729 vértices, 243 aristas y 27 caras
₁₀ {4} ₂ {3} ₂ , o , con 1000 vértices, 300 aristas y 30 caras

Enumeración de 4-politopos complejos regulares

Coxeter enumeró esta lista de 4-politopos complejos regulares no estrellados en $\mathbb {C} ^{4}$ , incluyendo los 6 4-politopos regulares convexos en $\mathbb {R} ^{4}$ . ^{[ 24 ]}

Visualizaciones de 4-politopos complejos regulares

El conjunto real {3,3,3} tenía 5 vértices, 10 aristas, 10 caras {3} y 5 celdas {3,3}.
Real {3,4,3} , , tenía 24 vértices, 96 aristas, 96 caras {3} y 24 celdas {3,4}
El conjunto real {5,3,3} tenía 600 vértices, 1200 aristas, 720 caras {5} y 120 celdas {5,3}.
El conjunto real {3,3,5} tenía 120 vértices, 720 aristas, 1200 caras {3} y 600 celdas {3,3}.
El politopo de Witting , , tiene 240 vértices, 2160 aristas de 3 lados, 2160 caras de 3{3}3 y 240 celdas de 3{3}3{3}3.

4-ortoplexos generalizados

Los 4-ortoplexos generalizados tienen una construcción regular como y una forma cuasiregular como . Todos los elementos son símplexes .

Real {3,3,4} , o , con 8 vértices, 24 aristas, 32 caras y 16 celdas
₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₃ , o , con 12 vértices, 54 aristas, 108 caras y 81 celdas
₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₄ , o , con 16 vértices, 96 aristas, 256 caras y 256 celdas
₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₅ , o , con 20 vértices, 150 aristas, 500 caras y 625 celdas
₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₆ , o , con 24 vértices, 216 aristas, 864 caras y 1296 celdas
₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₇ , o , con 28 vértices, 294 aristas, 1372 caras y 2401 celdas
₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₈ , o , con 32 vértices, 384 aristas, 2048 caras y 4096 celdas
₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₉ , o , con 36 vértices, 486 aristas, 2916 caras y 6561 celdas
₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₁₀ , o , con 40 vértices, 600 aristas, 4000 caras y 10000 celdas

4-cubos generalizados

Los teseractos generalizados tienen una construcción regular como y una construcción prismática como , un producto de cuatro 1-politopos p -gonales. Los elementos son cubos generalizados de menor dimensión.

Real {4,3,3} , o , con 16 vértices, 32 aristas, 24 caras y 8 celdas
₃ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , o , con 81 vértices, 108 aristas, 54 caras y 12 celdas
₄ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , o , con 256 vértices, 96 aristas, 96 caras y 16 celdas
₅ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , o , con 625 vértices, 500 aristas, 150 caras y 20 celdas
₆ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , o , con 1296 vértices, 864 aristas, 216 caras y 24 celdas
₇ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , o , con 2401 vértices, 1372 aristas, 294 caras y 28 celdas
₈ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , o , con 4096 vértices, 2048 aristas, 384 caras y 32 celdas
₉ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , o , con 6561 vértices, 2916 aristas, 486 caras y 36 celdas
₁₀ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , o , con 10000 vértices, 4000 aristas, 600 caras y 40 celdas

Enumeración de 5-politopos complejos regulares

5-politopos complejos regulares en $\mathbb {C} ^{5}$ o superiores existen en tres familias, los símplexes reales y el hipercubo generalizado y el ortoplex .

Visualizaciones de politopos complejos regulares de 5 miembros

5-ortoplexos generalizados

Los 5-ortoplexos generalizados tienen una construcción regular como y una forma cuasiregular como . Todos los elementos son símplexes .

Real {3,3,3,4} , , con 10 vértices, 40 aristas, 80 caras, 80 celdas y 32 caras de 4 lados.
₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₃ , , con 15 vértices, 90 aristas, 270 caras, 405 celdas y 243 caras de 4 lados
₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₄ , , con 20 vértices, 160 aristas, 640 caras, 1280 celdas y 1024 caras de 4 lados
₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₅ , , con 25 vértices, 250 aristas, 1250 caras, 3125 celdas y 3125 caras de 4 lados
₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₆ , , con 30 vértices, 360 aristas, 2160 caras, 6480 celdas, 7776 caras de 4
₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₇ , , con 35 vértices, 490 aristas, 3430 caras, 12005 celdas, 16807 caras de 4
₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₈ , , con 40 vértices, 640 aristas, 5120 caras, 20480 celdas, 32768 caras de 4
₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₉ , , con 45 vértices, 810 aristas, 7290 caras, 32805 celdas, 59049 caras de 4
₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₁₀ , , con 50 vértices, 1000 aristas, 10000 caras, 50000 celdas, 100000 caras de 4 lados

5-cubos generalizados

Los 5-cubos generalizados tienen una construcción regular como y una construcción prismática como , un producto de cinco 1-politopos p -gonales. Los elementos son cubos generalizados de menor dimensión.

Real {4,3,3,3} , , con 32 vértices, 80 aristas, 80 caras, 40 celdas y 10 caras de 4 vértices.
₃ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , , con 243 vértices, 405 aristas, 270 caras, 90 celdas y 15 caras de 4
₄ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , , con 1024 vértices, 1280 aristas, 640 caras, 160 celdas y 20 caras de 4
₅ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , , con 3125 vértices, 3125 aristas, 1250 caras, 250 celdas y 25 caras de 4 lados
₆ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , , con 7776 vértices, 6480 aristas, 2160 caras, 360 celdas y 30 caras de 4 lados

Enumeración de politopos 6-complejos regulares

Visualizaciones de politopos regulares complejos de 6 miembros

6-ortoplexos generalizados

Los 6-ortoplexos generalizados tienen una construcción regular como y una forma cuasiregular como . Todos los elementos son símplexes .

Real {3,3,3,3,4} , , con 12 vértices, 60 aristas, 160 caras, 240 celdas, 192 caras de 4 lados y 64 caras de 5 lados
₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₃ , , con 18 vértices, 135 aristas, 540 caras, 1215 celdas, 1458 caras de 4 lados y 729 caras de 5 lados
₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₄ , , con 24 vértices, 240 aristas, 1280 caras, 3840 celdas, 6144 caras de 4 y 4096 caras de 5
₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₅ , , con 30 vértices, 375 aristas, 2500 caras, 9375 celdas, 18750 caras de 4 lados y 15625 caras de 5 lados
₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₆ , , con 36 vértices, 540 aristas, 4320 caras, 19440 celdas, 46656 caras de 4 miembros y 46656 caras de 5 miembros
₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₇ , , con 42 vértices, 735 aristas, 6860 caras, 36015 celdas, 100842 caras de 4, 117649 caras de 5
₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₈ , , con 48 vértices, 960 aristas, 10240 caras, 61440 celdas, 196608 caras de 4, 262144 caras de 5
₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₉ , , con 54 vértices, 1215 aristas, 14580 caras, 98415 celdas, 354294 caras de 4, 531441 caras de 5
₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₁₀ , , con 60 vértices, 1500 aristas, 20000 caras, 150000 celdas, 600000 caras de 4, 1000000 caras de 5

6-cubos generalizados

Los 6-cubos generalizados tienen una construcción regular como y una construcción prismática como , un producto de seis 1-politopos p -gonales. Los elementos son cubos generalizados de menor dimensión.

Real {3,3,3,3,3,4} , , con 64 vértices, 192 aristas, 240 caras, 160 celdas, 60 caras de 4 vértices y 12 caras de 5 vértices.
₃ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , , con 729 vértices, 1458 aristas, 1215 caras, 540 celdas, 135 caras de 4 lados y 18 caras de 5 lados
₄ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , , con 4096 vértices, 6144 aristas, 3840 caras, 1280 celdas, 240 caras de 4 lados y 24 caras de 5 lados
₅ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , , con 15625 vértices, 18750 aristas, 9375 caras, 2500 celdas, 375 caras de 4 lados y 30 caras de 5 lados

Enumeración de apeirotopos complejos regulares

Coxeter enumeró esta lista de apeirotopos o panales complejos regulares no estrellados. ^{[ 29 ]}

Para cada dimensión hay 12 apeirotopos simbolizados como δ ^{p , r}_n+1 existen en cualquier dimensión $\mathbb {C} ^{n}$ , o $\mathbb {R} ^{n}$ si p = q = 2. Coxeter llama a estos panales cúbicos generalizados para n > 2. ^{[ 30 ]}

Cada uno tiene recuentos de elementos proporcionales dados como:

k-caras =

{n \choose k}p^{n-k}r^{k}

, dónde

{n \choose m}={\frac {n!}{m!\,(n-m)!}}

y n ! denota el factorial de n .

1-politopos complejos regulares

El único 1-politopo complejo regular es _∞ {}, o . Su representación real es un apeirogono , { ∞ }, o .

apeirogones complejos regulares

Los apeirogones complejos de rango 2 tienen simetría _p [ q ] _r , donde 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Coxeter los expresa como δ ^{p , r}₂ donde q está restringido a satisfacer $q = 2/(1 - (p + r)/ pr)$ . ^{[ 31 ]}

Hay 8 soluciones:

Hay dos soluciones excluidas q impar y p y r desiguales : ₁₀ [5] ₂ y ₁₂ [3] ₄ , o y .

Un apeirogon complejo regular _p { q } _r tiene p aristas y r figuras de vértice gonales. El apeirogon dual de _p { q } _r es _r { q } _p . Un apeirogon de la forma _p { q } _p es autodual. Los grupos de la forma _p [2 q ] ₂ tienen una semi-simetría _p [ q ] _p , por lo que un apeirogon regular es lo mismo que uno cuasirregular . ^[¹¹^]

Los apeirogonos que se pueden representar en el plano de Argand comparten cuatro disposiciones de vértices diferentes. Los apeirogonos de la forma ₂ { q } _r tienen una disposición de vértices como { q /2, p }. La forma _p { q } ₂ tiene una disposición de vértices como r{ p , q /2}. Los apeirogonos de la forma _p {4} _r tienen disposiciones de vértices { p , r }.

Incluyendo nodos afines y $\mathbb {C} ^{2}$ , hay 3 soluciones infinitas más: _∞ [2] _∞ , _∞ [4] ₂ , _∞ [3] ₃ , y , , y . La primera es un subgrupo de índice 2 de la segunda. Los vértices de estos apeirogones existen en $\mathbb {C} ^{1}$ .

Regular complex apeirohedra

There are 22 regular complex apeirohedra in $\mathbb {C} ^{2}$ of the form _p{a}_q{b}_r. 8 are self-dual (p=r and a=b), while 14 exist as dual polytope pairs. Three are entirely real (p=q=r=2).

Coxeter symbolizes 12 of them as δ^p,r₃ or _p{4}₂{4}_r is the regular form of the product apeirotope δ^p,r₂ × δ^p,r₂ or _p{q}_r × _p{q}_r, where q is determined from p and r.

is the same as , as well as , for p,r=2,3,4,6. Also = .^[33]

Regular complex 3-apeirotopes

There are 16 regular complex apeirotopes in $\mathbb {C} ^{3}$ . Coxeter expresses 12 of them by δ^p,r₃ where q is constrained to satisfy $q = 2/(1 - (p + r)/ pr)$ . These can also be decomposed as product apeirotopes: = . The first case is the $\mathbb {R} ^{3}$ cubic honeycomb.

Regular complex 4-apeirotopes

There are 15 regular complex apeirotopes in $\mathbb {C} ^{4}$ . Coxeter expresses 12 of them by δ^p,r₄ where q is constrained to satisfy $q = 2/(1 - (p + r)/ pr)$ . These can also be decomposed as product apeirotopes: = . The first case is the $\mathbb {R} ^{4}$ tesseractic honeycomb. The 16-cell honeycomb and 24-cell honeycomb are real solutions. The last solution is generated has Witting polytope elements.

Regular complex 5-apeirotopes and higher

There are only 12 regular complex apeirotopes in $\mathbb {C} ^{5}$ or higher^[35] expressed δ^p,r_n where q is constrained to satisfy $q = 2/(1 - (p + r)/ pr)$ . These can also be decomposed a product of n apeirogons: ... = ... . The first case is the real $\mathbb {R} ^{n}$ hypercube honeycomb.

van Oss polygon

A van Oss polygon is a regular polygon in the plane (real plane $\mathbb {R} ^{2}$ , or unitary plane $\mathbb {C} ^{2}$ ) in which both an edge and the centroid of a regular polytope lie, and formed of elements of the polytope. Not all regular polytopes have Van Oss polygons.

For example, the van Oss polygons of a real octahedron are the three squares whose planes pass through its center. In contrast a cube does not have a van Oss polygon because the edge-to-center plane cuts diagonally across two square faces and the two edges of the cube which lie in the plane do not form a polygon.

Infinite honeycombs also have van Oss apeirogons. For example, the real square tiling and triangular tiling have apeirogons {∞} van Oss apeirogons.^[36]

If it exists, the van Oss polygon of regular complex polytope of the form _p{q}_r{s}_t... has p-edges.

Non-regular complex polytopes

Product complex polytopes

Some complex polytopes can be represented as Cartesian products. These product polytopes are not strictly regular since they'll have more than one facet type, but some can represent lower symmetry of regular forms if all the orthogonal polytopes are identical. For example, the product _p{}×_p{} or of two 1-dimensional polytopes is the same as the regular _p{4}₂ or . More general products, like _p{}×_q{} have real representations as the 4-dimensional p-qduoprisms. The dual of a product polytope can be written as a sum _p{}+_q{} and have real representations as the 4-dimensional p-qduopyramid. The _p{}+_p{} can have its symmetry doubled as a regular complex polytope ₂{4}_p or .

Similarly, a $\mathbb {C} ^{3}$ complex polyhedron can be constructed as a triple product: _p{}×_p{}×_p{} or is the same as the regular generalized cube, _p{4}₂{3}₂ or , as well as product _p{4}₂×_p{} or .^[37]

Quasiregular polygons

A quasiregular polygon is a truncation of a regular polygon. A quasiregular polygon contains alternate edges of the regular polygons and . The quasiregular polygon has p vertices on the p-edges of the regular form.

Quasiregular apeirogons

There are 7 quasiregular complex apeirogons which alternate edges of a regular apeirogon and its regular dual. The vertex arrangements of these apeirogon have real representations with the regular and uniform tilings of the Euclidean plane. The last column for the 6{3}6 apeirogon is not only self-dual, but the dual coincides with itself with overlapping hexagonal edges, thus their quasiregular form also has overlapping hexagonal edges, so it can't be drawn with two alternating colors like the others. The symmetry of the self-dual families can be doubled, so creating an identical geometry as the regular forms: =

Quasiregular polyhedra

Like real polytopes, a complex quasiregular polyhedron can be constructed as a rectification (a complete truncation) of a regular polyhedron. Vertices are created mid-edge of the regular polyhedron and faces of the regular polyhedron and its dual are positioned alternating across common edges.

For example, a p-generalized cube, , has p³ vertices, 3p² edges, and 3pp-generalized square faces, while the p-generalized octahedron, , has 3p vertices, 3p² edges and p³ triangular faces. The middle quasiregular form p-generalized cuboctahedron, , has 3p² vertices, 3p³ edges, and 3p+p³ faces.

Also the rectification of the Hessian polyhedron, is , a quasiregular form sharing the geometry of the regular complex polyhedron .

Other complex polytopes with unitary reflections of period two

Other nonregular complex polytopes can be constructed within unitary reflection groups that don't make linear Coxeter graphs. In Coxeter diagrams with loops Coxeter marks a special period interior, like or symbol (1₁ 1 1)³, and group [1 1 1]³.^[38]^[39] These complex polytopes have not been systematically explored beyond a few cases.

The group is defined by 3 unitary reflections, R₁, R₂, R₃, all order 2: R₁² = R₁² = R₃² = (R₁R₂)³ = (R₂R₃)³ = (R₃R₁)³ = (R₁R₂R₃R₁)^p = 1. The period p can be seen as a double rotation in real $\mathbb {R} ^{4}$ .

As with all Wythoff constructions, polytopes generated by reflections, the number of vertices of a single-ringed Coxeter diagram polytope is equal to the order of the group divided by the order of the subgroup where the ringed node is removed. For example, a real cube has Coxeter diagram , with octahedral symmetry order 48, and subgroup dihedral symmetry order 6, so the number of vertices of a cube is 48/6=8. Facets are constructed by removing one node furthest from the ringed node, for example for the cube. Vertex figures are generated by removing a ringed node and ringing one or more connected nodes, and for the cube.

Coxeter represents these groups by the following symbols. Some groups have the same order, but a different structure, defining the same vertex arrangement in complex polytopes, but different edges and higher elements, like and with p≠3.^[40]

Coxeter calls some of these complex polyhedra almost regular because they have regular facets and vertex figures. The first is a lower symmetry form of the generalized cross-polytope in $\mathbb {C} ^{3}$ . The second is a fractional generalized cube, reducing p-edges into single vertices leaving ordinary 2-edges. Three of them are related to the finite regular skew polyhedron in $\mathbb {R} ^{4}$ .

Coxeter defines other groups with anti-unitary constructions, for example these three. The first was discovered and drawn by Peter McMullen in 1966.^[41]

Visualizations

(1 1 1₁⁴)⁴, has 42 vertices, 168 edges and 112 triangular faces, seen in this 14-gonal projection.
(1⁴ 1⁴ 1₁)⁽³⁾, has 56 vertices, 168 edges and 84 square faces, seen in this 14-gonal projection.
(1 1 2₂)⁴, has 80 vertices, 640 edges, 1280 triangular faces and 640 tetrahedral cells, seen in this 20-gonal projection.^[42]

Notes

↑Peter Orlik, Victor Reiner, Anne V. Shepler. The sign representation for Shephard groups. Mathematische Annalen. March 2002, Volume 322, Issue 3, pp. 477–492. DOI:10.1007/s002080200001
↑Coxeter (1991), p. 115.
↑Shephard (1952), p. 83
↑Coxeter (1991), 11.3 Petrie Polygon, a simple h-gon formed by the orbit of the flag (O₀,O₀O₁) for the product of the two generating reflections of any nonstarry regular complex polygon, p₁{q}p₂.
↑Coxeter (1991), p. 103, 11.1 Regular complex polygons.
↑Shephard, 1952; "It is from considerations such as these that we derive the notion of the interior of a polytope, and it will be seen that in unitary space where the numbers cannot be so ordered such a concept of interior is impossible. [Para break] Hence ... we have to consider unitary polytopes as configurations."
↑Coxeter (1991), p. 96.
↑Coxeter (1991), p. xiv.
↑Coxeter (1991), p. 177, Table III.
↑Lehrer & Taylor 2009, p. 87
1 2Coxeter (1991), pp. 178–179, Table IV. The regular polygons.
↑Coxeter (1991), p. 88, Sec. 8.9 The Two-Dimensional Case.
↑Coxeter (1991), pp. 177–179, Table III.
1 2Coxeter (1991), p. 108.
↑Coxeter (1991), p. 109.
↑Coxeter (1991), p. 111.
↑Coxeter (1991), p. 30 diagram and p. 47 indices for 8 3-edges.
1 2Coxeter (1991), p. 110.
↑Coxeter (1991), p. 48.
↑Coxeter (1991), p. 49.
↑Coxeter (1991), pp. 116–140.
1 2Coxeter (1991), pp. 118–119.
↑Coxeter (1991), p. 29.
1 2Coxeter (1991), p. 180, Table V. The nonstarry regular polyhedra and 4-polytopes.
↑Coxeter, Kaleidoscopes — Selected Writings of H.S.M. Coxeter, Paper 25 Surprising relationships among unitary reflection groups, p. 431.
1 2Coxeter (1991), p. 131.
↑Coxeter (1991), p. 126.
↑Coxeter (1991), p. 125.
↑Coxeter (1991), p. 180, Table VI. The regular honeycombs.
↑Coxeter (1991), p. 174.
↑Coxeter (1991), pp. 111, 136, and Table VI. The regular honeycombs.
↑Coxeter (1991), pp. 111–112, Sec. 11.6 Apeirogons.
↑Coxeter (1991), p. 140.
↑Coxeter (1991), pp. 139–140.
↑Coxeter (1991), p. 146.
↑Coxeter (1991), p. 141.
↑Coxeter (1991), pp. 118–119, 138.
↑Coxeter (1991), pp. 156–174, Chapter 14, Almost regular polytopes.
1 2 3 4 5 6Coxeter (1956), Groups Generated by Unitary Reflections of Period Two, Table III: Some Complex Polytopes, p. 413
↑Coxeter (1966), Finite Groups Generated by Unitary Reflections, 4. The Graphical Notation, Table of n-dimensional groups generated by n Unitary Reflections. pp. 422–423
↑Coxeter (1991), pp. 166–171, Sec. 14.6 McMullen's two polyhedra with 84 square faces.
↑Coxeter (1991), pp. 172–173.

References

Coxeter, H. S. M. and Moser, W. O. J.; Generators and Relations for Discrete Groups (1965), esp. pp. 67–80.
Coxeter, H.S.M. (1991) [1974], Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, ISBN 0-521-39490-2
Coxeter, H. S. M. and Shephard, G.C.; Portraits of a family of complex polytopes, Leonardo Vol 25, No 3/4, (1992), pp. 239–244,
Shephard, G.C.; Regular complex polytopes, Proc. London math. Soc. Series 3, Vol 2, (1952), pp. 82–97.
G. C. Shephard, J. A. Todd, Finite unitary reflection groups, Canadian Journal of Mathematics. (1954), 6:274–304, doi:10.4153/CJM-1954-028-3
Gustav I. Lehrer and Donald E. Taylor, Unitary Reflection Groups, Cambridge University Press 2009