Varianza combinada

En estadística , la varianza combinada (también conocida como varianza combinada , varianza compuesta o varianza general , y escrita)${\displaystyle \sigma ^{2}}$Es un método para estimar la varianza de varias poblaciones diferentes cuando la media de cada población puede ser distinta, pero se puede suponer que la varianza de cada población es la misma. La estimación numérica resultante de este método también se denomina varianza combinada.

Bajo el supuesto de varianzas poblacionales iguales, la varianza de la muestra combinada proporciona una estimación de la varianza con mayor precisión que las varianzas de las muestras individuales. Esta mayor precisión puede aumentar la potencia estadística cuando se utiliza en pruebas estadísticas que comparan poblaciones, como la prueba t .

La raíz cuadrada de un estimador de varianza agrupada se conoce como desviación estándar agrupada (también conocida como desviación estándar combinada , desviación estándar compuesta o desviación estándar general ).

En estadística , a menudo se recopilan datos de una variable dependiente , y , para un rango de valores de la variable independiente , x . Por ejemplo, se puede estudiar el consumo de combustible en función de la velocidad del motor, manteniendo constante la carga. Si para obtener una varianza pequeña en y se requieren numerosas pruebas repetidas para cada valor de x , el costo de las pruebas puede resultar prohibitivo. Se pueden obtener estimaciones razonables de la varianza utilizando el principio de varianza combinada tras repetir cada prueba para un valor de x determinado solo unas pocas veces.

La varianza combinada es una estimación de la varianza común fija.${\displaystyle \sigma ^{2}}$subyacentes a diversas poblaciones que tienen diferentes medios.

Se nos proporciona un conjunto de varianzas muestrales.${\displaystyle s_{i}^{2}}$donde las poblaciones están indexadas${\displaystyle i=1,\ldots ,m}$,

${\displaystyle s_{i}^{2}}$=${\displaystyle {\frac {1}{n_{i}-1}}\sum _{j=1}^{n_{i}}\left(y_{i,j}-{\overline {y}}_{i}\right)^{2}.}$

Suponiendo tamaños de muestra uniformes ,${\displaystyle n_{i}=n}$, entonces la varianza combinada${\displaystyle s_{p}^{2}}$se puede calcular mediante la media aritmética :

${\displaystyle s_{p}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{m}s_{i}^{2}}{m}}={\frac {s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+\cdots +s_{m}^{2}}{m}}.}$

Si los tamaños de muestra no son uniformes, entonces la varianza combinada${\displaystyle s_{p}^{2}}$se puede calcular mediante el promedio ponderado , utilizando como ponderaciones${\displaystyle w_{i}=n_{i}-1}$los respectivos grados de libertad (véase también: corrección de Bessel ):

${\displaystyle s_{p}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{m}(n_{i}-1)s_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{m}(n_{i}-1)}}={\frac {(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}+\cdots +(n_{m}-1)s_{m}^{2}}{n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{m}-m}}.}$

La distribución de${\displaystyle {\frac {s_{p}^{2}(\sum _{i}n_{i}-m)}{\sigma ^{2}}}}$es${\displaystyle \chi ^{2}(\sum _{i}n_{i}-m)}$.

Demostración. Cuando hay una sola media, la distribución de${\displaystyle (y_{1}-{\bar {y}},\dots ,y_{n}-{\bar {y}})}$es una gaussiana en${\displaystyle \Delta _{n-1}}$, el${\displaystyle (n-1)}$Simplex -dimensional, con desviación estándar${\displaystyle \sigma }$. Donde hay múltiples medios, la distribución de${\displaystyle (y_{1,1}-{\bar {y}}_{1},\dots ,y_{1,n_{1}}-{\bar {y}}_{1},\dots ,y_{m,1}-{\bar {y}}_{m},\dots ,y_{m,n_{m}}-{\bar {y}}_{m})}$es una gaussiana en${\displaystyle \Delta _{n_{1}-1}\times \dots \times \Delta _{n_{m}-1}}$.

Considere el siguiente conjunto de datos para y obtenidos en varios niveles de la variable independiente x . 

En la siguiente tabla se presentan el número de ensayos, la media, la varianza y la desviación estándar.

Estas estadísticas representan la varianza y la desviación estándar para cada subconjunto de datos en los distintos niveles de x . Si podemos suponer que los mismos fenómenos generan un error aleatorio en cada nivel de x , los datos anteriores se pueden "agrupar" para expresar una única estimación de la varianza y la desviación estándar. En cierto sentido, esto sugiere encontrar una varianza media o una desviación estándar entre los cinco resultados anteriores. Esta varianza media se calcula ponderando los valores individuales con el tamaño del subconjunto para cada nivel de x . Por lo tanto, la varianza agrupada se define por

${\displaystyle s_{p}^{2}={\frac {(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}+\cdots +(n_{k}-1)s_{k}^{2}}{(n_{1}-1)+(n_{2}-1)+\cdots +(n_{k}-1)}}}$

donde n ₁ , n ₂ , . . ., n _k son los tamaños de los subconjuntos de datos en cada nivel de la variable x , y s ₁ ² , s ₂ ² , . . ., s _k ² son sus respectivas varianzas.

Por lo tanto, la varianza combinada de los datos mostrados anteriormente es:

${\displaystyle s_{p}^{2}=2.764\,}$

La varianza combinada es una estimación que se obtiene cuando existe correlación entre los conjuntos de datos combinados o cuando el promedio de los conjuntos de datos no es idéntico. La varianza combinada es menos precisa cuanto mayor sea la correlación (distinta de cero) o mayor la diferencia entre los promedios de los conjuntos de datos.

La variación de datos para conjuntos de datos no superpuestos es:

${\displaystyle \sigma _{X}^{2}={\frac {\sum _{i}\left[(N_{X_{i}}-1)\sigma _{X_{i}}^{2}+N_{X_{i}}\mu _{X_{i}}^{2}\right]-\left[\sum _{i}N_{X_{i}}\right]\mu _{X}^{2}}{\sum _{i}N_{X_{i}}-1}}}$

donde la media se define como:

${\displaystyle \mu _{X}={\frac {\sum _{i}N_{X_{i}}\mu _{X_{i}}}{\sum _{i}N_{X_{i}}}}}$

Dada una máxima verosimilitud sesgada definida como:

${\displaystyle s_{p}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{k}(n_{i}-1)s_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{k}n_{i}}},}$

Entonces, el error en la estimación de máxima verosimilitud sesgada es:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Error}}&=s_{p}^{2}-\sigma _{X}^{2}\\[6pt]&={\frac {\sum _{i}(N_{X_{i}}-1)s_{i}^{2}}{\sum _{i}N_{X_{i}}}}-{\frac {1}{\sum _{i}N_{X_{i}}-1}}\left(\sum _{i}\left[(N_{X_{i}}-1)\sigma _{X_{i}}^{2}+N_{X_{i}}\mu _{X_{i}}^{2}\right]-\left[\sum _{i}N_{X_{i}}\right]\mu _{X}^{2}\right)\end{aligned}}}$

Suponiendo que N es grande de tal manera que:

${\displaystyle \sum _{i}N_{X_{i}}\approx \sum _{i}N_{X_{i}}-1}$

Entonces, el error en la estimación se reduce a:

${\displaystyle {\begin{aligned}E&=-{\frac {\left(\sum _{i}\left[N_{X_{i}}\mu _{X_{i}}^{2}\right]-\left[\sum _{i}N_{X_{i}}\right]\mu _{X}^{2}\right)}{\sum _{i}N_{X_{i}}}}\\[3pt]&=\mu _{X}^{2}-{\frac {\sum _{i}\left[N_{X_{i}}\mu _{X_{i}}^{2}\right]}{\sum _{i}N_{X_{i}}}}\end{aligned}}}$

O alternativamente:

${\displaystyle {\begin{aligned}E&=\left[{\frac {\sum _{i}N_{X_{i}}\mu _{X_{i}}}{\sum _{i}N_{X_{i}}}}\right]^{2}-{\frac {\sum _{i}\left[N_{X_{i}}\mu _{X_{i}}^{2}\right]}{\sum _{i}N_{X_{i}}}}\\[3pt]&={\frac {\left[\sum _{i}N_{X_{i}}\mu _{X_{i}}\right]^{2}-\sum _{i}N_{X_{i}}\sum _{i}\left[N_{X_{i}}\mu _{X_{i}}^{2}\right]}{\left[\sum _{i}N_{X_{i}}\right]^{2}}}\end{aligned}}}$

En lugar de estimar la desviación estándar combinada, la siguiente es la forma de agregar con precisión la desviación estándar cuando se dispone de más información estadística.

• Distribución chi-cuadrado#Propiedades asintóticas
• Se utiliza para calcular la d de Cohen (tamaño del efecto).
• Distribución de la varianza muestral
• Matriz de covarianza combinada
• Grados de libertad combinados
• Media combinada

• Killeen PR (mayo de 2005). "Una alternativa a las pruebas de significación de hipótesis nula" . Psychol Sci . 16 (5): 345– 53. doi : 10.1111/j.0956-7976.2005.01538.x . PMC 1473027. PMID 15869691 .  

• Libro de Oro de la IUPAC: desviación estándar combinada
• – haciendo referencia también a la d de Cohen (en la página 6)