Prueba de Friedman

La prueba de Friedman es una prueba estadística no paramétrica desarrollada por Milton Friedman . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Similar al ANOVA paramétrico de medidas repetidas , se utiliza para detectar diferencias en los tratamientos a lo largo de múltiples intentos de prueba. El procedimiento consiste en clasificar cada fila (o bloque ) en conjunto y luego considerar los valores de las clasificaciones por columnas. Aplicable a diseños de bloques completos , es, por lo tanto, un caso especial de la prueba de Durbin .

Ejemplos clásicos de uso son:

• ${\textstyle n}$Los jueces de vino califican cada uno${\textstyle k}$vinos diferentes. ¿Hay alguno de los${\textstyle k}$¿Qué vinos obtuvieron una clasificación consistentemente más alta o más baja que los demás?
• ${\textstyle n}$cada soldador utiliza${\textstyle k}$Las antorchas de soldadura y las soldaduras resultantes se calificaron según su calidad. ¿Alguna de las${\textstyle k}$¿Las antorchas producen soldaduras de forma consistentemente mejor o peor?

La prueba de Friedman se utiliza para el análisis de varianza unidireccional de medidas repetidas por rangos. En su uso de rangos, es similar al análisis de varianza unidireccional por rangos de Kruskal-Wallis.

La prueba de Friedman cuenta con el amplio respaldo de numerosos paquetes de software estadístico .

1. Datos proporcionados${\displaystyle \{x_{ij}\}_{n\times k}}$, es decir, una matriz con${\displaystyle n}$filas (los bloques ),${\displaystyle k}$Columnas (los tratamientos ) y una sola observación en la intersección de cada bloque y tratamiento, calcule los rangos dentro de cada bloque. Si hay valores empatados, asigne a cada valor empatado el promedio de los rangos que se habrían asignado sin empates. Reemplace los datos con una nueva matriz.${\displaystyle \{r_{ij}\}_{n\times k}}$donde la entrada${\displaystyle r_{ij}}$es el rango de${\displaystyle x_{ij}}$dentro de la manzana${\displaystyle i}$.
2. Encuentra los valores${\displaystyle {\bar {r}}_{\cdot j}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{r_{ij}}}$
3. El estadístico de prueba viene dado por${\displaystyle Q={\frac {12n}{k(k+1)}}\sum _{j=1}^{k}\left({\bar {r}}_{\cdot j}-{\frac {k+1}{2}}\right)^{2}}$. Tenga en cuenta que el valor de${\textstyle Q}$Es necesario ajustarlo para los valores empatados en los datos. ^{[ 4 ]}
4. Finalmente, cuando${\textstyle n}$o${\textstyle k}$es grande (es decir,${\textstyle n>15}$o${\textstyle k>4}$), la distribución de probabilidad de${\textstyle Q}$puede aproximarse mediante la de una distribución chi-cuadrado . En este caso, el valor p viene dado por${\displaystyle \mathbf {P} (\chi _ {k-1}^{2}\geq Q)}$. Si${\textstyle n}$o${\textstyle k}$es pequeño, la aproximación a chi-cuadrado se vuelve deficiente y el valor p debe obtenerse de tablas de${\textstyle Q}$Preparado especialmente para la prueba de Friedman. Si el valor p es significativo , se realizarán las pruebas de comparaciones múltiples post-hoc correspondientes .

• Cuando se utiliza este tipo de diseño para una respuesta binaria, se emplea la prueba Q de Cochran .
• La prueba de signos (con una alternativa bilateral) es equivalente a una prueba de Friedman en dos grupos.
• La W de Kendall es una normalización de la estadística de Friedman entre${\textstyle 0}$y${\textstyle 1}$.
• La prueba de rangos con signo de Wilcoxon es una prueba no paramétrica para datos no independientes de solo dos grupos.
• La prueba de Skillings-Mack es una estadística general de tipo Friedman que se puede utilizar en casi cualquier diseño de bloques con una estructura de datos faltantes arbitraria.
• La prueba de Wittkowski es una estadística general de tipo Friedman similar a la prueba de Skillings-Mack. Cuando los datos no contienen valores faltantes, arroja el mismo resultado que la prueba de Friedman. Sin embargo, si los datos contienen valores faltantes, es más precisa y sensible que la prueba de Skillings-Mack. ^{[ 5 ]}

Las pruebas post-hoc fueron propuestas por Schaich y Hamerle (1984) ^{[ 6 ]} así como por Conover (1971, 1980) ^{[ 7 ]} para decidir qué grupos son significativamente diferentes entre sí, basándose en las diferencias de rango medio de los grupos. Estos procedimientos se detallan en Bortz, Lienert y Boehnke (2000, p.  275). ^{[ 8 ]} Eisinga, Heskes, Pelzer y Te Grotenhuis (2017) ^{[ 9 ]} proporcionan una prueba exacta para la comparación por pares de sumas de rangos de Friedman, implementada en R . La prueba exacta de Eisinga cs ofrece una mejora sustancial sobre las pruebas aproximadas disponibles, especialmente si el número de grupos (${\displaystyle k}$) es grande y el número de bloques (${\displaystyle n}$) es pequeño.

No todos los paquetes estadísticos admiten análisis post hoc para la prueba de Friedman, pero existe código aportado por usuarios que proporciona estas funcionalidades (por ejemplo, en SPSS , ^{[ 10 ]} y en R , ^{[ 11 ]} ). El paquete de R titulado PMCMRplus contiene numerosos métodos no paramétricos para análisis post hoc después de Friedman, ^{[ 12 ]} incluyendo soporte para la prueba de Nemenyi .

• Daniel, Wayne W. (1990). «Análisis de varianza bidireccional de Friedman por rangos» . Estadística no paramétrica aplicada (2.ª  ed.). Boston: PWS-Kent. págs. 262-274 . ISBN  978-0-534-91976-4.
• Kendall, MG (1970). Métodos de correlación de rangos (4.ª  ed.). Londres: Charles Griffin. ISBN 978-0-85264-199-6.
• Hollander, M.; Wolfe, DA (1973). Estadística no paramétrica . Nueva York: J. Wiley. ISBN 978-0-471-40635-8.
• Siegel, Sidney ; Castellán, N. John Jr. (1988). Estadística no paramétrica para las ciencias del comportamiento (2ª  ed.). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-100326-1.