Prueba exacta

Una prueba exacta (de significancia) es una prueba estadística tal que si la hipótesis nula es verdadera, entonces se cumplen todos los supuestos hechos durante la derivación de la distribución del estadístico de prueba . El uso de una prueba exacta proporciona una prueba de significancia que mantiene la tasa de error de tipo I de la prueba (${\displaystyle \alpha }$) al nivel de significancia deseado de la prueba. Por ejemplo, una prueba exacta a un nivel de significancia de${\displaystyle \alpha =5\%}$, cuando se repite sobre muchas muestras donde la hipótesis nula es verdadera, rechazará como máximo${\displaystyle 5\%}$del tiempo. Esto contrasta con una prueba aproximada en la que la tasa de error de tipo I deseada se mantiene solo de forma aproximada (es decir, la prueba podría rechazar > 5% del tiempo), mientras que esta aproximación puede hacerse lo más cerca posible de${\displaystyle \alpha }$como se deseaba, aumentando suficientemente el tamaño de la muestra.

Las pruebas exactas que se basan en estadísticas de prueba discretas pueden ser conservadoras, lo que indica que la tasa de rechazo real se encuentra por debajo del nivel de significancia nominal.${\displaystyle \alpha }$Como ejemplo, este es el caso de la prueba exacta de Fisher y su alternativa más potente, la prueba de Boschloo . Si el estadístico de prueba es continuo, alcanzará el nivel de significancia exactamente.

Las pruebas paramétricas , como las que se utilizan en estadística exacta , son pruebas exactas cuando se cumplen plenamente los supuestos paramétricos. Sin embargo, en la práctica, el término prueba exacta (de significancia) se reserva para las pruebas no paramétricas, es decir, aquellas que no se basan en supuestos paramétricos . No obstante, en la práctica, la mayoría de las implementaciones de software para pruebas no paramétricas utilizan algoritmos asintóticos para obtener el valor de significancia, lo que hace que la prueba no sea exacta.

Por lo tanto, cuando un resultado de análisis estadístico se denomina "prueba exacta" o especifica un " valor p exacto ", esto implica que la prueba se define sin supuestos paramétricos y se evalúa sin utilizar algoritmos aproximados. En principio, sin embargo, esto también podría significar que se ha empleado una prueba paramétrica en una situación donde se cumplen todos los supuestos paramétricos, pero en la mayoría de los casos es imposible demostrarlo completamente en una situación real. Las excepciones en las que es seguro que las pruebas paramétricas son exactas incluyen las pruebas basadas en las distribuciones binomial o de Poisson. El término " prueba de permutación" se usa a veces como sinónimo de "prueba exacta", pero debe tenerse en cuenta que todas las pruebas de permutación son pruebas exactas, pero no todas las pruebas exactas son pruebas de permutación.

La ecuación básica subyacente a las pruebas exactas es

${\displaystyle \Pr({\text{exact}})=\sum _{\mathbf {y} \,:\,T(\mathbf {y} )\geq T(\mathbf {x)} }\Pr(\mathbf {y} )}$

dónde:

• x es el resultado observado real,
• Pr( y ) es la probabilidad bajo la hipótesis nula de un resultado potencialmente observado y ,
• T ( y ) es el valor del estadístico de prueba para un resultado y , donde valores mayores de T representan casos que, en teoría, representan mayores desviaciones de la hipótesis nula,

y donde la suma abarca todos los resultados y (incluido el observado) que tienen el mismo valor del estadístico de prueba obtenido para la muestra observada x , o uno mayor.

Un ejemplo sencillo de este concepto implica la observación de que la prueba chi-cuadrado de Pearson es una prueba aproximada. Supongamos que la prueba chi-cuadrado de Pearson se utiliza para determinar si un dado de seis caras es "justo", es decir, si produce cada uno de los seis resultados posibles con la misma frecuencia. Si el dado se lanza n veces, entonces se "espera" ver cada resultado n /6 veces. El estadístico de prueba es

${\displaystyle \sum {\frac {({\text{observado}}-{\text{esperado}})^{2}}{\text{esperado}}}=\sum _{k=1}^{6}{\frac {(X_{k}-n/6)^{2}}{n/6}},}$

donde X _k es el número de veces que se observa el resultado k . Si la hipótesis nula de "equidad" es verdadera, entonces la distribución de probabilidad del estadístico de prueba puede hacerse lo más cercana posible a la distribución chi-cuadrado con 5 grados de libertad haciendo que el tamaño de la muestra n sea suficientemente grande. Por otro lado, si n es pequeño, entonces las probabilidades basadas en distribuciones chi-cuadrado pueden no ser aproximaciones suficientemente cercanas. Encontrar la probabilidad exacta de que este estadístico de prueba supere un cierto valor requeriría entonces una enumeración combinatoria de todos los resultados del experimento que dan lugar a un valor tan grande del estadístico de prueba. Entonces es cuestionable si se debe usar el mismo estadístico de prueba. Podría ser preferible una prueba de razón de verosimilitud , y el estadístico de prueba podría no ser una función monótona del anterior.

La prueba exacta de Fisher , basada en el trabajo de Ronald Fisher y E.J.G. Pitman en la década de 1930, es exacta porque la distribución muestral (condicionada a las distribuciones marginales) se conoce con exactitud. Esto debe compararse con la prueba chi-cuadrado de Pearson , que (aunque contrasta la misma hipótesis nula) no es exacta porque la distribución del estadístico de prueba solo es asintóticamente correcta.

• Estadísticas exactas
• Análisis discriminante óptimo

• Ronald Fisher (1954) Métodos estadísticos para investigadores . Oliver y Boyd.
• Mehta, CR; Patel, NR (1998). "Inferencia exacta para datos categóricos". En P. Armitage y T. Colton, eds., Enciclopedia de bioestadística , Chichester: John Wiley, pp.  1411–1422. Preimpresión inédita .
• Corcoran, CD; Senchaudhuri, P.; Mehta, CR; Patel, NR (2005). "Inferencia exacta para datos categóricos". Enciclopedia de Bioestadística . doi : 10.1002/0470011815.b2a10019 . ISBN 047084907X.