Rango estudiado

En estadística , el rango estudentizado , denotado q , es la diferencia entre el dato más grande y el más pequeño de una muestra normalizada por la desviación estándar de la muestra . Recibe su nombre de William Sealy Gosset (quien escribía bajo el seudónimo de " Student "), y fue introducido por él en 1927. ^{[ 1 ]} El concepto fue discutido posteriormente por Newman (1939), ^{[ 2 ]} Keuls (1952), ^{[ 3 ]} y John Tukey en algunas notas no publicadas. Su distribución estadística es la distribución del rango estudentizado , que se utiliza para procedimientos de comparación múltiple , como el procedimiento de un solo paso de la prueba de rango de Tukey , el método de Newman-Keuls y el procedimiento de descenso escalonado de Duncan, y para establecer intervalos de confianza que siguen siendo válidos después de que se haya producido una manipulación de los datos . ^{[ 4 ]}

El valor del rango estudentizado , representado con mayor frecuencia por la variable q , se puede definir en función de una muestra aleatoria x ₁ ,  ..., x _n de la distribución N (0, 1) de números, y otra variable aleatoria s que es independiente de todos los x _i , y νs ² tiene una distribución χ ² con ν grados de libertad. Entonces 

${\displaystyle q_{n,\nu }={\frac {\max\{\,x_{1},\ \dots ,\ x_{n}\,\}-\min\{\,x_{1},\ \dots ,\ x_{n}\}}{s}}=\max _{i,j=1,\dots ,n}\left\{{\frac {x_{i}-x_{j}}{s}}\right\}}$

tiene la distribución de rango estudentizado para n grupos y ν grados de libertad. En las aplicaciones, los x _i son típicamente las medias de muestras de tamaño m cada una , s ² es la varianza combinada y los grados de libertad son ν = n ( m − 1).     

El valor crítico de q se basa en tres factores:

1. α (la probabilidad de rechazar una hipótesis nula verdadera )
2. n (el número de observaciones o grupos)
3. ν (los grados de libertad utilizados para estimar la varianza de la muestra )

Si X₁ , ..., Xn son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que siguen _una distribución normal , la distribución de probabilidad de su rango estudentizado es lo que se conoce como _{distribución} de rango estudentizado . Cabe destacar que la definición de q no depende del valor esperado ni de la desviación estándar de la distribución de la que se extrae la muestra, por lo que su distribución de probabilidad es la misma independientemente de dichos parámetros.

En general, el término «estudiado» significa que la escala de la variable se ajustó dividiéndola por una estimación de la desviación estándar poblacional (véase también residuo estudentizado ). El hecho de que la desviación estándar sea la de la muestra y no la de la población , y por lo tanto varíe entre muestras aleatorias, es fundamental para la definición y la distribución de los datos estudentizados . La variabilidad en el valor de la desviación estándar muestral introduce incertidumbre adicional en los valores calculados. Esto complica el problema de hallar la distribución de probabilidad de cualquier estadístico estudentizado .

• Distribución de rango estudentizado
• Prueba de alcance de Tukey

• Pearson, ES; Hartley, HO (1970) Tablas de Biometrika para estadísticos, Volumen 1, 3.ª edición , Cambridge University Press. ISBN 0-521-05920-8
• John Neter, Michael H. Kutner, Christopher J. Nachtsheim, William Wasserman (1996) Modelos estadísticos lineales aplicados , cuarta edición, McGraw-Hill, página 726.
• John A. Rice (1995) Estadística matemática y análisis de datos , segunda edición, Duxbury Press, páginas 451 – 452.
• Douglas C. Montgomery (2013) "Diseño y análisis de experimentos", octava edición, Wiley, página 98.