Grupo extraespecial

En teoría de grupos , una rama del álgebra abstracta , los grupos extraespeciales son análogos del grupo de Heisenberg sobre cuerpos finitos cuyo tamaño es un número primo. Para cada primo p y entero positivo n, existen exactamente dos (salvo isomorfismo) grupos extraespeciales de orden p¹⁺²ⁿ ^. Los grupos extraespeciales suelen aparecer en centralizadores de involuciones . La teoría de caracteres ^ordinaria de los grupos extraespeciales se comprende bien.

Definición

Recordemos que un grupo finito se llama p -grupo si su orden es una potencia de un número primo p .

Un p -grupo G se denomina extraespecial si su centro Z es cíclico de orden p y el cociente G / Z es un p- grupo abeliano elemental no trivial .

Los grupos extraespeciales de orden p ^{1+2 n} se suelen denotar con el símbolo p ^{1+2 n} . Por ejemplo, 2 ¹⁺²⁴ representa un grupo extraespecial de orden 2 ²⁵ .

Clasificación

Todo p -grupo extraespecial tiene orden p ^{1+2 n} para algún entero positivo n , y recíprocamente, para cada uno de estos números, existen exactamente dos grupos extraespeciales salvo isomorfismo. Un producto central de dos p -grupos extraespeciales es extraespecial, y todo grupo extraespecial puede escribirse como un producto central de grupos extraespeciales de orden p ^3. Esto reduce la clasificación de los grupos extraespeciales a la de grupos extraespeciales de orden p ^3. La clasificación suele presentarse de forma diferente en los casos p impar y p = 2, pero también es posible una presentación uniforme.

p impar

Hay dos grupos extraespeciales de orden p ³ , que para p impar vienen dados por

El grupo de matrices triangulares de 3x3 sobre el cuerpo con p elementos, con 1 en la diagonal. Este grupo tiene exponente p para p impar (pero exponente 4 si p = 2).
El producto semidirecto de un grupo cíclico de orden p ² por un grupo cíclico de orden p que actúa de forma no trivial sobre él. Este grupo tiene exponente p ² .

Si n es un entero positivo, existen dos grupos extraespeciales de orden p ^{1+2 n} , que para p impar vienen dados por

El producto central de n grupos extraespeciales de orden p ³ , todos con exponente p . Este grupo extraespecial también tiene exponente p .
El producto central de n grupos extraespeciales de orden p ³ , al menos uno de exponente p ² . Este grupo extraespecial tiene exponente p ² .

Los dos grupos extraespeciales de orden p ^{1+2 n} se distinguen más fácilmente por el hecho de que uno tiene todos los elementos de orden como máximo p y el otro tiene elementos de orden p ² .

p = 2

Hay dos grupos extraespeciales de orden 8 = 2 ³ , que están dados por

El grupo diedral D ₈ de orden 8, que también puede obtenerse mediante cualquiera de las dos construcciones de la sección anterior para p = 2 (para p impar se obtienen grupos diferentes, pero para p = 2 se obtiene el mismo grupo). Este grupo tiene 2 elementos de orden 4.
El grupo de cuaterniones Q ₈ de orden 8, que tiene 6 elementos de orden 4.

Si n es un entero positivo, existen dos grupos extraespeciales de orden 2 ^{1+2 n} , que están dados por

El producto central de n grupos extraespeciales de orden 8, un número impar de los cuales son grupos de cuaterniones. La forma cuadrática correspondiente (véase más abajo) tiene invariante Arf 1.
El producto central de n grupos extraespeciales de orden 8, un número par de los cuales son grupos de cuaterniones. La forma cuadrática correspondiente (véase más abajo) tiene invariante Arf 0.

Los dos grupos extraespeciales G de orden 2 ^{1+2 n} se distinguen fácilmente de la siguiente manera. Si Z es el centro, entonces G / Z es un espacio vectorial sobre el cuerpo con 2 elementos. Tiene una forma cuadrática q , donde q es 1 si el levantamiento de un elemento tiene orden 4 en G , y 0 en caso contrario. Entonces, el invariante Arf de esta forma cuadrática puede usarse para distinguir los dos grupos extraespeciales. De forma equivalente, se pueden distinguir los grupos contando el número de elementos de orden 4.

Todos los p

Una presentación uniforme de los grupos extraespeciales de orden p ^{1+2 n} se puede dar de la siguiente manera. Definamos los dos grupos:

$M(p)=\langle a,b,c:a^{p}=b^{p}=1,c^{p}=1,ba=abc,ca=ac,cb=bc\rangle$
$N(p)=\langle a,b,c:a^{p}=b^{p}=c,c^{p}=1,ba=abc,ca=ac,cb=bc\rangle$

M ( p ⁾ y N ( p ⁾ son grupos extraespeciales no isomorfos de orden p³ con centro de orden p generado por c . Los dos grupos extraespeciales no isomorfos de orden p¹⁺²ⁿ son los productos centrales de n copias de M ( p ) o ^den⁻¹ copias de M ( p ) y 1 copia de N ( p ). Este es un caso especial de una clasificación de p -grupos con centros cíclicos y subgrupos derivados simples dada en ( Newman 1960 ) .

Teoría de los personajes

Si G es un grupo extraespecial de orden p ^{1+2 n} , entonces sus representaciones complejas irreducibles se dan de la siguiente manera:

Hay exactamente p ^{2 n} representaciones irreducibles de dimensión 1. El centro Z actúa trivialmente, y las representaciones simplemente corresponden a las representaciones del grupo abeliano G / Z.
Hay exactamente p − 1 representaciones irreducibles de dimensión p ⁿ . Hay una de estas para cada carácter no trivial χ del centro, sobre el cual el centro actúa como multiplicación por χ. Los valores de los caracteres están dados por p ⁿ χ en Z , y 0 para elementos que no están en Z .
Si un p -grupo no abeliano G tiene menos de p ² − p caracteres irreducibles no lineales de grado mínimo, es extraespecial.

Ejemplos

Es bastante común que el centralizador de una involución en un grupo simple finito contenga un subgrupo extraespecial normal. Por ejemplo, el centralizador de una involución de tipo 2B en el grupo monstruo tiene estructura 2 ¹⁺²⁴ .Co ₁ , lo que significa que tiene un subgrupo extraespecial normal de orden 2 ¹⁺²⁴ , y el cociente es uno de los grupos de Conway .

Generalizaciones

Los grupos cuyo centro , subgrupo derivado y subgrupo de Frattini son todos iguales se llaman grupos especiales . Los grupos especiales infinitos cuyo subgrupo derivado tiene orden p también se llaman grupos extraespeciales. La clasificación de los grupos extraespeciales numerablemente infinitos es muy similar al caso finito, ( Newman 1960 ) , pero para cardinalidades mayores incluso las propiedades básicas de los grupos dependen de cuestiones delicadas de la teoría de conjuntos, algunas de las cuales se exponen en ( Shelah & Steprāns 1987 ) . Los grupos nilpotentes cuyo centro es cíclico y subgrupo derivado tiene orden p y cuyas clases de conjugación son como máximo numerablemente infinitas se clasifican en ( Newman 1960 ) . Los grupos finitos cuyo subgrupo derivado tiene orden p se clasifican en ( Blackburn 1999 ) .

Referencias

Blackburn, Simon R. (1999), "Grupos de orden de potencia prima con subgrupo derivado de orden primo", Journal of Algebra , 219 (2): 625– 657, doi : 10.1006/jabr.1998.7909 , ISSN 0021-8693 , MR 1706841
Gorenstein, D. (1980), Grupos finitos , Nueva York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0301-6, MR 0569209
Newman, MF (1960), "Sobre una clase de grupos nilpotentes", Actas de la Sociedad Matemática de Londres , Tercera Serie, 10 : 365–375 , doi : 10.1112/plms/s3-10.1.365 , ISSN 0024-6115 , MR 0120278
Shelah, Saharon ; Steprāns, Juris (1987), "Extraspecial p-groups", Annals of Pure and Applied Logic , 34 (1): 87–97 , doi : 10.1016/0168-0072(87)90041-8 , ISSN 0168-0072 , MR 0887554