Prueba binomial

La prueba binomial es una prueba exacta de la significación estadística de las desviaciones de una distribución teóricamente esperada de las observaciones en dos categorías, utilizando datos de muestra.

Una prueba binomial es una prueba de hipótesis estadística que se utiliza para determinar si la proporción de éxitos en una muestra difiere de una proporción esperada en una distribución binomial. Es útil para situaciones en las que hay dos resultados posibles (por ejemplo, éxito/fracaso, sí/no, cara/cruz), es decir, donde los experimentos repetidos producen datos binarios . Si se asume una probabilidad subyacente${\displaystyle \pi _{0}}$entre 0 y 1, la hipótesis nula es

${\displaystyle H_{0}\dos puntos \pi =\pi _{0}}$

Para una muestra de tamaño${\displaystyle n}$, esperaríamos${\displaystyle n\pi _{0}}$éxitos. La fórmula de la distribución binomial da la probabilidad de esos${\displaystyle n}$muestras en lugar de producir${\displaystyle k}$éxitos:

${\displaystyle \Pr(X=k)={\binom {n}{k}}\pi _{0}^{k}(1-\pi _{0})^{nk}}$

Supongamos que queremos probar la hipótesis alternativa.

${\displaystyle H_{A}\colon \pi <\pi _{0}}$

es decir, sospechamos que la probabilidad real de éxito es menor que${\displaystyle \pi _{0}}$. Entonces el${\displaystyle p}$El valor de nuestro experimento se calcularía utilizando una prueba unilateral; específicamente, calculamos la probabilidad de ver un resultado tan extremo como, o más extremo (es decir, menos probable) que${\displaystyle k}$(dónde${\displaystyle k}$se define como el número de éxitos en el${\displaystyle n}$ensayos de nuestro experimento):

${\displaystyle p=\sum _{i=0}^{k}\Pr(X=i)=\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}\pi _{0}^{i}(1-\pi _{0})^{ni}}$

Se puede realizar un cálculo análogo si estamos probando si${\displaystyle \pi >\pi _{0}}$utilizando la suma del rango de${\displaystyle k}$a${\displaystyle n}$en cambio.

Calcular un${\displaystyle p}$El valor - para una prueba de dos colas es un poco más complicado, ya que una distribución binomial no es simétrica si${\displaystyle \pi _{0}\neq 0.5}$Esto significa que no podemos simplemente duplicar la${\displaystyle p}$valor de la prueba unilateral. Recordemos que queremos considerar eventos que sean tan extremos, o más extremos, que el que hemos visto, por lo que debemos considerar la probabilidad de que veamos un evento que sea tan, o menos, probable que${\displaystyle X=k}$. Dejar${\displaystyle {\mathcal {I}}=\{i\colon \Pr(X=i)\leq \Pr(X=k)\}}$denotan todos esos eventos. Entonces la prueba de dos colas${\displaystyle p}$El valor -se calcula como,

${\displaystyle p=\sum _{i\in {\mathcal {I}}}\Pr(X=i)=\sum _{i\in {\mathcal {I}}}{\binom {n}{i}}\pi _{0}^{i}(1-\pi _{0})^{ni}}$

Un uso común de la prueba binomial es el caso en el que la hipótesis nula plantea que dos categorías ocurren con igual frecuencia (${\displaystyle H_{0}\colon \pi =0.5}$), como lanzar una moneda. Existen numerosas tablas que muestran la significancia de los números observados de observaciones en las categorías para este caso. Sin embargo, como muestra el ejemplo a continuación, la prueba binomial no se limita a este caso.

Cuando hay más de dos categorías y se requiere una prueba exacta, se debe utilizar la prueba multinomial , basada en la distribución multinomial , en lugar de la prueba binomial. ^{[ 1 ]}

Las medidas más comunes del tamaño del efecto para las pruebas binomiales son la h de Cohen o la g de Cohen .

Para muestras grandes como la del ejemplo siguiente, la distribución binomial se aproxima bien mediante distribuciones continuas convenientes , que sirven de base para pruebas alternativas mucho más rápidas de calcular, como la prueba chi-cuadrado de Pearson y la prueba G. Sin embargo, para muestras pequeñas, estas aproximaciones fallan y no existe alternativa a la prueba binomial.

La aproximación más habitual (y más sencilla) es a través de la distribución normal estándar , en la que se realiza una prueba z del estadístico de prueba.${\displaystyle Z}$, dado por

${\displaystyle Z={\frac {kn\pi }{\sqrt {n\pi (1-\pi )}}}}$

dónde${\displaystyle k}$es el número de éxitos observados en una muestra de tamaño${\displaystyle n}$y${\displaystyle \pi }$es la probabilidad de éxito según la hipótesis nula. Es posible mejorar esta aproximación introduciendo una corrección de continuidad :

${\displaystyle Z={\frac {kn\pi \pm {\frac {1}{2}}}{\sqrt {n\pi (1-\pi )}}}}$

Para muy grandes${\displaystyle n}$Esta corrección de continuidad no será importante, pero para valores intermedios, donde la prueba binomial exacta no funciona, dará como resultado un resultado sustancialmente más preciso.

En notación en términos de una proporción de muestra medida${\displaystyle {\hat {p}}}$, hipótesis nula para la proporción${\displaystyle p_{0}}$y tamaño de la muestra${\displaystyle n}$, dónde${\displaystyle {\sombrero {p}}=k/n}$y${\displaystyle p_{0}=\pi }$, se puede reorganizar y escribir la prueba z anterior como

${\displaystyle Z={\frac {{\hat {p}}-p_{0}}{\sqrt {\frac {p_{0}(1-p_{0})}{n}}}}}$

dividiendo por${\displaystyle n}$tanto en el numerador como en el denominador, una forma que puede resultar más familiar para algunos lectores.

Supongamos que tenemos un juego de mesa que depende del lanzamiento de un dado y le da especial importancia a sacar un 6. En un juego en particular, el dado se lanza 235 veces y sale un 6 51 veces. Si el dado es justo, esperaríamos que saliera un 6.

${\displaystyle 235\times 1/6=39.17}$

veces. Ahora hemos observado que la cantidad de 6 es mayor de lo que esperaríamos en promedio por pura casualidad si el dado fuera justo. Pero, ¿es la cantidad significativamente alta como para concluir algo sobre la imparcialidad del dado? Esta pregunta se puede responder con la prueba binomial. Nuestra hipótesis nula sería que el dado es justo (la probabilidad de que salga cada número es 1/6).

Para encontrar una respuesta a esta pregunta utilizando la prueba binomial, utilizamos la distribución binomial.

${\displaystyle B(N=235,p=1/6)}$ con pmf${\displaystyle f(k,n,p)=\Pr(k;n,p)=\Pr(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$.

Como hemos observado un valor mayor que el esperado, podríamos considerar la probabilidad de observar 51 6 o más bajo la hipótesis nula, lo que constituiría una prueba unilateral (aquí básicamente estamos probando si este dado está sesgado hacia la generación de más 6 de lo esperado). Para calcular la probabilidad de 51 o más 6 en una muestra de 235 bajo la hipótesis nula, sumamos las probabilidades de obtener exactamente 51 6, exactamente 52 6, y así sucesivamente hasta la probabilidad de obtener exactamente 235 6:

${\displaystyle \sum _{i=51}^{235}{235 \choose i}p^{i}(1-p)^{235-i}=0.02654}$

Si tenemos un nivel de significancia del 5%, entonces este resultado (0,02654 < 5%) indica que tenemos evidencia suficientemente significativa como para rechazar la hipótesis nula de que el dado es justo.

Normalmente, cuando probamos la imparcialidad de un dado, también nos interesa si el dado está sesgado hacia la generación de menos 6s de lo esperado, y no solo más 6s como consideramos en la prueba unilateral anterior. Para considerar ambos sesgos, utilizamos una prueba bilateral . Tenga en cuenta que para ello no podemos simplemente duplicar el valor p unilateral a menos que la probabilidad del evento sea 1/2. Esto se debe a que la distribución binomial se vuelve asimétrica cuando esa probabilidad se desvía de 1/2. Hay dos métodos para definir el valor p bilateral. Un método es sumar la probabilidad de que la desviación total en el número de eventos en cualquier dirección con respecto al valor esperado sea mayor o menor que el valor esperado. La probabilidad de que esto ocurra en nuestro ejemplo es 0,0437. El segundo método implica calcular la probabilidad de que la desviación con respecto al valor esperado sea tan improbable o más improbable que el valor observado, es decir, a partir de una comparación de las funciones de densidad de probabilidad. Esto puede generar una diferencia sutil, pero en este ejemplo arroja la misma probabilidad de 0,0437. En ambos casos, la prueba bilateral revela significancia al nivel del 5%, lo que indica que la cantidad de 6s observada para este dado fue significativamente diferente a la cantidad esperada al nivel del 5%.

Las pruebas binomiales están disponibles en la mayoría de los programas informáticos utilizados con fines estadísticos. Por ejemplo:

• En R, el ejemplo anterior podría calcularse con el siguiente código:
  • binom.test(51,235,1/6,alternative="less")(prueba unilateral)
  • binom.test(51,235,1/6,alternative="greater")(prueba unilateral)
  • binom.test(51,235,1/6,alternative="two.sided")(prueba bilateral)

• En Java utilizando la biblioteca Apache Commons :
  • newBinomialTest().binomialTest(235,51,1.0/6,AlternativeHypothesis.LESS_THAN)(prueba unilateral)
  • newBinomialTest().binomialTest(235,51,1.0/6,AlternativeHypothesis.GREATER_THAN)(prueba unilateral)
  • newBinomialTest().binomialTest(235,51,1.0/6,AlternativeHypothesis.TWO_SIDED)(prueba bilateral)

• En SAS, la prueba está disponible en el procedimiento de frecuencia.

  PROC FREQ DATA=DiceRoll; TABLAS Roll / BINOMIAL (P= 0,166667 ) ALPHA= 0,05 ; BINOMIO EXACTO; PESO Frec .; CORRER;

• En SPSS, la prueba se puede utilizar a través del menú Analizar > Prueba no paramétrica > Binomial.

  pruebas npar /binomial (.5) = nodo1 nodo2. 

• En Python , utilice binomtest de SciPy :
  • scipy.stats.binomtest(51,235,1.0/6,alternative="greater")(prueba unilateral)
  • scipy.stats.binomtest(51,235,1.0/6,alternative="two-sided")(prueba bilateral)
• En MATLAB , utilice myBinomTest , disponible en el sitio web File Exchange de la comunidad de Mathworks . myBinomTest calculará directamente el valor p para las observaciones dada la probabilidad hipotética de éxito (generalmente bilateral, pero opcionalmente puede realizar una prueba unilateral).[pout]=myBinomTest(51,235,1/6)
• En Stata , utilice bitest.
• En Microsoft Excel , utilice la función Binom.Dist. Esta función admite parámetros como: Número de éxitos, Ensayos, Probabilidad de éxito y Probabilidad acumulada. El parámetro "Probabilidad acumulada" admite un valor booleano (verdadero o falso). Verdadero indica la probabilidad acumulada de obtener esta cantidad de éxitos (una prueba unilateral izquierda), y Falso, la probabilidad exacta de obtener esta cantidad de éxitos.

• valor p
• Cohen's g
• Cohen's h
• Experimento de degustación de té por parte de una dama

• Dougherty, Edward R. (1990). «Prueba de una proporción». Probabilidad y estadística para las ciencias de la ingeniería, la informática y la física . Englewood Cliffs: Prentice Hall. págs. 417–423 . ISBN  0-13-711995-X.

• Calculadora de probabilidad binomial
• "La prueba binomial " . www.graphpad.com