Polítopo de Witting

En geometría compleja de 4 dimensiones , el politopo de Witting es un politopo complejo regular , denominado como: ₃ {3} ₃ {3} ₃ {3} ₃ , y diagrama de Coxeter . Tiene 240 vértices, 2160 ₃ {} aristas, 2160 ₃ {3} ₃ caras y 240 ₃ {3} ₃ {3} ₃ celdas. Es autodual. Cada vértice pertenece a 27 aristas, 72 caras y 27 celdas, correspondientes a la figura del vértice del poliedro hessiano .

Su simetría por ₃ [3] ₃ [3] ₃ [3] ₃ o , orden 155,520. ^{[ 1 ]} Tiene 240 copias de , orden 648 en cada celda. ^{[ 2 ]}

La matriz de configuración es: ^{[ 3 ]}${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}240&27&72&27\\3&2160&8&8\\8&8&2160&3\\27&72&27&240\end{smallmatrix}}\right]}$

El número de vértices, aristas, caras y celdas se muestra en la diagonal de la matriz. Estos se calculan dividiendo el orden del grupo entre el orden del subgrupo, eliminando ciertas reflexiones complejas, representadas con una X a continuación. El número de elementos de las k-caras se muestra en las filas debajo de la diagonal. El número de elementos de la figura del vértice, etc., se indica en las filas encima de la diagonal.

Sus 240 vértices tienen coordenadas dadas en${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$:

dónde${\displaystyle \omega ={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},\lambda ,\nu ,\mu =0,1,2}$.

Los últimos 6 puntos forman agujeros hexagonales en uno de sus 40 diámetros. Hay 40 hiperplanos que contienen figuras centrales ₃ {3} ₃ {4} ₂ , con 72 vértices.

Coxeter le dio ese nombre en honor a Alexander Witting por ser una configuración de Witting en el espacio proyectivo complejo de 3 dimensiones: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}40&12&12\\2&240&2\\12&12&40\end{smallmatrix}}\right]}$o${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}40&9&12\\4&90&4\\12&9&40\end{smallmatrix}}\right]}$

La configuración de Witting está relacionada con el espacio finito PG(3,2 ² ), que consta de 85 puntos, 357 líneas y 85 planos. ^{[ 5 ]}

Sus 240 vértices se comparten con el politopo real de 8 dimensiones 4 ₂₁ , . Sus 2160 aristas de 3 lados a veces se dibujan como 6480 aristas simples, ligeramente menos que las 6720 aristas de 4 ₂₁ . La diferencia de 240 se debe a 40 hexágonos centrales en 4 ₂₁ cuyas aristas no están incluidas en ₃ {3} ₃ {3} ₃ {3} ₃ . ^{[ 2 ]}

El politopo de Witting regular tiene una etapa adicional como un panal de abejas de 4 dimensiones . Tiene al politopo de Witting como sus facetas y figura de vértice. Es autodual, y su dual coincide consigo mismo. ^{[ 6 ]}

Las secciones hiperplanas de este panal incluyen panales tridimensionales .

El panal de abejas de los politopos de Witting tiene una representación real como el politopo de 8 dimensiones 5 ₂₁ , .

El número de elementos de su vector f es proporcional a: 1, 80, 270, 80, 1. ^{[ 1 ]} La matriz de configuración para el panal es:

• Coxeter, HSM y Moser, WOJ; Generadores y relaciones para grupos discretos (1965), esp. pp. 67–80.
• Coxeter, HSM (1974). Politopos complejos regulares . Cambridge University Press. págs. 132–135 , 143, 146, 152. ISBN  978-0-521-20125-4.
• Coxeter, HSM y Shephard, GC; Retratos de una familia de politopos complejos, Leonardo , Vol. 25, No. 3/4, (1992), págs. 239–244