Grupo de reflexión complejo

En matemáticas , un grupo de reflexión complejo es un grupo finito que actúa sobre un espacio vectorial complejo de dimensión finita que se genera mediante reflexiones complejas : elementos no triviales que fijan un hiperplano complejo puntualmente.

Los grupos de reflexión complejos surgen en el estudio de la teoría invariante de anillos polinómicos . A mediados del siglo XX, fueron clasificados completamente en el trabajo de Shephard y Todd. Los casos especiales incluyen el grupo simétrico de permutaciones, los grupos diedros y, de manera más general, todos los grupos de reflexión reales finitos (los grupos de Coxeter o grupos de Weyl , incluidos los grupos de simetría de poliedros regulares ).

Una reflexión (compleja) r (a veces también llamada pseudoreflexión o reflexión unitaria ) de un espacio vectorial complejo de dimensión finita V es un elemento de orden finito que fija un hiperplano complejo puntualmente, es decir, el espacio fijo tiene codimensión 1. ${\displaystyle r\in GL(V)}$ ${\displaystyle \operatorname {Fix} (r):=\operatorname {ker} (r-\operatorname {Id} _{V})}$

Un grupo de reflexión complejo ( finito ) es un subgrupo finito del que se genera mediante reflexiones. ${\displaystyle W\subseteq GL(V)}$${\displaystyle GL(V)}$

Cualquier grupo de reflexión real se convierte en un grupo de reflexión complejo si ampliamos los escalares de R a C. En particular, todos los grupos de Coxeter o grupos de Weyl finitos dan ejemplos de grupos de reflexión complejos.

Un grupo de reflexión complejo W es irreducible si el único subespacio propio invariante en W del espacio vectorial correspondiente es el origen. En este caso, la dimensión del espacio vectorial se denomina rango de W.

El número de Coxeter de un grupo de reflexión complejo irreducible W de rango se define como donde denota el conjunto de reflexiones y denota el conjunto de hiperplanos reflectores. En el caso de grupos de reflexión reales, esta definición se reduce a la definición habitual del número de Coxeter para sistemas de Coxeter finitos. ${\displaystyle h}$${\displaystyle n}$${\displaystyle h={\frac {|{\mathcal {R}}|+|{\mathcal {A}}|}{n}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Cualquier grupo de reflexión complejo es un producto de grupos de reflexión complejos irreducibles, que actúan sobre la suma de los espacios vectoriales correspondientes. ^[1] Por lo tanto, es suficiente clasificar los grupos de reflexión complejos irreducibles.

Los grupos de reflexión complejos irreducibles fueron clasificados por GC Shephard y JA Todd  (1954). Demostraron que cada irreducible pertenecía a una familia infinita G ( m , p , n ) dependiendo de 3 parámetros enteros positivos (con p dividiendo a m ) o era uno de los 34 casos excepcionales, que numeraron del 4 al 37. ^[2] El grupo G ( m , 1, n ) es el grupo simétrico generalizado ; equivalentemente, es el producto en corona del grupo simétrico Sym( n ) por un grupo cíclico de orden m . Como grupo matricial, sus elementos pueden realizarse como matrices monomiales cuyos elementos distintos de cero son raíces m ésimas de la unidad .

El grupo G ( m , p , n ) es un subgrupo de índice p de G ( m , 1, n ). G ( m , p , n ) es de orden m ⁿ n !/ p . Como matrices, puede realizarse como el subconjunto en el que el producto de las entradas distintas de cero es una ( m / p )ésima raíz de la unidad (en lugar de solo una m ésima raíz). Algebraicamente, G ( m , p , n ) es un producto semidirecto de un grupo abeliano de orden m ⁿ / p por el grupo simétrico Sym( n ); los elementos del grupo abeliano son de la forma ( θ ^{a ₁} , θ ^{a ₂} , ..., θ ^{a _n} ), donde θ es una m ésima raíz primitiva de la unidad y Σ a _i ≡ 0 mod p , y Sym( n ) actúa por permutaciones de las coordenadas. ^[3]

El grupo G ( m , p , n ) actúa irreduciblemente sobre C ⁿ excepto en los casos m = 1, n > 1 (el grupo simétrico) y G (2, 2, 2) (el cuatrigrupo de Klein ). En estos casos, C ⁿ se descompone como una suma de representaciones irreducibles de dimensiones 1 y n − 1.

Cuando m = 2, la representación descrita en la sección anterior consiste en matrices con entradas reales, y por lo tanto en estos casos G ( m , p , n ) es un grupo de Coxeter finito. En particular: ^[4]

• G (1, 1, n ) tiene tipo A _{n −1} = [3,3,...,3,3] =...; el grupo simétrico de orden n !
• G (2, 1, n ) tiene tipo B _n = [3,3,...,3,4] =...; el grupo hiperoctaédrico de orden 2 ⁿ n !
• G (2, 2, n ) tiene tipo D _n = [3,3,...,3 ^1,1 ] =..., orden 2 ⁿ n !/2.

Además, cuando m = p y n = 2, el grupo G ( p , p , 2) es el grupo diedro de orden 2 p ; como grupo de Coxeter, tipo I ₂ ( p ) = [ p ] =(y el grupo de Weyl G ₂ cuando p = 6).

Los únicos casos en los que dos grupos G ( m , p , n ) son isomorfos como grupos de reflexión complejos ^{[ aclaración necesaria ]} son ​​aquellos en los que G ( ma , pa , 1) es isomorfo a G ( mb , pb , 1) para cualesquiera números enteros positivos a , b (y ambos son isomorfos al grupo cíclico de orden m / p ). Sin embargo, hay otros casos en los que dos de estos grupos son isomorfos como grupos abstractos.

Los grupos G (3, 3, 2) y G (1, 1, 3) son isomorfos al grupo simétrico Sym(3). Los grupos G (2, 2, 3) y G (1, 1, 4) son isomorfos al grupo simétrico Sym(4). Tanto G (2, 1, 2) como G (4, 4, 2) son isomorfos al grupo diedro de orden 8. Y los grupos G (2 p , p , 1) son cíclicos de orden 2, como lo es G (1, 1, 2).

Hay algunos duplicados en las primeras 3 líneas de esta lista; consulte la sección anterior para obtener más detalles.

• ST es el número Shephard-Todd del grupo de reflexión.
• El rango es la dimensión del espacio vectorial complejo sobre el que actúa el grupo.
• La estructura describe la estructura del grupo. El símbolo * representa un producto central de dos grupos. Para el rango 2, el cociente por el centro (cíclico) es el grupo de rotaciones de un tetraedro, octaedro o icosaedro ( T = Alt(4), O = Sym(4), I = Alt(5), de órdenes 12, 24, 60), como se indica en la tabla. Para la notación 2 ¹⁺⁴ , véase grupo extra especial .
• El orden es el número de elementos del grupo.
• Reflexiones describe el número de reflexiones: 2 ⁶ 4 ¹² significa que hay 6 reflexiones de orden 2 y 12 de orden 4.
• Grados da los grados de los invariantes fundamentales del anillo de invariantes polinómicos. Por ejemplo, los invariantes del grupo número 4 forman un anillo polinómico con 2 generadores de grados 4 y 6.

Para obtener más información, incluidos diagramas, presentaciones y códigos de grupos de reflexión complejos, consulte las tablas de (Michel Broué, Gunter Malle y Raphaël Rouquier 1998).

Shephard y Todd demostraron que un grupo finito que actúa sobre un espacio vectorial complejo es un grupo de reflexión complejo si y solo si su anillo de invariantes es un anillo polinómico ( teorema de Chevalley-Shephard-Todd ). Por ser el rango del grupo de reflexión, los grados de los generadores del anillo de invariantes se denominan grados de W y se enumeran en la columna superior titulada "grados". También demostraron que muchos otros invariantes del grupo están determinados por los grados de la siguiente manera: ${\displaystyle \ell }$${\displaystyle d_{1}\leq d_{2}\leq \ldots \leq d_{\ell }}$

• El centro de un grupo de reflexión irreducible es cíclico de orden igual al máximo común divisor de los grados.
• El orden de un grupo de reflexión complejo es el producto de sus grados.
• El número de reflexiones es la suma de los grados menos el rango.
• Un grupo de reflexión complejo irreducible proviene de un grupo de reflexión real si y solo si tiene un invariante de grado 2.
• Los grados d _i satisfacen la fórmula${\displaystyle \prod _{i=1}^{\ell }(q+d_{i}-1)=\sum _{w\in W}q^{\dim(V^{w})}.}$

Por ser el rango del grupo de reflexión, los grados de código de W se pueden definir por ${\displaystyle \ell }$${\displaystyle d_{1}^{*}\geq d_{2}^{*}\geq \ldots \geq d_{\ell }^{*}}$${\displaystyle \prod _{i=1}^{\ell }(q-d_{i}^{*}-1)=\sum _{w\in W}\det(w)q^{\dim(V^{w})}.}$

• Para un grupo de reflexión real, los grados del código son los grados menos 2.
• El número de hiperplanos de reflexión es la suma de los grados de código más el rango.

Por definición, cada grupo de reflexión complejo se genera a partir de sus reflexiones. Sin embargo, el conjunto de reflexiones no es un conjunto generador mínimo, y cada grupo de reflexión complejo irreducible de rango n tiene un conjunto generador mínimo que consiste en n o n + 1 reflexiones. En el primer caso, se dice que el grupo está bien generado .

La propiedad de estar bien generado es equivalente a la condición para todo . Así, por ejemplo, se puede leer de la clasificación que el grupo G ( m , p , n ) está bien generado si y sólo si p = 1 o m . ${\displaystyle d_{i}+d_{i}^{*}=d_{\ell }}$${\displaystyle 1\leq i\leq \ell }$

Para grupos de reflexión complejos irreducibles bien generados, el número de Coxeter h definido anteriormente es igual al grado más grande, . Se dice que un grupo de reflexión complejo reducible está bien generado si es un producto de grupos de reflexión complejos irreducibles bien generados. Todo grupo de reflexión real finito está bien generado. ${\displaystyle h=d_{\ell }}$

Los grupos de reflexión complejos bien generados incluyen un subconjunto llamado grupos de Shephard . Estos grupos son los grupos de simetría de politopos complejos regulares . En particular, incluyen los grupos de simetría de poliedros reales regulares. Los grupos de Shephard pueden caracterizarse como los grupos de reflexión complejos que admiten una presentación "similar a la de Coxeter" con un diagrama lineal. Es decir, un grupo de Shephard tiene asociados números enteros positivos p ₁ , ..., p _n y q ₁ , ..., q _{n − 1} tales que existe un conjunto generador s ₁ , ..., s _n que satisface las relaciones

${\displaystyle (s_{i})^{p_{i}}=1}$para i = 1, ..., n ,

${\displaystyle s_{i}s_{j}=s_{j}s_{i}}$si ,${\displaystyle |i-j|>1}$

y

${\displaystyle s_{i}s_{i+1}s_{i}s_{i+1}\cdots =s_{i+1}s_{i}s_{i+1}s_{i}\cdots }$donde los productos de ambos lados tienen términos q _i , para i = 1, ..., n − 1 .

Esta información a veces se recoge en el símbolo de tipo Coxeter p ₁ [ q ₁ ] p ₂ [ q ₂ ] ... [ q _{n − 1} ] p _n , como se ve en la tabla anterior.

Entre los grupos de la familia infinita G ( m , p , n ) , los grupos de Shephard son aquellos en los que p = 1 . También hay 18 grupos de Shephard excepcionales, de los cuales tres son reales. ^{[5] [6]}

Una matriz de Cartan extendida define el grupo unitario. Los grupos de Shephard de rango n tienen n generadores. Las matrices de Cartan ordinarias tienen 2 elementos diagonales, mientras que las reflexiones unitarias no tienen esta restricción. ^[7] Por ejemplo, el grupo de rango 1 de orden p (con símbolos p[],) se define mediante la matriz 1 × 1 . ${\displaystyle \left[1-e^{2\pi i/p}\right]}$

Dado: . ${\displaystyle \zeta _{p}=e^{2\pi i/p},\omega =\zeta _{3}=e^{2\pi i/3}={\tfrac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}}),\zeta _{4}=e^{2\pi i/4}=i,\zeta _{5}=e^{2\pi i/5}={\tfrac {1}{4}}(\left({\sqrt {5}}-1\right)+i{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}),\tau ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\lambda ={\tfrac {1+i{\sqrt {7}}}{2}},\omega ={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}}$

• Subgrupo parabólico de un grupo de reflexión

• Broué, Michel ; Malle, Gunter; Rouquier, Raphaël (1995), "Sobre grupos de reflexión complejos y sus grupos trenzados asociados" (PDF) , Representaciones de grupos (Banff, AB, 1994) , CMS Conf. Proc., vol. 16, Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 1–13, MR  1357192
• Broue, Michel ; Mallé, Gunter; Rouquier, Raphaël (1998), "Grupos de reflexión complejos, grupos trenzados, álgebras de Hecke", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1998 (500): 127–190, CiteSeerX  10.1.1.128.2907 , doi :10.1515/crll.1998.064 , ISSN  0075-4102, SEÑOR  1637497
• Deligne, Pierre (1972), "Les immeubles des groupes de tresses généralisés", Inventiones Mathematicae , 17 (4): 273–302, Bibcode :1972InMat..17..273D, doi :10.1007/BF01406236, ISSN  0020-9910, SEÑOR  0422673, S2CID  123680847
• Hiller, Howard Geometría de los grupos de Coxeter. Research Notes in Mathematics, 54. Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, Mass.-Londres, 1982. iv+213 pp.  ISBN 0-273-08517-4 * 
• Lehrer, Gustav I.; Taylor, Donald E. (2009), Grupos de reflexión unitaria , Serie de conferencias de la Sociedad Matemática Australiana, vol. 20, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-74989-3, Sr.  2542964
• Shephard, GC; Todd, JA (1954), "Grupos de reflexión unitaria finitos", Revista canadiense de matemáticas , 6 , Sociedad matemática canadiense: 274–304, doi : 10.4153/CJM-1954-028-3 , ISSN  0008-414X, MR  0059914, S2CID  3342221
• Coxeter , Grupos finitos generados por reflexiones unitarias , 1966, 4. La notación gráfica , Tabla de grupos n-dimensionales generados por n reflexiones unitarias. pp. 422–423

• Página del sistema de álgebra computacional MAGMA