Grupo de reflexión complejo

En matemáticas , un grupo de reflexión complejo es un grupo finito que actúa sobre un espacio vectorial complejo de dimensión finita generado por reflexiones complejas : elementos no triviales que fijan un hiperplano complejo punto a punto.

Los grupos de reflexión complejos surgen en el estudio de la teoría invariante de anillos de polinomios . A mediados del siglo XX, fueron clasificados completamente en la obra de Shephard y Todd. Entre los casos especiales se incluyen el grupo simétrico de permutaciones, los grupos diedrales y, de forma más general, todos los grupos de reflexión reales finitos (los grupos de Coxeter o grupos de Weyl , incluidos los grupos de simetría de poliedros regulares ).

Una reflexión (compleja) r (a veces también llamada pseudorreflexión o reflexión unitaria ) de un espacio vectorial complejo de dimensión finita V es un elemento${\displaystyle r\in GL(V)}$de orden finito que fija un hiperplano complejo punto por punto, es decir, el espacio fijo${\displaystyle \operatorname {Fix} (r):=\operatorname {ker} (r-\operatorname {Id} _{V})}$tiene codimensión 1.

Un grupo de reflexión complejo ( finito )${\displaystyle W\subseteq GL(V)}$es un subgrupo finito de${\displaystyle GL(V)}$que se genera por reflexiones.

Cualquier grupo de reflexión real se convierte en un grupo de reflexión complejo si extendemos los escalares de R a C. En particular, todos los grupos de Coxeter o de Weyl finitos son ejemplos de grupos de reflexión complejos.

Un grupo de reflexión complejo W es irreducible si el único subespacio propio invariante bajo W del espacio vectorial correspondiente es el origen. En este caso, la dimensión del espacio vectorial se denomina rango de W.

El número de Coxeter${\displaystyle h}$de un grupo de reflexión complejo irreducible W de rango${\displaystyle n}$se define como${\displaystyle h={\frac {|{\mathcal {R}}|+|{\mathcal {A}}|}{n}}}$dónde${\displaystyle {\mathcal {R}}}$denota el conjunto de reflexiones y${\displaystyle {\mathcal {A}}}$denota el conjunto de hiperplanos reflectantes. En el caso de grupos de reflexión reales, esta definición se reduce a la definición habitual del número de Coxeter para sistemas de Coxeter finitos.

Cualquier grupo de reflexión complejo es un producto de grupos de reflexión complejos irreducibles, que actúan sobre la suma de los espacios vectoriales correspondientes. ^{[ 1 ]} Por lo tanto, es suficiente clasificar los grupos de reflexión complejos irreducibles.

Los grupos de reflexión complejos irreducibles fueron clasificados por Geoffrey Colin Shephard y JA Todd . ^{[ 2 ]} Demostraron que cada irreducible pertenecía a una familia infinita G ( m , p , n ) que dependía de 3 parámetros enteros positivos (con p dividiendo m ) o era uno de 34 casos excepcionales, que ellos numeraron del 4 al 37. ^{[ 3 ]} El grupo G ( m , 1, n ) es el grupo simétrico generalizado ; equivalentemente, es el producto de corona del grupo simétrico Sym( n ) por un grupo cíclico de orden m . Como grupo matricial, sus elementos pueden realizarse como matrices monomiales cuyos elementos no nulos son raíces m th de la unidad .

El grupo G ( m , p , n ) es un subgrupo de índice p de G ( m , 1, n ). G ( m , p , n ) es de orden m ⁿ n !/ p . Como matrices, puede realizarse como el subconjunto en el que el producto de las entradas no nulas es una raíz ( m / p )-ésima de la unidad (en lugar de solo una raíz m -ésima). Algebraicamente, G ( m , p , n ) es un producto semidirecto de un grupo abeliano de orden m ⁿ / p por el grupo simétrico Sym( n ); los elementos del grupo abeliano son de la forma ( θ ^{a ₁} , θ ^{a ₂} , ..., θ ^{a _n} ), donde θ es una raíz m- ésima primitiva de la unidad y Σ a _i ≡ 0 mod p , y Sym( n ) actúa mediante permutaciones de las coordenadas. ^{[ 4 ]}

El grupo G ( m , p , n ) actúa irreduciblemente sobre C ⁿ excepto en los casos m = 1, n > 1 (el grupo simétrico) y G (2, 2, 2) (el grupo de Klein de cuatro dimensiones ). En estos casos, C ⁿ se descompone como una suma de representaciones irreducibles de dimensiones 1 y n − 1.

Hay algunas entradas duplicadas en las tres primeras líneas de esta lista; consulte la sección anterior para obtener más detalles.

• ST es el número de Shephard - Todd del grupo de reflexión.
• El rango es la dimensión del espacio vectorial complejo sobre el que actúa el grupo.
• La estructura describe la estructura del grupo. El símbolo * representa un producto central de dos grupos. Para el rango 2, el cociente por el centro (cíclico) es el grupo de rotaciones de un tetraedro, octaedro o icosaedro ( T = Alt(4), O = Sym(4), I = Alt(5), de órdenes 12, 24, 60), como se indica en la tabla. Para la notación 2 ¹⁺⁴ , véase grupo extra especial .
• El orden es el número de elementos del grupo.
• Reflections describe el número de reflexiones: 2 ⁶ 4 ¹² significa que hay 6 reflexiones de orden 2 y 12 de orden 4.
• El término "grados" indica los grados de los invariantes fundamentales del anillo de invariantes polinomiales. Por ejemplo, los invariantes del grupo número 4 forman un anillo de polinomios con dos generadores de grados 4 y 6.

Shephard y Todd demostraron que un grupo finito que actúa sobre un espacio vectorial complejo es un grupo de reflexión complejo si y solo si su anillo de invariantes es un anillo de polinomios ( teorema de Chevalley-Shephard-Todd ).${\displaystyle \ell }$siendo el rango del grupo de reflexión, los grados${\displaystyle d_{1}\leq d_{2}\leq \ldots \leq d_{\ell }}$Los generadores del anillo de invariantes se denominan grados de W y se enumeran en la columna superior titulada "grados". También demostraron que muchos otros invariantes del grupo están determinados por los grados de la siguiente manera:

• El centro de un grupo de reflexión irreducible es cíclico de orden igual al máximo común divisor de los grados.
• El orden de un grupo de reflexión complejo es el producto de sus grados.
• El número de reflexiones es la suma de los grados menos el rango.
• Un grupo de reflexión complejo irreducible proviene de un grupo de reflexión real si y solo si tiene un invariante de grado 2.
• Los grados d _i satisfacen la fórmula${\displaystyle \prod _{i=1}^{\ell }(q+d_{i}-1)=\sum _{w\in W}q^{\dim(V^{w})}.}$

Para${\displaystyle \ell }$siendo el rango del grupo de reflexión, los cogrados${\displaystyle d_{1}^{*}\geq d_{2}^{*}\geq \ldots \geq d_{\ell }^{*}}$W puede definirse por ${\displaystyle \prod _{i=1}^{\ell }(q-d_{i}^{*}-1)=\sum _{w\in W}\det(w)q^{\dim(V^{w})}.}$

• Para un grupo de reflexión real, los grados de concordancia son los grados menos 2.
• El número de hiperplanos de reflexión es la suma de los codegrados más el rango.

Por definición, todo grupo de reflexión complejo está generado por sus reflexiones. Sin embargo, el conjunto de reflexiones no es un conjunto generador mínimo, y todo grupo de reflexión complejo irreducible de rango n tiene un conjunto generador mínimo que consta de n o n + 1 reflexiones. En el primer caso, se dice que el grupo está bien generado .

La propiedad de estar bien generado es equivalente a la condición${\displaystyle d_{i}+d_{i}^{*}=d_{\ell }}$a pesar de${\displaystyle 1\leq i\leq \ell }$. Así, por ejemplo, se puede leer de la clasificación que el grupo G ( m , p , n ) está bien generado si y solo si p = 1 o m .

Para grupos de reflexión complejos bien generados e irreducibles, el número de Coxeter h definido anteriormente es igual al grado más grande,${\displaystyle h=d_{\ell }}$Se dice que un grupo de reflexión complejo reducible está bien generado si es producto de grupos de reflexión complejos irreducibles bien generados. Todo grupo de reflexión real finito está bien generado.

Los grupos de reflexión complejos bien generados incluyen un subconjunto llamado grupos de Shephard . Estos grupos son los grupos de simetría de politopos complejos regulares . En particular, incluyen los grupos de simetría de poliedros reales regulares. Los grupos de Shephard pueden caracterizarse como los grupos de reflexión complejos que admiten una presentación "tipo Coxeter" con un diagrama lineal. Es decir, un grupo de Shephard tiene asociados enteros positivos p ₁ , ..., p _n y q ₁ , ..., q _{n − 1} tales que existe un conjunto generador s ₁ , ..., s _n que satisface las relaciones

${\displaystyle (s_{i})^{p_{i}}=1}$para i = 1, ..., n ,

${\displaystyle s_{i}s_{j}=s_{j}s_{i}}$si${\displaystyle |ij|>1}$,

y

${\displaystyle s_{i}s_{i+1}s_{i}s_{i+1}\cdots =s_{i+1}s_{i}s_{i+1}s_{i}\cdots }$donde los productos en ambos lados tienen q _i términos, para i = 1, ..., n − 1 .

Esta información a veces se recopila en el símbolo tipo Coxeter p ₁ [ q ₁ ] p ₂ [ q ₂ ] ... [ q _{n − 1} ] p _n , como se ve en la tabla anterior.

Entre los grupos de la familia infinita G ( m , p , n ) , los grupos de Shephard son aquellos en los que p = 1 . También existen 18 grupos de Shephard excepcionales, de los cuales tres son reales. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

Una matriz de Cartan extendida define el grupo unitario. Los grupos de Shephard de rango n tienen n generadores. Las matrices de Cartan ordinarias tienen elementos diagonales 2, mientras que las reflexiones unitarias no tienen esta restricción. ^{[ 9 ]} Por ejemplo, el grupo de rango 1 de orden p (con símbolos p[], ) se define mediante la matriz de 1 × 1${\displaystyle \left[1-e^{2\pi i/p}\right]}$.

Dado:${\displaystyle \zeta _{p}=e^{2\pi i/p},\omega =\zeta _{3}=e^{2\pi i/3}={\tfrac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}}),\zeta _{4}=e^{2\pi i/4}=i,\zeta _{5}=e^{2\pi i/5}={\tfrac {1}{4}}(\left({\sqrt {5}}-1\right)+i{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}),\tau ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\lambda ={\tfrac {1+i{\sqrt {7}}}{2}},\omega ={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}}$.

• Subgrupo parabólico de un grupo de reflexión

• Broué, Michel ; Malle, Gunter; Rouquier, Raphaël (1995), "Sobre grupos de reflexión complejos y sus grupos de trenzas asociados" (PDF) , Representaciones de grupos (Banff, AB, 1994) , Actas de la Conferencia CMS, vol.  16, Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 1–13 , MR 1357192  
• Broue, Michel ; Mallé, Gunter; Rouquier, Raphaël (1998), "Grupos de reflexión complejos, grupos trenzados, álgebras de Hecke", Journal für die reine und angewandte Mathematik , vol.  1998, núm.  500, págs. 127–190 , CiteSeerX 10.1.1.128.2907 , doi : 10.1515/crll.1998.064 , ISSN 0075-4102 , SEÑOR 1637497    
• Deligne, Pierre (1972), "Les immeubles des groupes de tresses généralisés", Inventiones Mathematicae , vol.  17, núm.  4, págs. 273–302 , Bibcode : 1972InMat..17..273D , doi : 10.1007/BF01406236 , ISSN 0020-9910 , MR 0422673 , S2CID 123680847    
• Hiller, Howard. Geometría de los grupos de Coxeter. Notas de investigación en matemáticas, 54. Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, Mass.-Londres, 1982. iv+213 pp. ISBN  0-273-08517-4*
• Lehrer, Gustav I.; Taylor, Donald E. (2009), Grupos de reflexión unitaria , Serie de conferencias de la Sociedad Matemática Australiana, vol.  20, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-74989-3, MR 2542964 
• Shephard, GC; Todd, JA (1954), "Grupos de reflexión unitaria finita" , Canadian Journal of Mathematics , vol.  6, Canadian Mathematical Society, pp. 274–304 , doi : 10.4153/CJM-1954-028-3 , ISSN 0008-414X , MR 0059914 , S2CID 3342221    
• Coxeter , Grupos finitos generados por reflexiones unitarias , 1966, 4. Notación gráfica , Tabla de grupos n-dimensionales generados por n reflexiones unitarias. págs.  422–423

• Página del sistema de álgebra computacional MAGMA