Rango (estadísticas)

El rango, T, tiene la función de distribución acumulativa ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle F(t)=n\int _{-\infty }^{\infty }g(x)[G(x+t)-G(x)]^{n-1}\,{\text{d}}x.}$

Gumbel señala que "la belleza de esta fórmula se ve completamente empañada por el hecho de que, en general, no podemos expresar G ( x  + t ) mediante G ( x ), y que la integración numérica es larga y tediosa". ^{[ 2 ] : 385} 

Si la distribución de cada X _i está limitada a la derecha (o a la izquierda), entonces la distribución asintótica del rango es igual a la distribución asintótica del valor más grande (más pequeño). Para distribuciones más generales, la distribución asintótica puede expresarse como una función de Bessel . ^{[ 2 ]}

El rango medio viene dado por ^{[ 4 ]}

${\displaystyle n\int _{0}^{1}x(G)[G^{n-1}-(1-G)^{n-1}]\,{\text{d}}G}$

donde x ( G ) es la función inversa. En el caso en que cada uno de los X _i tiene una distribución normal estándar , el rango medio viene dado por ^{[ 5 ]}

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }(1-(1-\Phi (x))^{n}-\Phi (x)^{n})\,{\text{d}}x.}$$

Tenga en cuenta que la siguiente es una derivación informal del resultado. El cálculo de las probabilidades es algo impreciso.

Dejar${\displaystyle m,M}$denotan respectivamente el mínimo y el máximo de las variables aleatorias${\displaystyle X_{1}\dots X_{n}}$.

El evento de que el rango sea menor que${\displaystyle T}$puede descomponerse en eventos más pequeños según:

• el índice del valor mínimo
• y el valor${\displaystyle x}$del mínimo.

Para un índice dado${\displaystyle i}$y valor mínimo${\displaystyle x}$, la probabilidad del evento conjunto:

1. ${\displaystyle X_{i}}$es el mínimo,
2. y${\displaystyle X_{i}=x}$,
3. y el rango es menor que${\displaystyle T}$,

es:$${\displaystyle g(x)\left[G(x+T)-G(x)\right]^{n-1}}$$Sumando sobre los índices e integrando sobre${\displaystyle x}$arroja la probabilidad total del evento: "el rango es menor que${\displaystyle T}$" que es exactamente la función de densidad acumulativa del rango:$${\displaystyle F(t)=n\int _{-\infty }^{\infty }g(x)\left[G(t+x)-G(x)\right]^{n-1}\,{\text{d}}x}$$Con lo cual concluye la demostración.