Distribución de rango estudentizado

Al diferenciar la función de distribución acumulativa con respecto a q, se obtiene la función de densidad de probabilidad .

${\displaystyle f_{\text{R}}(q;k,\nu )={\frac {{\sqrt {2\pi \,}}\,k\,(k-1)\,\nu ^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)\,2^{\left(\nu /2-1\right)}}}\int _{0}^{\infty }s^{\nu }\,\varphi ({\sqrt {\nu \,}}\,s)\,\left[\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (z+q\,s)\,\varphi (z)\,\left[\Phi (z+q\,s)-\Phi (z)\right]^{k-2}\,\mathrm {d} z\right]\,\mathrm {d} s}$

Nótese que en la parte exterior de la integral, la ecuación

${\displaystyle \varphi ({\sqrt {\nu \,}}\,s)\,{\sqrt {2\pi \,}}=e^{-\left(\nu \,s^{2}/2\right)}}$

se utilizó para reemplazar un factor exponencial.

La función de distribución acumulativa viene dada por ^{[ 1 ]}

${\displaystyle F_{\text{R}}(q;k,\nu )={\frac {{\sqrt {2\pi \,}}\,k\,\nu ^{\nu /2}}{\,\Gamma (\nu /2)\,2^{(\nu /2-1)}\,}}\int _ {0}^{\infty }s^{\nu -1}\varphi ({\sqrt {\nu \,}}\,s)\left[\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (z)\left[\Phi (z+q\,s)-\Phi (z)\right]^{k-1}\,\mathrm {d} z\right]\,\mathrm {d} s}$

Si k es 2 o 3, ^{[ 2 ]} la función de distribución de probabilidad de rango estudentizado se puede evaluar directamente, donde${\displaystyle \varphi (z)}$es la función de densidad de probabilidad normal estándar y${\displaystyle \Phi (z)}$es la función de distribución acumulativa normal estándar.

${\displaystyle f_{R}(q;k=2)={\sqrt {2\,}}\,\varphi \left(\,q/{\sqrt {2\,}}\right)}$

${\displaystyle f_{R}(q;k=3)=6{\sqrt {2\,}}\,\varphi \left(\,q/{\sqrt {2\,}}\right)\left[\Phi \left(q/{\sqrt {6\,}}\right)-{\tfrac {1}{2}}\right]}$

Cuando los grados de libertad se aproximan al infinito, la distribución acumulativa del rango estudentizado se puede calcular para cualquier k utilizando la distribución normal estándar.

${\displaystyle F_{R}(q;k)=k\,\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (z)\,{\Bigl [}\Phi (z+q)-\Phi (z){\Bigr ]}^{k-1}\,\mathrm {d} z=k\,\int _{-\infty }^{\infty }\,{\Bigl [}\Phi (z+q)-\Phi (z){\Bigr ]}^{k-1}\,\mathrm {d} \Phi (z)}$

Para cualquier función de densidad de probabilidad f _X , la densidad de probabilidad de rango f _R es: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle f_{R}(r;k)=k\,(k-1)\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}\left(t+{\tfrac {1}{2}}r\right)f_{X}\left(t-{\tfrac {1}{2}}r\right)\left[\int _{t-{\tfrac {1}{2}}r}^{t+{\tfrac {1}{2}}r}f_{X}(x)\,\mathrm {d} x\right]^{k-2}\,\mathrm {d} \,t}$

Lo que esto significa es que estamos sumando las probabilidades de que, dado k extracciones de una distribución, dos de ellas difieran en r , y las k − 2 extracciones restantes caigan todas entre los dos valores extremos. Si cambiamos las variables a u donde  ${\displaystyle u=t-{\tfrac {1}{2}}r}$es el extremo inferior del rango, y definimos F _X como la función de distribución acumulativa de f _X , entonces la ecuación se puede simplificar:

${\displaystyle f_{R}(r;k)=k\,(k-1)\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(u+r)\,f_{X}(u)\,\left[\,F_{X}(u+r)-F_{X}(u)\,\right]^{k-2}\,\mathrm {d} \,u}$

Introducimos una integral similar y observamos que al diferenciar bajo el signo de integral obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial r}}&\left[k\,\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(u)\,{\Bigl [}\,F_{X}(u+r)-F_{X}(u)\,{\Bigr ]}^{k-1}\,\mathrm {d} \,u\right]\\[5pt]={}&k\,(k-1)\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(u+r)\,f_{X}(u)\,{\Bigl [}\,F_{X}(u+r)-F_{X}(u)\,{\Bigr ]}^{k-2}\,\mathrm {d} \,u\end{aligned}}}$

que recupera la integral anterior, ^{[ a ]} ​​de modo que la última relación confirma

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{R}(r;k)&=k\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(u){\Bigl [}\,F_{X}(u+r)-F_{X}(u)\,{\Bigr ]}^{k-1}\,\mathrm {d} \,u\\&=k\int _{-\infty }^{\infty }{\Bigl [}\,F_{X}(u+r)-F_{X}(u)\,{\Bigr ]}^{k-1}\,\mathrm {d} \,F_{X}(u)\end{aligned}}}$

porque para cualquier función de distribución acumulada continua

${\displaystyle {\frac {\partial F_{R}(r;k)}{\partial r}}=f_{R}(r;k)}$

La distribución de rango se utiliza con mayor frecuencia para intervalos de confianza alrededor de las medias de las muestras, que se distribuyen asintóticamente de forma normal según el teorema del límite central .

Para crear la distribución de rango estudentizado para datos normales, primero cambiamos de las funciones de distribución genéricas f _X y F _X a las funciones de distribución φ y Φ para la distribución normal estándar , y cambiamos la variable r a s·q , donde q es un factor fijo que reescala r por el factor de escala s :

${\displaystyle f_{R}(q;k)=s\,k\,(k-1)\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (u+sq)\varphi (u)\,\left[\,\Phi (u+sq)-\Phi (u)\right]^{k-2}\,\mathrm {d} u}$

Elija el factor de escala s como la desviación estándar de la muestra, de modo que q se convierta en el número de desviaciones estándar de amplitud del rango. Para datos normales , s sigue una distribución chi ^{[ b ]} y la función de distribución f _S de la distribución chi viene dada por:

${\displaystyle f_{S}(s;\nu )\,\mathrm {d} s={\begin{cases}{\dfrac {\nu ^{\nu /2}\,s^{\nu -1}e^{-\nu \,s^{2}/2}\,}{2^{\left(\nu /2-1\right)}\Gamma (\nu /2)}}\,\mathrm {d} s&{\text{for }}\,0<s<\infty ,\\[4pt]0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

Al multiplicar las distribuciones f _R y f _S e integrar para eliminar la dependencia de la desviación estándar s, se obtiene la función de distribución de rango estudentizado para datos normales:

${\displaystyle f_{R}(q;k,\nu )={\frac {\nu ^{\nu /2}\,k\,(k-1)}{2^{\left(\nu /2-1\right)}\Gamma (\nu /2)}}\int _{0}^{\infty }s^{\nu }e^{-\nu s^{2}/2}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (u+sq)\,\varphi (u)\,\left[\,\Phi (u+sq)-\Phi (u)\right]^{k-2}\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} s}$

dónde

q es la amplitud del rango de datos medida en desviaciones estándar,

ν es el número de grados de libertad para determinar la desviación estándar de la muestra, ^{[ c ]} y

k es el número de promedios separados que forman los puntos dentro del rango.

La ecuación para la función de densidad de probabilidad que se muestra en las secciones anteriores proviene del uso

${\displaystyle e^{-\nu \,s^{2}/2}={\sqrt {2\pi \,}}\,\varphi ({\sqrt {\nu \,}}\,s)}$

para reemplazar la expresión exponencial en la integral externa.