Estadística auxiliar

En estadística , la ancilaridad es una propiedad de una estadística calculada sobre un conjunto de datos de muestra en relación con un modelo paramétrico del conjunto de datos. Una estadística ancilar tiene la misma distribución independientemente del valor de los parámetros y, por lo tanto, no proporciona información sobre ellos. ^{[1] [2] [3]} Se opone al concepto de una estadística completa que no contiene información ancilar. Está estrechamente relacionada con el concepto de una estadística suficiente que contiene toda la información que proporciona el conjunto de datos sobre los parámetros.

Una estadística auxiliar es un caso específico de una cantidad fundamental que se calcula únicamente a partir de los datos y no de los parámetros. Se pueden utilizar para construir intervalos de predicción . También se utilizan en relación con el teorema de Basu para demostrar la independencia entre estadísticas. ^[4]

Este concepto fue introducido por primera vez por Ronald Fisher en la década de 1920, ^[5] pero su definición formal recién fue proporcionada en 1964 por Debabrata Basu . ^{[6] [7]}

Supongamos que X ₁ , ..., X _n son independientes y se distribuyen de forma idéntica , y se distribuyen normalmente con un valor esperado desconocido μ y una varianza conocida 1. Sea

${\displaystyle {\overline {X}}_{n}={\frac {X_{1}+\,\cdots \,+X_{n}}{n}}}$

sea ​​la media de la muestra .

Las siguientes medidas estadísticas de dispersión de la muestra

• Rango : máximo ( X ₁ , ..., X _n ) - mínimo ( X ₁ , ..., X _n )
• Rango intercuartil : Q ₃ − Q ₁
• Varianza de la muestra :

${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}:=\,{\frac {\sum \left(X_{i}-{\overline {X}}\right)^{2}}{n}}}$

son todas estadísticas auxiliares , porque sus distribuciones de muestreo no cambian cuando cambia μ . Computacionalmente, esto se debe a que en las fórmulas, los términos μ se cancelan: agregar un número constante a una distribución (y a todas las muestras) cambia su máximo y mínimo de muestra en la misma cantidad, por lo que no cambia su diferencia, y lo mismo para otras: estas medidas de dispersión no dependen de la ubicación.

Por el contrario, dadas variables normales iid con media conocida 1 y varianza desconocida σ ² , la media de la muestra no es una estadística auxiliar de la varianza, ya que la distribución de muestreo de la media de la muestra es N (1,  σ ² / n ), que depende de σ ² – esta medida de ubicación (específicamente, su error estándar ) depende de la dispersión. ^[8]${\displaystyle {\overline {X}}}$

En una familia de distribuciones de localización , es una estadística auxiliar. ${\displaystyle (X_{1}-X_{n},X_{2}-X_{n},\puntos ,X_{n-1}-X_{n})}$

En una familia de distribuciones de escala, es una estadística auxiliar. ${\displaystyle ({\frac {X_{1}}{X_{n}}},{\frac {X_{2}}{X_{n}}},\puntos ,{\frac {X_{n-1}}{X_{n}}})}$

En una familia de distribuciones de escala de ubicación , , donde es la varianza de la muestra, es una estadística auxiliar. ^{[3] [9]}${\displaystyle ({\frac {X_{1}-X_{n}}{S}},{\frac {X_{2}-X_{n}}{S}},\puntos ,{\frac {X_{n-1}-X_{n}}{S}})}$$Estilo de visualización S2$

Resulta que, si es una estadística no suficiente y es auxiliar, a veces se puede recuperar toda la información sobre el parámetro desconocido contenido en todos los datos informando mientras se condiciona el valor observado de . Esto se conoce como inferencia condicional . ^[3]$Estilo de visualización T_{1}$$Estilo de visualización T_{2}$$Estilo de visualización T_{1}$$Estilo de visualización T_{2}$

Por ejemplo, supongamos que se sigue la distribución donde se desconoce. Nótese que, aunque no es suficiente para (ya que su información de Fisher es 1, mientras que la información de Fisher del estadístico completo es 2), al informar adicionalmente el estadístico auxiliar , se obtiene una distribución conjunta con información de Fisher 2. ^[3]$Estilo de visualización X_{1}, X_{2}}$${\displaystyle N(\theta ,1)}$${\estilo de visualización \theta}$$Estilo de visualización X_{1}$${\estilo de visualización \theta}$${\displaystyle {\overline {X}}}$$Estilo de visualización X_{1}-X_{2}}$

Dado un estadístico T que no es suficiente , un complemento auxiliar es un estadístico U que es auxiliar y tal que ( T ,  U ) es suficiente. ^[2] Intuitivamente, un complemento auxiliar "agrega la información faltante" (sin duplicar ninguna).

La estadística es particularmente útil si se toma T como un estimador de máxima verosimilitud , lo que en general no será suficiente; entonces se puede pedir un complemento auxiliar. En este caso, Fisher sostiene que se debe condicionar un complemento auxiliar para determinar el contenido de información: se debe considerar que el contenido de información de Fisher de T no es el marginal de T , sino la distribución condicional de T , dado U : ¿cuánta información agrega T ? Esto no es posible en general, ya que no es necesario que exista un complemento auxiliar, y si existe uno, no es necesario que sea único, ni existe un complemento auxiliar máximo.

En béisbol , supongamos que un cazatalentos observa a un bateador en N turnos al bate. Supongamos (de manera poco realista) que el número N se elige mediante algún proceso aleatorio que es independiente de la habilidad del bateador; digamos que se lanza una moneda después de cada turno al bate y el resultado determina si el cazatalentos se quedará a ver el siguiente turno al bate del bateador. Los datos finales son el número N de turnos al bate y el número X de hits: los datos ( X ,  N ) son una estadística suficiente. El promedio de bateo observado X / N no transmite toda la información disponible en los datos porque no informa el número N de turnos al bate (por ejemplo, un promedio de bateo de 0,400, que es muy alto , basado en solo cinco turnos al bate no inspira tanta confianza en la habilidad del jugador como un promedio de 0,400 basado en 100 turnos al bate). El número N de turnos al bate es una estadística auxiliar porque

• Es una parte de los datos observables (es una estadística ), y
• Su distribución de probabilidad no depende de la habilidad del bateador, ya que fue elegida por un proceso aleatorio independiente de la habilidad del bateador.

Esta estadística auxiliar es un complemento auxiliar del promedio de bateo observado X / N , es decir, el promedio de bateo X / N no es una estadística suficiente , ya que transmite menos que toda la información relevante de los datos, pero combinado con N , se vuelve suficiente.

• Teorema de Basu
• Intervalo de predicción
• Familia grupal
• Principio de condicionalidad