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estadístico t

En estadística , el estadístico t es la razón entre la diferencia entre el valor estimado de un número y su valor supuesto, dividida por su error estándar . Se utiliza en prueba...

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En estadística , el estadístico t es la razón entre la diferencia entre el valor estimado de un número y su valor supuesto, dividida por su error estándar . Se utiliza en pruebas de hipótesis mediante la prueba t de Student . El estadístico t se emplea en una prueba t para determinar si se apoya o se rechaza la hipótesis nula. Es muy similar a la puntuación z, pero con la diferencia de que el estadístico t se utiliza cuando el tamaño de la muestra es pequeño o se desconoce la desviación estándar de la población. Por ejemplo, el estadístico t se utiliza para estimar la media poblacional a partir de una distribución muestral de medias muestrales si se desconoce la desviación estándar de la población . También se utiliza junto con el valor p al realizar pruebas de hipótesis, donde el valor p indica la probabilidad de que se hayan producido los resultados.

Definición y características

Dejarβ^{\displaystyle {\sombrero {\beta }}}Sea β un estimador del parámetro en algún modelo estadístico . Entonces, un estadístico t para este parámetro es cualquier cantidad de la forma

tβ^=β^−β0s.mi.⁡(β^),{\displaystyle t_{\hat {\beta }}={\frac {{\hat {\beta }}-\beta _{0}}{\operatorname {se} ({\hat {\beta }})}},}

donde β 0 es una constante conocida y no aleatoria, que puede o no coincidir con el valor real del parámetro desconocido β , ys.mi.⁡(β^){\displaystyle \operatorname {se} ({\hat {\beta }})}es el error estándar del estimadorβ^{\displaystyle {\sombrero {\beta }}}para β .

Por defecto, los paquetes estadísticos informan el estadístico t con β₀ = 0 ( estos estadísticos t se utilizan para probar la significancia del regresor correspondiente). Sin embargo, cuando se necesita el estadístico t para probar la hipótesis de la forma H₀ : β = β₀ , entonces se puede usar un β₀ distinto de cero .

Siβ^{\displaystyle {\sombrero {\beta }}}es un estimador de mínimos cuadrados ordinarios en el modelo de regresión lineal clásico (es decir, con términos de error distribuidos normalmente y homocedásticos ), y si el valor verdadero del parámetro β es igual a β 0 , entonces la distribución muestral del estadístico t es la distribución t de Student con ( n − k ) grados de libertad, donde n es el número de observaciones y k es el número de regresores (incluido el intercepto) .

En la mayoría de los modelos, el estimadorβ^{\displaystyle {\sombrero {\beta }}}es consistente para β y se distribuye asintóticamente de forma normal . Si el valor verdadero del parámetro β es igual a β 0 , y la cantidads.mi.⁡(β^){\displaystyle \operatorname {se} ({\hat {\beta }})}Si se estima correctamente la varianza asintótica de este estimador, entonces el estadístico t tendrá asintóticamente la distribución normal estándar .

En algunos modelos, la distribución del estadístico t difiere de la distribución normal, incluso asintóticamente. Por ejemplo, cuando se realiza una regresión de una serie temporal con raíz unitaria en la prueba de Dickey-Fuller aumentada , el estadístico t de la prueba tendrá asintóticamente una de las distribuciones de Dickey-Fuller (dependiendo de la configuración de la prueba).

Usar

Con mayor frecuencia, las estadísticas t se utilizan en las pruebas t de Student , una forma de prueba de hipótesis estadística , y en el cálculo de ciertos intervalos de confianza .

La propiedad clave del estadístico t es que es una magnitud fundamental : si bien se define en términos de la media muestral, su distribución muestral no depende de los parámetros de la población y, por lo tanto, puede utilizarse independientemente de cuáles sean estos.

Predicción

Dada una distribución normalnorte(μ,σ2){\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}con media y varianza desconocidas, el estadístico t de una observación futuraincógnitanorte+1,{\displaystyle X_{n+1},}Después de realizar n observaciones, se obtiene una estadística auxiliar : una cantidad fundamental (que no depende de los valores de μ y σ² ) que es una estadística (calculada a partir de las observaciones). Esto permite calcular un intervalo de predicción frecuentista (un intervalo de confianza predictivo ) mediante la siguiente distribución t:

incógnitanorte+1−incógnita¯nortesnorte1+norte−1∼Tnorte−1.{\displaystyle {\frac {X_{n+1}-{\overline {X}}_{n}}{s_{n}{\sqrt {1+n^{-1}}}}}\sim T^{n-1}.}

Resolver paraincógnitanorte+1{\displaystyle X_{n+1}}produce la distribución de predicción

incógnita¯norte+snorte1+norte−1⋅Tnorte−1,{\displaystyle {\overline {X}}_{n}+s_{n}{\sqrt {1+n^{-1}}}\cdot T^{n-1},}

a partir de los cuales se pueden calcular intervalos de confianza predictivos: dada una probabilidad p , se pueden calcular intervalos tales que el 100 p % del tiempo, la siguiente observaciónincógnitanorte+1{\displaystyle X_{n+1}}caerá en ese intervalo.

Historia

El término " estadístico t " es una abreviatura de "estadístico de prueba de hipótesis". [ 1 ] En estadística, la distribución t fue derivada por primera vez como una distribución posterior en 1876 por Helmert [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] y Lüroth . [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] La distribución t también apareció en una forma más general como distribución de Pearson Tipo IV en el artículo de Karl Pearson de 1895. [ 8 ] Sin embargo, la distribución T, también conocida como distribución T de Student, recibe su nombre de William Sealy Gosset, quien fue el primero en publicar el resultado en inglés en su artículo de 1908 titulado "The Probable Error of a Mean" (en Biometrika ) usando su seudónimo "Student" [ 9 ] [ 10 ] porque su empleador prefería que su personal usara nombres de pila al publicar artículos científicos en lugar de su nombre real, por lo que usó el nombre "Student" para ocultar su identidad. [ 11 ] La cervecería Guinness en Dublín , Irlanda , y estaba interesada en los problemas de muestras pequeñas, por ejemplo, las propiedades químicas de la cebada donde los tamaños de muestra podían ser tan pequeños como 3. Por lo tanto, una segunda versión de la etimología del término Student es que Guinness no quería que sus competidores supieran que estaban usando la prueba t para determinar la calidad de la materia prima. Aunque fue William Gosset quien acuñó el término "estudiante", en realidad fue a través del trabajo de Ronald Fisher que la distribución se hizo conocida como "distribución de Student" [ 12 ] [ 13 ] y " prueba t de Student ".

  • Puntuación z (estandarización) : Si se conocen los parámetros de la población, en lugar de calcular la estadística t, se puede calcular la puntuación z; de forma análoga, en lugar de usar una prueba t , se usa una prueba z . Esto es poco común fuera de las pruebas estandarizadas .
  • Residuo estudentizado : En el análisis de regresión , los errores estándar de los estimadores en diferentes puntos de datos varían (compare los puntos medios con los extremos de una regresión lineal simple ), y por lo tanto, se deben dividir los diferentes residuos por diferentes estimaciones del error, lo que produce lo que se denomina residuos estudentizados .
  • Puntuación estándar de la muestra : Reemplazar la media y la desviación estándar de la población en una puntuación z por la media y la desviación estándar de la muestra da como resultado:incógnita−incógnita¯s{\displaystyle {\frac {x-{\bar {X}}}{s}}}Esta observación estandarizada está relacionada con la estadística t porque utiliza un parámetro de escala estimado. No debe confundirse con la estadística t de una muestra . incógnita¯−μ0s/norte{\displaystyle {\frac {{\bar {X}}-\mu _{0}}{s/{\sqrt {n}}}}}, que estandariza la media de la muestra por su error estimado.

Véase también

Referencias

  1. ↑ El microbioma en la salud y la enfermedad . Academic Press. 29 de mayo de 2020. pág.  397. ISBN 978-0-12-820001-8.
  2. ^ Szabó, István (2003), "Systeme aus einer endlichen Anzahl starrer Körper", Einführung in die Technische Mechanik , Springer Berlin Heidelberg, págs. 196-199 , doi : 10.1007/978-3-642-61925-0_16 , ISBN  978-3-540-13293-6
  3. ^ Schlyvitch, B. (octubre de 1937). "Untersuchungen über den anastomotischen Kanal zwischen der Arteria coeliaca und mesenterica superior und damit in Zusammenhang stehende Fragen". Zeitschrift für Anatomie und Entwicklungsgeschichte . 107 (6): 709– 737. doi : 10.1007/bf02118337 . ISSN 0340-2061 . S2CID 27311567 .  
  4. ↑ Helmert (1876). "Die Genauigkeit der Formel von Peters zur Berechnung des wahrscheinlichen Beobachtungsfehlers director Beobachtungen gleicher Genauigkeit" . Astronomische Nachrichten (en alemán). 88 ( 8– 9): 113– 131. Bibcode : 1876AN.....88..113H . doi : 10.1002/asna.18760880802 .
  5. ^ Lüroth, J. (1876). "Vergleichung von zwei Werthen des wahrscheinlichen Fehlers" . Astronomische Nachrichten (en alemán). 87 (14): 209– 220. Bibcode : 1876AN.....87..209L . doi : 10.1002/asna.18760871402 .
  6. ↑ Pfanzagl, J. (1996). "Estudios sobre la historia de la probabilidad y la estadística XLIV. Un precursor de la distribución t". Biometrika . 83 (4): 891– 898. doi : 10.1093/biomet/83.4.891 . MR 1766040 . 
  7. ↑ Sheynin, Oscar (1995). "El trabajo de Helmert en la teoría de los errores". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 49 (1): 73– 104. doi : 10.1007/BF00374700 . ISSN 0003-9519 . S2CID 121241599 .  
  8. ↑ Pearson, Karl (1895). "X. Contribuciones a la teoría matemática de la evolución.—II. Variación asimétrica en material homogéneo" . Philosophical Transactions of the Royal Society of London A. 186 : 343–414 . Bibcode : 1895RSPTA.186..343P . doi : 10.1098 /rsta.1895.0010 . ISSN 1364-503X . 
  9. ↑ "Estudiante" ( William Sealy Gosset ) (1908). "El error probable de una media". Biometrika . 6 (1): 1– 25. doi : 10.1093/biomet/6.1.1 . hdl : 10338.dmlcz/143545 . JSTOR 2331554 . 
  10. ↑ "Tabla T | Historia de la tabla T, etimología, tabla T unilateral, tabla T bilateral y estadístico T" .
  11. ↑ Wendl, MC (2016). "Fama pseudónima". Science . 351 (6280): 1406. doi : 10.1126/science.351.6280.1406 . PMID 27013722 . 
  12. ↑ Tuttle, Md; Anazonwu, Bs, Walter; Rubin, Md, Lee (2014). "Análisis de subgrupos del ácido tranexámico tópico en la artroplastia total de rodilla" . Reconstructive Review . 4 (2): 37– 41. doi : 10.15438/rr.v4i2.72 .
  13. ↑ Walpole, Ronald E. (2006). Probabilidad y estadística para ingenieros y científicos . Myers, H. Raymond. (7.ª ed.). Nueva Delhi: Pearson. ISBN  81-7758-404-9OCLC 818811849​​