Representación real

En el campo matemático de la teoría de la representación, una representación real suele ser una representación en un espacio vectorial real U , pero también puede significar una representación en un espacio vectorial complejo V con una estructura real invariante , es decir, una aplicación equivariante antilineal.

${\displaystyle j\dos puntos V\a V}$

lo cual satisface

${\displaystyle j^{2}=+1.}$

Los dos puntos de vista son equivalentes porque si U es un espacio vectorial real sobre el que actúa un grupo G (por ejemplo), entonces V = U ⊗ C es una representación en un espacio vectorial complejo con una aplicación equivariante antilineal dada por la conjugación compleja . Recíprocamente, si V es una representación compleja de este tipo, entonces U puede recuperarse como el conjunto de puntos fijos de j (el espacio propio con valor propio 1).

En física , donde las representaciones suelen visualizarse concretamente en términos de matrices, una representación real es aquella en la que las entradas de las matrices que representan los elementos del grupo son números reales. Estas matrices pueden actuar sobre vectores columna reales o complejos.

Una representación real en un espacio vectorial complejo es isomorfa a su representación conjugada compleja , pero lo contrario no es cierto: una representación que es isomorfa a su conjugada compleja pero que no es real se denomina representación pseudoreal . Una representación pseudoreal irreducible V es necesariamente una representación cuaterniónica : admite una estructura cuaterniónica invariante , es decir, una aplicación equivariante antilineal.

${\displaystyle j\dos puntos V\a V}$

lo cual satisface

${\displaystyle j^{2}=-1.}$

Una suma directa de representaciones reales y cuaterniónicas no es, en general, ni real ni cuaterniónica.

Una representación en un espacio vectorial complejo también puede ser isomorfa a la representación dual de su conjugado complejo. Esto ocurre precisamente cuando la representación admite una forma sesquilineal invariante no degenerada , por ejemplo, una forma hermitiana . A estas representaciones se las denomina a veces complejas o (pseudo)hermíticas.

Un criterio (para grupos compactos G ) para la realidad de representaciones irreducibles en términos de teoría de caracteres se basa en el indicador de Frobenius-Schur definido por

${\displaystyle \int _{g\in G}\chi (g^{2})\,d\mu }$

donde χ es el carácter de la representación y μ es la medida de Haar con μ( G ) = 1. Para un grupo finito, esto viene dado por

${\displaystyle {1 \over |G|}\sum _{g\in G}\chi (g^{2}).}$

El indicador puede tomar los valores 1, 0 o −1 . Si el indicador es 1, la representación es real. Si el indicador es cero, la representación es compleja (hermítica), ^{[ 1 ]} y si el indicador es −1 , la representación es cuaterniónica.

Todas las representaciones de los grupos simétricos son reales (y de hecho racionales), ya que podemos construir un conjunto completo de representaciones irreducibles utilizando los diagramas de Young .

Todas las representaciones de los grupos de rotación en espacios de dimensión impar son reales, ya que todas aparecen como subrepresentaciones de productos tensoriales de copias de la representación fundamental, que es real.

Otros ejemplos de representaciones reales son las representaciones espinoriales de los grupos de espín en 8 k − 1, 8 k , y 8 k +1 dimensiones para k = 1, 2, 3 ... Esta periodicidad módulo 8 es conocida en matemáticas no solo en la teoría de las álgebras de Clifford , sino también en la topología algebraica , en la teoría KO ; véase la representación de espín y la periodicidad de Bott .

• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas en matemáticas. Vol.  129. Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249 . OCLC 246650103 .  .
• Serre, Jean-Pierre (1977), Representaciones lineales de grupos finitos , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90190-9.