Distribución de chi-cuadrado

En teoría de probabilidad y estadística , la distribución chi-cuadrado (también distribución chi-cuadrado o -distribución ) con grados de libertad es la distribución de una suma de los cuadrados de variables aleatorias normales estándar independientes . ${\displaystyle \chi ^{2}}$${\estilo de visualización k}$ ${\estilo de visualización k}$

La distribución chi-cuadrado es un caso especial de la distribución gamma y de la distribución Wishart univariante . En concreto, si entonces (donde es el parámetro de forma y el parámetro de escala de la distribución gamma) y . ${\displaystyle \chi_{k}^{2}}$${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}$${\displaystyle X\sim {\text{Gamma}}(\alfa ={\frac {k}{2}},\theta =2)}$${\estilo de visualización \alpha}$${\estilo de visualización \theta}$${\displaystyle X\sim {\text{W}}_{1}(1,k)}$

La distribución chi-cuadrado escalada es una reparametrización de la distribución gamma y la distribución Wishart univariante . Específicamente, si entonces y . ${\displaystyle s^{2}\chi _{k}^{2}}$${\displaystyle X\sim s^{2}\chi _{k}^{2}}$${\displaystyle X\sim {\text{Gamma}}(\alfa ={\frac {k}{2}},\theta =2s^{2})}$${\displaystyle X\sim {\text{W}}_{1}(s^{2},k)}$

La distribución de chi-cuadrado es una de las distribuciones de probabilidad más utilizadas en estadística inferencial , en particular en pruebas de hipótesis y en la construcción de intervalos de confianza . ^{[2] [3] [4] [5]} Esta distribución a veces se denomina distribución de chi-cuadrado central , un caso especial de la distribución de chi-cuadrado no central más general .

La distribución de chi-cuadrado se utiliza en las pruebas de chi-cuadrado comunes para la bondad de ajuste de una distribución observada a una teórica, la independencia de dos criterios de clasificación de datos cualitativos y para hallar el intervalo de confianza para estimar la desviación estándar de la población de una distribución normal a partir de una desviación estándar de la muestra. Muchas otras pruebas estadísticas también utilizan esta distribución, como el análisis de varianza por rangos de Friedman .

Si Z ₁ , ..., Z _k son variables aleatorias normales estándar independientes , entonces la suma de sus cuadrados,

${\displaystyle Q\ =\suma _{i=1}^{k}Z_{i}^{2},}$

se distribuye según la distribución de chi-cuadrado con k grados de libertad. Esto se suele denotar como

${\displaystyle Q\ \sim \ \chi ^{2}(k)\ \ {\text{o}}\ \ Q\ \sim \ \chi _{k}^{2}.}$

La distribución chi-cuadrado tiene un parámetro: un entero positivo k que especifica el número de grados de libertad (el número de variables aleatorias que se suman, Z _i s).

La distribución chi-cuadrado se utiliza principalmente en pruebas de hipótesis y, en menor medida, para intervalos de confianza de varianzas poblacionales cuando la distribución subyacente es normal. A diferencia de distribuciones más conocidas, como la distribución normal y la distribución exponencial , la distribución chi-cuadrado no se aplica con tanta frecuencia en el modelado directo de fenómenos naturales. Surge, entre otras, en las siguientes pruebas de hipótesis:

• Prueba de independencia de chi-cuadrado en tablas de contingencia
• Prueba de chi-cuadrado de bondad de ajuste de los datos observados a distribuciones hipotéticas
• Prueba de razón de verosimilitud para modelos anidados
• Prueba de rangos logarítmicos en el análisis de supervivencia
• Prueba de Cochran-Mantel-Haenszel para tablas de contingencia estratificadas
• Prueba de Wald
• Prueba de puntuación

También es un componente de la definición de la distribución t y la distribución F utilizadas en pruebas t , análisis de varianza y análisis de regresión.

La razón principal por la que la distribución chi-cuadrado se utiliza ampliamente en las pruebas de hipótesis es su relación con la distribución normal. Muchas pruebas de hipótesis utilizan un estadístico de prueba, como el estadístico t en una prueba t . Para estas pruebas de hipótesis, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, n , la distribución de muestreo del estadístico de prueba se aproxima a la distribución normal ( teorema del límite central ). Debido a que el estadístico de prueba (como t ) se distribuye normalmente de forma asintótica, siempre que el tamaño de la muestra sea lo suficientemente grande, la distribución utilizada para las pruebas de hipótesis puede aproximarse mediante una distribución normal. La prueba de hipótesis utilizando una distribución normal se entiende bien y es relativamente fácil. La distribución chi-cuadrado más simple es el cuadrado de una distribución normal estándar. Por lo tanto, siempre que se pueda utilizar una distribución normal para una prueba de hipótesis, se puede utilizar una distribución chi-cuadrado.

Supongamos que es una variable aleatoria muestreada de la distribución normal estándar, donde la media es y la varianza es : . Ahora, considere la variable aleatoria . La distribución de la variable aleatoria es un ejemplo de una distribución de chi-cuadrado: . El subíndice 1 indica que esta distribución de chi-cuadrado particular se construye a partir de solo 1 distribución normal estándar. Se dice que una distribución de chi-cuadrado construida elevando al cuadrado una única distribución normal estándar tiene 1 grado de libertad. Por lo tanto, a medida que aumenta el tamaño de la muestra para una prueba de hipótesis, la distribución del estadístico de prueba se aproxima a una distribución normal. Así como los valores extremos de la distribución normal tienen baja probabilidad (y dan valores p pequeños), los valores extremos de la distribución de chi-cuadrado tienen baja probabilidad. ${\estilo de visualización Z}$${\estilo de visualización 0}$${\estilo de visualización 1}$${\displaystyle Z\sim N(0,1)}$$Estilo de visualización Q=Z^{2}}$${\estilo de visualización Q}$${\displaystyle \ Q\ \sim \ \chi _{1}^{2}}$

Una razón adicional por la que la distribución chi-cuadrado se usa ampliamente es que aparece como la distribución de muestra grande de las pruebas de razón de verosimilitud generalizadas (LRT). ^[6] Las LRT tienen varias propiedades deseables; en particular, las LRT simples comúnmente proporcionan la mayor potencia para rechazar la hipótesis nula ( lema de Neyman-Pearson ) y esto conduce también a propiedades de optimalidad de las LRT generalizadas. Sin embargo, las aproximaciones normal y chi-cuadrado solo son válidas asintóticamente. Por esta razón, es preferible usar la distribución t en lugar de la aproximación normal o la aproximación chi-cuadrado para un tamaño de muestra pequeño. De manera similar, en los análisis de tablas de contingencia, la aproximación chi-cuadrado será deficiente para un tamaño de muestra pequeño, y es preferible usar la prueba exacta de Fisher . Ramsey muestra que la prueba binomial exacta es siempre más poderosa que la aproximación normal. ^[7]

Lancaster muestra las conexiones entre las distribuciones binomial, normal y chi-cuadrado de la siguiente manera. ^[8] De Moivre y Laplace establecieron que una distribución binomial podía aproximarse mediante una distribución normal. Específicamente, demostraron la normalidad asintótica de la variable aleatoria

${\displaystyle \chi ={m-Np \over {\sqrt {Npq}}}}$

donde es el número observado de éxitos en los ensayos, donde la probabilidad de éxito es , y . ${\displaystyle m}$${\displaystyle N}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q=1-p}$

Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación obtenemos

${\displaystyle \chi ^{2}={(m-Np)^{2} \over Npq}}$

Usando , , y , esta ecuación se puede reescribir como ${\displaystyle N=Np+N(1-p)}$${\displaystyle N=m+(N-m)}$${\displaystyle q=1-p}$

${\displaystyle \chi ^{2}={(m-Np)^{2} \over Np}+{(N-m-Nq)^{2} \over Nq}}$

La expresión de la derecha tiene la forma que Karl Pearson generalizaría a la forma

${\displaystyle \chi ^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {(O_{i}-E_{i})^{2}}{E_{i}}}}$

dónde

${\displaystyle \chi ^{2}}$= estadística de prueba acumulativa de Pearson, que se aproxima asintóticamente a una distribución; = el número de observaciones del tipo ; = la frecuencia esperada (teórica) del tipo , afirmada por la hipótesis nula de que la fracción del tipo en la población es ; y = el número de celdas en la tabla. ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle \chi ^{2}}$${\displaystyle O_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle E_{i}=Np_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle n}$

En el caso de un resultado binomial (lanzar una moneda), la distribución binomial puede aproximarse mediante una distribución normal (para valores suficientemente grandes ). Debido a que el cuadrado de una distribución normal estándar es la distribución chi-cuadrado con un grado de libertad, la probabilidad de un resultado como 1 cara en 10 ensayos se puede aproximar utilizando la distribución normal directamente o la distribución chi-cuadrado para la diferencia normalizada al cuadrado entre el valor observado y el esperado. Sin embargo, muchos problemas involucran más de los dos resultados posibles de una binomial y, en su lugar, requieren 3 o más categorías, lo que conduce a la distribución multinomial. Así como de Moivre y Laplace buscaron y encontraron la aproximación normal a la binomial, Pearson buscó y encontró una aproximación normal multivariada degenerada a la distribución multinomial (los números en cada categoría se suman al tamaño total de la muestra, que se considera fijo). Pearson demostró que la distribución de chi-cuadrado surgió de una aproximación normal multivariada a la distribución multinomial, tomando en cuenta cuidadosamente la dependencia estadística (correlaciones negativas) entre los números de observaciones en diferentes categorías. ^[8]${\displaystyle n}$

La función de densidad de probabilidad (pdf) de la distribución chi-cuadrado es

${\displaystyle f(x;\,k)={\begin{cases}{\dfrac {x^{k/2-1}e^{-x/2}}{2^{k/2}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}},&x>0;\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

donde denota la función gamma , que tiene valores de forma cerrada para el entero . ${\textstyle \Gamma (k/2)}$${\displaystyle k}$

Para las derivaciones de la función de densidad de probabilidad en los casos de uno, dos y grados de libertad, consulte Pruebas relacionadas con la distribución de chi-cuadrado . ${\displaystyle k}$

Su función de distribución acumulativa es:

${\displaystyle F(x;\,k)={\frac {\gamma ({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}})}{\Gamma ({\frac {k}{2}})}}=P\left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right),}$

donde es la función gamma incompleta inferior y es la función gamma regularizada . ${\displaystyle \gamma (s,t)}$${\textstyle P(s,t)}$

En un caso especial esta función tiene la forma simple: ${\displaystyle k=2}$

${\displaystyle F(x;\,2)=1-e^{-x/2}}$

que se puede derivar fácilmente mediante la integración directa. La recurrencia entera de la función gamma facilita el cálculo para otros números pequeños, incluso . ${\displaystyle f(x;\,2)={\frac {1}{2}}e^{-x/2}}$${\displaystyle F(x;\,k)}$${\displaystyle k}$

Las tablas de la función de distribución acumulativa de chi-cuadrado están ampliamente disponibles y la función está incluida en muchas hojas de cálculo y todos los paquetes estadísticos .

Dejando , se pueden obtener los límites de Chernoff en las colas inferior y superior de la CDF. ^[9] Para los casos en los que (que incluyen todos los casos en los que esta CDF es menor que la mitad): ${\displaystyle z\equiv x/k}$${\displaystyle 0<z<1}$${\displaystyle F(zk;\,k)\leq (ze^{1-z})^{k/2}.}$

El límite de cola para los casos en que , de manera similar, es ${\displaystyle z>1}$

${\displaystyle 1-F(zk;\,k)\leq (ze^{1-z})^{k/2}.}$

Para otra aproximación de la CDF modelada a partir del cubo de una gaussiana, consulte Distribución chi-cuadrado no central .

El siguiente es un caso especial del teorema de Cochran.

Teorema. Si son variables aleatorias normales estándar independientes distribuidas de manera idéntica (iid) , entonces donde${\displaystyle Z_{1},...,Z_{n}}$${\displaystyle \sum _{t=1}^{n}(Z_{t}-{\bar {Z}})^{2}\sim \chi _{n-1}^{2}}$${\displaystyle {\bar {Z}}={\frac {1}{n}}\sum _{t=1}^{n}Z_{t}.}$

De la definición de la distribución chi-cuadrado se desprende que la suma de las variables chi-cuadrado independientes también se distribuye chi-cuadrado. En concreto, si son variables chi-cuadrado independientes con , grados de libertad, respectivamente, entonces chi-cuadrado se distribuye con grados de libertad. ${\displaystyle X_{i},i={\overline {1,n}}}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle i={\overline {1,n}}}$${\displaystyle Y=X_{1}+\cdots +X_{n}}$${\displaystyle k_{1}+\cdots +k_{n}}$

La media muestral de las variables chi-cuadrado iid de grado se distribuye según una distribución gamma con parámetros de forma y escala : ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {Gamma} \left(\alpha =n\,k/2,\theta =2/n\right)\qquad {\text{where }}X_{i}\sim \chi ^{2}(k)}$

Asintóticamente, dado que para un parámetro de forma que tiende al infinito, una distribución Gamma converge hacia una distribución normal con expectativa y varianza , la media de la muestra converge hacia: ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mu =\alpha \cdot \theta }$${\displaystyle \sigma ^{2}=\alpha \,\theta ^{2}}$

${\displaystyle {\overline {X}}\xrightarrow {n\to \infty } N(\mu =k,\sigma ^{2}=2\,k/n)}$

Obsérvese que habríamos obtenido el mismo resultado invocando en cambio el teorema del límite central , observando que para cada variable chi-cuadrado de grado la expectativa es , y su varianza (y por lo tanto la varianza de la media de la muestra es ). ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 2\,k}$${\displaystyle {\overline {X}}}$${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {2k}{n}}}$

La entropía diferencial está dada por

${\displaystyle h=\int _{0}^{\infty }f(x;\,k)\ln f(x;\,k)\,dx={\frac {k}{2}}+\ln \left[2\,\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)\right]+\left(1-{\frac {k}{2}}\right)\,\psi \!\left({\frac {k}{2}}\right),}$

¿Dónde está la función Digamma ? ${\displaystyle \psi (x)}$

La distribución de chi-cuadrado es la distribución de probabilidad de máxima entropía para una variable aleatoria para la cual y son fijos. Dado que la distribución de chi-cuadrado pertenece a la familia de distribuciones gamma, se puede derivar sustituyendo los valores apropiados en la Esperanza del momento logarítmico de gamma . Para obtener información a partir de principios más básicos, consulte la derivación en función generadora de momentos de la estadística suficiente . ${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {E} (X)=k}$${\displaystyle \operatorname {E} (\ln(X))=\psi (k/2)+\ln(2)}$

Los momentos no centrales (momentos brutos) de una distribución chi-cuadrado con grados de libertad se dan por ^{[10] [11]}${\displaystyle k}$

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{m})=k(k+2)(k+4)\cdots (k+2m-2)=2^{m}{\frac {\Gamma \left(m+{\frac {k}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}.}$

Los cumulantes se obtienen fácilmente mediante una expansión en serie de potencias del logaritmo de la función característica:

${\displaystyle \kappa _{n}=2^{n-1}(n-1)!\,k}$

La distribución de chi-cuadrado muestra una fuerte concentración alrededor de su media. Los límites estándar de Laurent-Massart ^{[12] son:}

${\displaystyle \operatorname {P} (X-k\geq 2{\sqrt {kx}}+2x)\leq \exp(-x)}$

${\displaystyle \operatorname {P} (k-X\geq 2{\sqrt {kx}})\leq \exp(-x)}$

Una consecuencia es que, si es un vector aleatorio gaussiano en , entonces, a medida que la dimensión crece, la longitud al cuadrado del vector se concentra estrechamente alrededor de un ancho : donde el exponente puede elegirse como cualquier valor en . ${\displaystyle v\sim N(0,1)^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n^{1/2+\alpha }}$$${\displaystyle Pr(\|v\|^{2}\in [n-2n^{1/2+\alpha },n+2n^{1/2+\alpha }+2n^{\alpha }])\geq 1-e^{-n^{\alpha }}}$$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (0,1/2)}$

Por el teorema del límite central , debido a que la distribución chi-cuadrado es la suma de variables aleatorias independientes con media y varianza finitas, converge a una distribución normal para valores grandes de . Para muchos propósitos prácticos, para la distribución es suficientemente cercana a una distribución normal , por lo que la diferencia es ignorable. ^[13] Específicamente, si , entonces como tiende a infinito, la distribución de tiende a una distribución normal estándar. Sin embargo, la convergencia es lenta ya que la asimetría es y el exceso de curtosis es . ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k>50}$${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(k)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle (X-k)/{\sqrt {2k}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {8/k}}}$${\displaystyle 12/k}$

La distribución de muestreo de converge a la normalidad mucho más rápido que la distribución de muestreo de , ^[14] ya que la transformación logarítmica elimina gran parte de la asimetría. ^[15]${\displaystyle \ln(\chi ^{2})}$${\displaystyle \chi ^{2}}$

Otras funciones de la distribución chi-cuadrado convergen más rápidamente a una distribución normal. Algunos ejemplos son:

• Si entonces se distribuye aproximadamente normalmente con media y varianza unitaria (1922, por RA Fisher , ver (18.23), p. 426 de Johnson. ^[4]${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(k)}$${\displaystyle {\sqrt {2X}}}$${\displaystyle {\sqrt {2k-1}}}$
• Si entonces se distribuye aproximadamente normalmente con media y varianza ^[16] Esto se conoce como la transformación de Wilson-Hilferty , véase (18.24), p. 426 de Johnson. ^[4]${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(k)}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{X/k}}}$${\displaystyle 1-{\frac {2}{9k}}}$${\displaystyle {\frac {2}{9k}}.}$
  • Esta transformación normalizadora conduce directamente a la aproximación mediana comúnmente utilizada mediante la retrotransformación a partir de la media, que también es la mediana de la distribución normal.${\displaystyle k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}\;}$

• Como , ( distribución normal )${\displaystyle k\to \infty }$${\displaystyle (\chi _{k}^{2}-k)/{\sqrt {2k}}~{\xrightarrow {d}}\ N(0,1)\,}$
• ${\displaystyle \chi _{k}^{2}\sim {\chi '}_{k}^{2}(0)}$( distribución de chi-cuadrado no central con parámetro de no centralidad )${\displaystyle \lambda =0}$
• Si entonces tiene la distribución chi-cuadrado${\displaystyle Y\sim \mathrm {F} (\nu _{1},\nu _{2})}$${\displaystyle X=\lim _{\nu _{2}\to \infty }\nu _{1}Y}$${\displaystyle \chi _{\nu _{1}}^{2}}$

• Como caso especial, si entonces tiene la distribución chi-cuadrado${\displaystyle Y\sim \mathrm {F} (1,\nu _{2})\,}$${\displaystyle X=\lim _{\nu _{2}\to \infty }Y\,}$${\displaystyle \chi _{1}^{2}}$

• ${\displaystyle \|{\boldsymbol {N}}_{i=1,\ldots ,k}(0,1)\|^{2}\sim \chi _{k}^{2}}$(La norma al cuadrado de k variables distribuidas normalmente estándar es una distribución de chi-cuadrado con k grados de libertad )
• Si y , entonces . ( distribución gamma )${\displaystyle X\sim \chi _{\nu }^{2}\,}$${\displaystyle c>0\,}$${\displaystyle cX\sim \Gamma (k=\nu /2,\theta =2c)\,}$
• Si entonces ( distribución chi )${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}$${\displaystyle {\sqrt {X}}\sim \chi _{k}}$
• Si , entonces es una distribución exponencial . (Ver distribución gamma para más información).${\displaystyle X\sim \chi _{2}^{2}}$${\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} (1/2)}$
• Si , entonces es una distribución Erlang .${\displaystyle X\sim \chi _{2k}^{2}}$${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,1/2)}$
• Si , entonces${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )}$${\displaystyle 2\lambda X\sim \chi _{2k}^{2}}$
• Si ( distribución de Rayleigh ) entonces${\displaystyle X\sim \operatorname {Rayleigh} (1)\,}$${\displaystyle X^{2}\sim \chi _{2}^{2}\,}$
• Si ( distribución de Maxwell ) entonces${\displaystyle X\sim \operatorname {Maxwell} (1)\,}$${\displaystyle X^{2}\sim \chi _{3}^{2}\,}$
• Si entonces ( Distribución chi-cuadrado inversa )${\displaystyle X\sim \chi _{\nu }^{2}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Inv-} \chi _{\nu }^{2}\,}$
• La distribución chi-cuadrado es un caso especial de distribución de Pearson tipo III
• Si y son independientes entonces ( distribución beta )${\displaystyle X\sim \chi _{\nu _{1}}^{2}\,}$${\displaystyle Y\sim \chi _{\nu _{2}}^{2}\,}$${\displaystyle {\tfrac {X}{X+Y}}\sim \operatorname {Beta} ({\tfrac {\nu _{1}}{2}},{\tfrac {\nu _{2}}{2}})\,}$
• Si ( distribución uniforme ) entonces${\displaystyle X\sim \operatorname {U} (0,1)\,}$${\displaystyle -2\log(X)\sim \chi _{2}^{2}\,}$
• Si entonces${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Laplace} (\mu ,\beta )\,}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {2|X_{i}-\mu |}{\beta }}\sim \chi _{2n}^{2}\,}$
• Si sigue la distribución normal generalizada (versión 1) con parámetros entonces ^[17]${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \mu ,\alpha ,\beta }$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {2|X_{i}-\mu |^{\beta }}{\alpha }}\sim \chi _{2n/\beta }^{2}\,}$
• La distribución chi-cuadrado es una transformación de la distribución de Pareto
• La distribución t de Student es una transformación de la distribución chi-cuadrado
• La distribución t de Student se puede obtener a partir de la distribución chi-cuadrado y la distribución normal.
• La distribución beta no central se puede obtener como una transformación de la distribución chi-cuadrado y la distribución chi-cuadrado no central
• La distribución t no central se puede obtener a partir de la distribución normal y la distribución chi-cuadrado.

Una variable chi-cuadrado con grados de libertad se define como la suma de los cuadrados de variables aleatorias normales estándar independientes . ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

Si es un vector aleatorio gaussiano -dimensional con vector de media y matriz de covarianza de rangos , entonces se distribuye mediante chi-cuadrado con grados de libertad. ${\displaystyle Y}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle k}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X=(Y-\mu )^{T}C^{-1}(Y-\mu )}$${\displaystyle k}$

La suma de los cuadrados de las variables gaussianas de varianza unitaria estadísticamente independientes que no tienen media cero produce una generalización de la distribución de chi-cuadrado denominada distribución de chi-cuadrado no central .

Si es un vector de variables aleatorias normales estándar iid y es una matriz simétrica e idempotente con rango , entonces la forma cuadrática tiene una distribución de chi-cuadrado con grados de libertad. ${\displaystyle Y}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle k-n}$ ${\displaystyle Y^{T}AY}$${\displaystyle k-n}$

Si es una matriz de covarianza positiva-semidefinida con entradas diagonales estrictamente positivas, entonces para y un vector aleatorio independiente de tal que y entonces ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle p\times p}$${\displaystyle X\sim N(0,\Sigma )}$${\displaystyle w}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle w_{1}+\cdots +w_{p}=1}$${\displaystyle w_{i}\geq 0,i=1,\ldots ,p,}$

${\displaystyle {\frac {1}{\left({\frac {w_{1}}{X_{1}}},\ldots ,{\frac {w_{p}}{X_{p}}}\right)\Sigma \left({\frac {w_{1}}{X_{1}}},\ldots ,{\frac {w_{p}}{X_{p}}}\right)^{\top }}}\sim \chi _{1}^{2}.}$^[15]

La distribución chi-cuadrado también está relacionada naturalmente con otras distribuciones derivadas de la gaussiana. En particular,

• ${\displaystyle Y}$tiene una distribución F , si , donde y son estadísticamente independientes.${\displaystyle Y\sim F(k_{1},k_{2})}$${\displaystyle Y={\frac {{X_{1}}/{k_{1}}}{{X_{2}}/{k_{2}}}}}$${\displaystyle X_{1}\sim \chi _{k_{1}}^{2}}$${\displaystyle X_{2}\sim \chi _{k_{2}}^{2}}$
• Si y son estadísticamente independientes, entonces . Si y no son independientes, entonces no se distribuye según el método de chi-cuadrado.${\displaystyle X_{1}\sim \chi _{k_{1}}^{2}}$${\displaystyle X_{2}\sim \chi _{k_{2}}^{2}}$${\displaystyle X_{1}+X_{2}\sim \chi _{k_{1}+k_{2}}^{2}}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle X_{1}+X_{2}}$

La distribución de chi-cuadrado se obtiene como la suma de los cuadrados de k variables aleatorias gaussianas independientes, de media cero y varianza unitaria. Se pueden obtener generalizaciones de esta distribución sumando los cuadrados de otros tipos de variables aleatorias gaussianas. A continuación se describen varias de estas distribuciones.

Si son variables aleatorias de chi-cuadrado y , entonces la distribución de es un caso especial de una distribución de chi-cuadrado generalizada . No se conoce una expresión cerrada para esta distribución. Sin embargo, se puede aproximar de manera eficiente utilizando la propiedad de las funciones características de las variables aleatorias de chi-cuadrado. ^[18]${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {R} _{>0}}$${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}}$

La distribución chi-cuadrado no central se obtiene de la suma de los cuadrados de variables aleatorias gaussianas independientes que tienen varianza unitaria y medias distintas de cero .

La distribución chi-cuadrado generalizada se obtiene a partir de la forma cuadrática z'Az, donde z es un vector gaussiano de media cero que tiene una matriz de covarianza arbitraria y A es una matriz arbitraria.

La distribución chi-cuadrado es un caso especial de la distribución gamma , ya que utiliza la parametrización de velocidad de la distribución gamma (o utiliza la parametrización de escala de la distribución gamma) donde k es un número entero. ${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}$${\displaystyle X\sim \Gamma \left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}$${\displaystyle X\sim \Gamma \left({\frac {k}{2}},2\right)}$

Como la distribución exponencial también es un caso especial de la distribución gamma, también tenemos que si , entonces es una distribución exponencial . ${\displaystyle X\sim \chi _{2}^{2}}$${\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} \left({\frac {1}{2}}\right)}$

La distribución de Erlang también es un caso especial de la distribución gamma y por lo tanto también tenemos que si con par , entonces Erlang se distribuye con parámetro de forma y parámetro de escala . ${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k/2}$${\displaystyle 1/2}$

La distribución chi-cuadrado tiene numerosas aplicaciones en la estadística inferencial , por ejemplo, en las pruebas chi-cuadrado y en la estimación de varianzas . Entra en el problema de la estimación de la media de una población distribuida normalmente y en el problema de la estimación de la pendiente de una línea de regresión a través de su papel en la distribución t de Student . Entra en todos los problemas de análisis de varianza a través de su papel en la distribución F , que es la distribución de la razón de dos variables aleatorias chi-cuadrado independientes , cada una dividida por sus respectivos grados de libertad.

A continuación se presentan algunas de las situaciones más comunes en las que la distribución de chi-cuadrado surge de una muestra distribuida gaussiana.

• Si son variables aleatorias iid , entonces donde .${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$ ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X_{i}}})^{2}\sim \sigma ^{2}\chi _{n-1}^{2}}$${\displaystyle {\overline {X_{i}}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$
• El cuadro siguiente muestra algunas estadísticas basadas en variables aleatorias independientes que tienen distribuciones de probabilidad relacionadas con la distribución de chi-cuadrado:${\displaystyle X_{i}\sim N(\mu _{i},\sigma _{i}^{2}),i=1,\ldots ,k}$

La distribución de chi-cuadrado también se encuentra a menudo en la resonancia magnética . ^[19]

El valor - es la probabilidad de observar un estadístico de prueba al menos tan extremo en una distribución de chi-cuadrado. En consecuencia, dado que la función de distribución acumulativa (CDF) para los grados de libertad (gl) apropiados da la probabilidad de haber obtenido un valor menos extremo que este punto, restando el valor de CDF de 1 se obtiene el valor p . Un valor p bajo , por debajo del nivel de significación elegido, indica significación estadística , es decir, evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula. Un nivel de significación de 0,05 se utiliza a menudo como el punto de corte entre resultados significativos y no significativos. ${\textstyle p}$

La siguiente tabla proporciona una serie de valores p que coinciden con los primeros 10 grados de libertad. ${\displaystyle \chi ^{2}}$

Estos valores se pueden calcular evaluando la función cuantil (también conocida como "CDF inversa" o "ICDF") de la distribución chi-cuadrado; ^[21] por ejemplo, la ICDF de χ ^{2 para} p = 0,05 y df = 7 produce 2,1673 ≈ 2,17 como en la tabla anterior, teniendo en cuenta que 1 – p es el valor p de la tabla.

Esta distribución fue descrita por primera vez por el geodesista y estadístico alemán Friedrich Robert Helmert en artículos de 1875-6, ^{[22] [23]} donde calculó la distribución de muestreo de la varianza de la muestra de una población normal. Por ello, en alemán se la conocía tradicionalmente como distribución de Helmert ("Helmertiana") o "distribución de Helmert".

La distribución fue redescubierta independientemente por el matemático inglés Karl Pearson en el contexto de bondad de ajuste , para lo cual desarrolló su prueba de chi-cuadrado de Pearson , publicada en 1900, con una tabla calculada de valores publicada en (Elderton 1902), recopilada en (Pearson 1914, pp. xxxi–xxxiii, 26–28, Tabla XII). El nombre "chi-cuadrado" deriva en última instancia de la abreviatura de Pearson para el exponente en una distribución normal multivariante con la letra griega Chi , escribiendo −½χ ² para lo que aparecería en la notación moderna como −½ x ^T Σ ⁻¹ x (siendo Σ la matriz de covarianza ). ^[24] Sin embargo, la idea de una familia de "distribuciones de chi-cuadrado" no se debe a Pearson, sino que surgió como un desarrollo posterior debido a Fisher en la década de 1920. ^[22]

• Los primeros usos de algunas palabras de las matemáticas: la entrada sobre Chi cuadrado tiene una breve historia
• Notas del curso sobre pruebas de bondad de ajuste de Chi-cuadrado de la clase de Estadística 101 de la Universidad de Yale.
• Demostración de Mathematica que muestra la distribución de muestreo de chi-cuadrado de varias estadísticas, por ejemplo, Σx², para una población normal
• Algoritmo simple para aproximar la función de distribución de probabilidad y la función de distribución de probabilidad inversa para la distribución de chi-cuadrado con una calculadora de bolsillo
• Valores de la distribución Chi-cuadrado