Simetría octaédrica

Un octaedro regular posee 24 simetrías rotacionales (o que conservan la orientación) y 48 simetrías en total. Estas incluyen transformaciones que combinan una reflexión y una rotación. Un cubo posee el mismo conjunto de simetrías, ya que es el poliedro dual de un octaedro.

El grupo de simetrías que preservan la orientación es S ₄ , el grupo simétrico o el grupo de permutaciones de cuatro objetos, ya que hay exactamente una de estas simetrías para cada permutación de las cuatro diagonales del cubo.

La simetría octaédrica quiral y completa (o aquiral ) son las simetrías puntuales discretas (o, equivalentemente, simetrías en la esfera ) con los grupos de simetría más grandes compatibles con la simetría traslacional . Se encuentran entre los grupos puntuales cristalográficos del sistema cristalino cúbico .

Como grupo hiperoctaédrico de dimensión 3, el grupo octaédrico completo es el producto de la corona.${\displaystyle \mathrm {S} _{2}\wr \mathrm {S} _{3}\simeq \mathrm {S} _{2}^{3}\rtimes \mathrm {S} _{3}}$y una forma natural de identificar sus elementos es como pares ( m , n ) con${\displaystyle m\in [0,2^{3})}$y${\displaystyle n\in [0,3!)}$Pero como también es el producto directo S ₄ × S ₂ , se pueden identificar simplemente los elementos del subgrupo tetraédrico T _d como${\displaystyle a\in [0,4!)}$y sus inversiones como${\displaystyle a'}$.

Por ejemplo, la identidad (0, 0) se representa como 0 y la inversión (7, 0) como 0′. (3, 1) se representa como 6 y (4, 1) como 6′.

Una rotoreflexión es una combinación de rotación y reflexión.

Simetría octaédrica completa

O _h , *432 , [4,3], o m3m de orden 48 – simetría octaédrica aquiral o simetría octaédrica completa . Este grupo tiene los mismos ejes de rotación que O, pero con planos de simetría, que comprenden tanto los planos de simetría de T _d como de T _h . Este grupo es isomorfo a S ₄ .C ₂ , y es el grupo de simetría completa del cubo y del octaedro . Es el grupo hiperoctaédrico para n = 3 . Véanse también las isometrías del cubo .

Compuesto de cubo y octaedro

Cada cara del dodecaedro de disdyakis es un dominio fundamental.

El grupo octaédrico O _h con dominio fundamental

Con los ejes de simetría cuádruple como ejes de coordenadas, un dominio fundamental de O _h viene dado por 0 ≤ x ≤ y ≤ z . Un objeto con esta simetría se caracteriza por la parte del objeto que se encuentra en el dominio fundamental; por ejemplo, el cubo viene dado por z = 1 , y el octaedro por x + y + z = 1 (o las desigualdades correspondientes, para obtener el sólido en lugar de la superficie). ax + by + cz = 1 da como resultado un poliedro con 48 caras, por ejemplo, el dodecaedro disdiakis.

Las caras son de 8x8 combinadas en caras más grandes para a = b = 0 (cubo) y de 6x6 para a = b = c (octaedro).

Las 9 líneas de simetría de simetría octaédrica completa se pueden dividir en dos subgrupos de 3 y 6 (representados en púrpura y rojo), que representan dos subsimetrías ortogonales: D _2h y T _d . La simetría D _2h se puede duplicar a D _4h restaurando 2 espejos de una de las tres orientaciones.

El cubo tiene 48 isometrías (elementos de simetría), que forman el grupo de simetría O _h , isomorfo a S ₄ × Z ₂ . Se pueden clasificar de la siguiente manera:

• O (la identidad y 23 rotaciones propias) con las siguientes clases de conjugación (entre paréntesis se dan las permutaciones de las diagonales del cuerpo y la representación del cuaternión unitario ):
  • identidad (identidad; 1)
  • rotación alrededor de un eje desde el centro de una cara hasta el centro de la cara opuesta en un ángulo de 90°: 3 ejes, 2 por eje, en total 6 ((1 2 3 4), etc.; ((1 ± i )/ √ 2 , etc.)
  • Ídem por un ángulo de 180°: 3 ejes, 1 por eje, juntos 3 ((1 2) (3 4), etc.; i , j , k )
  • rotación alrededor de un eje desde el centro de una arista hasta el centro de la arista opuesta en un ángulo de 180°: 6 ejes, 1 por eje, en total 6 ((1 2), etc.; (( i ± j )/ √ 2 , etc.)
  • rotación alrededor de un cuerpo diagonal en un ángulo de 120°: 4 ejes, 2 por eje, en total 8 ((1 2 3), etc.; (1 ± i ± j ± k )/2)
• Lo mismo ocurre con la inversión ( x se transforma en −x ) (también 24 isometrías). Nótese que la rotación de 180° alrededor de un eje combinada con la inversión es simplemente una reflexión en el plano perpendicular. La combinación de inversión y rotación de 120° alrededor de la diagonal del cuerpo es una rotación de 60° alrededor de la diagonal del cuerpo, combinada con una reflexión en el plano perpendicular (la rotación en sí misma no transforma el cubo en sí mismo; la intersección del plano de reflexión con el cubo es un hexágono regular ).

Se puede identificar una isometría del cubo de varias maneras:

• por las caras tres caras adyacentes dadas (por ejemplo, 1, 2 y 3 en un dado) se asignan a
• mediante la imagen de un cubo con una marca asimétrica en una de sus caras: la cara con la marca, si es normal o una imagen especular, y la orientación.
• mediante una permutación de las cuatro diagonales del cuerpo (cada una de las 24 permutaciones es posible), combinada con un interruptor para la inversión del cubo, o no

Para cubos con colores o marcas (como los dados ), el grupo de simetría es un subgrupo de O _h .

Ejemplos:

• C _4v , [4], (*422): si una cara tiene un color diferente (o dos caras opuestas tienen colores diferentes entre sí y de las otras cuatro), el cubo tiene 8 isometrías, como un cuadrado en 2D.
• D _2h , [2,2], (*222): si las caras opuestas tienen los mismos colores, diferentes para cada conjunto de dos, el cubo tiene 8 isometrías, como un cuboide .
• D _4h , [4,2], (*422): si dos caras opuestas tienen el mismo color y todas las demás caras tienen un color diferente, el cubo tiene 16 isometrías, como un prisma cuadrado (caja cuadrada).
• C _2v , [2], (*22):
  • Si dos caras adyacentes tienen el mismo color y todas las demás caras tienen un color diferente, el cubo tiene 4 isometrías.
  • Si tres caras, dos de ellas opuestas entre sí, tienen un color y las otras tres otro color, el cubo tiene 4 isometrías.
  • Si dos caras opuestas tienen el mismo color, y otras dos caras opuestas también, y las dos últimas tienen colores diferentes, el cubo tiene 4 isometrías, como una hoja de papel en blanco con una forma que tiene simetría especular.
• C _s , [  ], (*):
  • Si dos caras adyacentes tienen colores diferentes entre sí, y las otras cuatro tienen un tercer color, el cubo tiene 2 isometrías.
  • Si dos caras opuestas tienen el mismo color y todas las demás caras tienen colores diferentes, el cubo tiene 2 isometrías, como una hoja de papel en blanco asimétrica.
• C _3v , [3], (*33): si tres caras, ninguna de las cuales es opuesta entre sí, tienen un color y las otras tres otro color, el cubo tiene 6 isometrías.

Para algunos subgrupos más grandes, no es posible obtener un cubo con ese grupo como grupo de simetría simplemente coloreando todas las caras. Es necesario dibujar algún patrón en las caras.

Ejemplos:

• D _2d , [2 ⁺ ,4], (2*2): si una cara tiene un segmento de línea que la divide en dos rectángulos iguales, y la opuesta tiene lo mismo en dirección perpendicular, el cubo tiene 8 isometrías; hay un plano de simetría y una simetría rotacional doble con un eje en un ángulo de 45° con respecto a ese plano, y, como resultado, también hay otro plano de simetría perpendicular al primero, y otro eje de simetría rotacional doble perpendicular al primero.
• T _h , [3 ⁺ ,4], (3*2): si cada cara tiene un segmento de línea que divide la cara en dos rectángulos iguales, de manera que los segmentos de línea de las caras adyacentes no se encuentran en el borde, el cubo tiene 24 isometrías: las permutaciones pares de las diagonales del cuerpo y las mismas combinadas con la inversión ( x se mapea a − x ).
• T _d , [3,3], (*332): si el cubo consta de ocho cubos más pequeños, cuatro blancos y cuatro negros, colocados alternativamente en las tres direcciones estándar, el cubo tiene de nuevo 24 isometrías: esta vez las permutaciones pares de las diagonales del cuerpo y las inversas de las otras rotaciones propias.
• T, [3,3] ⁺ , (332): si cada cara tiene el mismo patrón con simetría rotacional doble, digamos la letra S, de tal manera que en todos los bordes la parte superior de una S se encuentra con un lado de la otra S, el cubo tiene 12 isometrías: las permutaciones pares de las diagonales del cuerpo.

La simetría completa del cubo, O _h , [4,3], (*432), se conserva si y solo si todas las caras tienen el mismo patrón tal que se conserva la simetría completa del cuadrado , con para el cuadrado un grupo de simetría, Dih ₄ , [4], de orden 8.

La simetría completa del cubo bajo rotaciones propias, O, [4,3] ⁺ , (432), se conserva si y solo si todas las caras tienen el mismo patrón con simetría rotacional cuádruple , Z ₄ , [4] ⁺ .

En la teoría de superficies de Riemann , la superficie de Bolza , a veces llamada curva de Bolza, se obtiene como el recubrimiento doble ramificado de la esfera de Riemann, con el lugar geométrico de ramificación en el conjunto de vértices del octaedro inscrito regular. Su grupo de automorfismos incluye la involución hiperelíptica que invierte las dos hojas del recubrimiento. El cociente por el subgrupo de orden 2 generado por la involución hiperelíptica produce precisamente el grupo de simetrías del octaedro. Entre las muchas propiedades notables de la superficie de Bolza se encuentra el hecho de que maximiza la sístole entre todas las superficies hiperbólicas de género 2.

• Simetría tetraédrica
• Simetría icosaédrica
• Grupo octaédrico binario
• Grupo hiperoctaédrico
• 25 círculos máximos del octaedro esférico
• Materiales de aprendizaje relacionados con el grupo octaédrico completo en Wikiversidad.

• Peter R. Cromwell, Poliedros (1997), pág.  295
• Las simetrías de las cosas 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, ISBN 978-1-56881-220-5
• Caleidoscopios: Escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6Archivado el 11 de julio de 2016 en Wayback Machine.
• NW Johnson : Geometrías y transformaciones , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5Capítulo 11: Grupos de simetría finitos , 11.5 Grupos de Coxeter esféricos

• Weisstein, Eric W. "Grupo octaédrico" . MathWorld .
• Propiedades de grupo: Producto directo de S4 y Z2