Prueba multinomial

La prueba multinomial es la prueba estadística de la hipótesis nula de que los parámetros de una distribución multinomial son iguales a valores específicos; se utiliza para datos categóricos . ^{[ 1 ]}

Comenzando con una muestra de${\displaystyle ~N~}$elementos cada uno de los cuales se ha observado que cae en uno de${\displaystyle k}$categorías. Es posible definir${\displaystyle ~\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})~}$como el número observado de elementos en cada celda. Por lo tanto${\displaystyle ~\sum _{i=1}^{k}x_{i}=N~.}$

A continuación, definimos un vector de parámetros.${\displaystyle ~H_{0}:{\boldsymbol {\pi }}=(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{k})~,}$dónde: ${\displaystyle ~\sum _{i=1}^{k}\pi _{i}=1~.}$ Estos son los valores de los parámetros bajo la hipótesis nula .

La probabilidad exacta de la configuración observada${\displaystyle ~\mathbf {x} ~}$bajo la hipótesis nula viene dada por

${\displaystyle ~\operatorname {\mathbb {P} } \left(\mathbf {x} \right)_{0}=N!\,\prod _{i=1}^{k}{\frac {\pi _{i}^{x_{i}}}{x_{i}!}}~.}$

La probabilidad de significancia para la prueba es la probabilidad de ocurrencia del conjunto de datos observado, o de un conjunto de datos menos probable que el observado, si la hipótesis nula es verdadera. Usando una prueba exacta , esto se calcula como

${\displaystyle ~p_{\mathcal {[sig]}}=\sum _{\mathbf {y} \,:\;\operatorname {\mathbb {P} } \left(\mathbf {y} \right)\,\leq \,\operatorname {\mathbb {P} } \left(\mathbf {x} \right)_{0}}\operatorname {\mathbb {P} } \left(\mathbf {y} \right)~}$

donde la suma abarca todos los resultados tan probables como, o menos probables que, el observado. En la práctica, esto se vuelve computacionalmente oneroso como${\displaystyle ~k~}$y${\displaystyle ~N~}$Por lo tanto, probablemente solo valga la pena usar pruebas exactas para muestras pequeñas. Para muestras más grandes, las aproximaciones asintóticas son suficientemente precisas y más fáciles de calcular.

Una de estas aproximaciones es la razón de verosimilitud . Se puede definir una hipótesis alternativa bajo la cual cada valor${\displaystyle ~\pi _{i}~}$es reemplazado por su estimación de máxima verosimilitud${\displaystyle ~p_{i}={\frac {\;x_{i}\,}{N}}~.}$La probabilidad exacta de la configuración observada${\displaystyle ~\mathbf {x} ~}$bajo la hipótesis alternativa viene dada por

${\displaystyle ~\operatorname {\mathbb {P} } \left(\mathbf {x} \right)_{A}=N!\;\prod _{i=1}^{k}{\frac {\;p_{i}^{x_{i}}\,}{x_{i}!}}~.}$

El logaritmo natural de la razón de verosimilitud,${\displaystyle ~[{\mathcal {LR}}]~,}$entre estas dos probabilidades, multiplicado por${\displaystyle ~-2~,}$es entonces el estadístico para la prueba de razón de verosimilitud

${\displaystyle ~-2\ln([{\mathcal {LR}}])=-2\;\sum _{i=1}^{k}x_{i}\ln \left({\frac {\pi _{i}}{p_{i}}}\right)~.}$

(El factor${\displaystyle ~-2~}$(Se elige para que el estadístico tenga una distribución chi-cuadrado asintótica, para facilitar la comparación con un estadístico conocido que se usa comúnmente para la misma aplicación).

Si la hipótesis nula es verdadera, entonces como${\displaystyle ~N~}$aumenta, la distribución de${\displaystyle ~-2\ln([{\mathcal {LR}}])~}$converge a la de chi cuadrado con${\displaystyle ~k-1~}$grados de libertad. Sin embargo, se sabe desde hace mucho tiempo (por ejemplo, Lawley ^{[ 2 ]} ) que para tamaños de muestra finitos, los momentos de${\displaystyle ~-2\ln([{\mathcal {LR}}])~}$son mayores que los de chi-cuadrado, lo que aumenta la probabilidad de errores de tipo  I (falsos positivos). La diferencia entre los momentos de chi-cuadrado y los del estadístico de prueba es una función de${\displaystyle ~N^{-1}~.}$Williams ^{[ 3 ]} demostró que el primer momento puede coincidir hasta el punto${\displaystyle ~N^{-2}~}$si el estadístico de prueba se divide por un factor dado por

${\displaystyle ~q_{1}=1+{\frac {\;\sum _{i=1}^{k}\pi _{i}^{-1}\,-\,1\;}{6N(k-1)}}~.}$

En el caso especial en que la hipótesis nula es que todos los valores${\displaystyle \pi _{i}}$son iguales a${\displaystyle ~1/k~}$(es decir, estipula una distribución uniforme), esto se simplifica a

${\displaystyle ~q_{1}=1+{\frac {\,k+1\,}{\,6N\,}}~.}$

Posteriormente, Smith et al . ^{[ 4 ]} derivaron un factor divisor que coincide con el primer momento en lo que respecta a${\displaystyle ~N^{-3}~.}$En el caso de valores iguales de${\displaystyle ~\pi _{i}~,}$este factor es

${\displaystyle ~q_{2}=1+{\frac {\,k+1\,}{\,6N\,}}+{\frac {\;k^{2}\,}{\;6N^{2}\,}}~.}$

La hipótesis nula también puede ser contrastada mediante la prueba de chi-cuadrado de Pearson.

${\displaystyle ~\chi ^{2}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\;(x_{i}-E_{i})^{2}\,}{E_{i}}}~}$

dónde${\displaystyle ~E_{i}=N\pi _{i}~}$es el número esperado de casos en la categoría${\displaystyle ~i~}$bajo la hipótesis nula. Este estadístico también converge a una distribución chi-cuadrado con${\displaystyle ~k-1~}$grados de libertad cuando la hipótesis nula es verdadera pero lo hace desde abajo, por así decirlo, en lugar de desde arriba como${\displaystyle ~-2\ln([{\mathcal {LR}}])~}$Sí, por lo que puede ser preferible a la versión no corregida de${\displaystyle ~-2\ln([{\mathcal {LR}}])~}$para muestras pequeñas.