Gran significado

En estadística , la media general , media combinada o promedio general es el promedio global de los valores en un conjunto de números, independientemente de cómo se agrupen. ^{[ 1 ]} El adjetivo general o combinada se usa para enfatizar, para distinguirla de cualquiera de las medias de grupo , que son los promedios calculados dentro de un subconjunto particular de valores.

En ciertos modelos estadísticos, como los utilizados en el análisis de varianza , el término media general, global o media global también puede referirse a un parámetro , generalmente denotado${\displaystyle \mu }$, que describe un efecto común a todas las observaciones. ^{[ 2 ]} Puede considerarse como un "promedio" general en el sentido de un valor esperado bajo los supuestos apropiados. Este significado de "media general" no se tratará aquí.

Supongamos que hay tres grupos de números: el grupo A tiene 2, 3, 7; el grupo B tiene 6, 7, 12, 4; el grupo C tiene 1, 3.

La media general de todos los números = (2+3+7+6+7+12+4+1+3)/9 = 5.

Las medias de los grupos son (2 + 3 + 7)/3 = 4 para el grupo A, (6 + 7 + 12 + 4)/4 = 7,25 para el grupo B y (1 + 3)/2 = 2 para el grupo C. Nótese que el promedio de las medias de los grupos no es igual a la media general, como se explica más adelante .

Supongamos que se desea determinar qué estados de Estados Unidos tienen los hombres más altos. Para ello, se mide la estatura de una muestra representativa de hombres en cada estado y se calcula la media general de estaturas de todos los hombres de la muestra. La comparación de las medias estatales con la media nacional permite identificar los estados con una estatura promedio inusualmente alta o baja. (Para determinar con significación estadística si existen diferencias significativas entre los estados y si un estado en particular tiene hombres inusualmente altos o bajos, se requiere un análisis de varianza . El cálculo en este caso depende de las varianzas de cada grupo y de la varianza combinada de los datos).

Para representar promedios algebraicamente, los elementos de un conjunto de datos agrupados a menudo se denotan por${\displaystyle x_{ij}}$, donde i indica el grupo y j el punto de datos dentro del grupo. La media del grupo i se denota de manera similar por${\displaystyle {\bar {x}}_{i\cdot }}$, mientras${\displaystyle {\bar {x}}_{\cdot \cdot }}$denota la media general. ^{[ nota 1 ]} La media general viene dada entonces por una suma doble :

${\displaystyle {\bar {x}}_{\cdot \cdot }={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{g}\sum _{j=1}^{n_{i}}x_{ij},}$

donde g es el número de grupos, n _i es el número de observaciones (números) en el grupo i , y N es el número total de observaciones, a saber:

${\displaystyle N=n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{g}.}$

De manera similar, la media del grupo i viene dada por

${\displaystyle {\bar {x}}_{i\cdot }={\frac {1}{n_{i}}}\sum _{j=1}^{n_{i}}x_{ij}.}$

Escrita, esta suma es${\displaystyle {\bar {x}}_{i\cdot }={\frac {1}{n_{i}}}(x_{i1}+x_{i2}+\cdots +x_{in_{i}}).}$

La media general se puede calcular a partir de las medias de grupo mediante

${\displaystyle {\bar {x}}_{\cdot \cdot }={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{g}n_{i}{\bar {x}}_{i\cdot }}$.

Esto puede considerarse como un promedio ponderado de las medias del grupo, donde el peso asignado a la i- ésima media es${\displaystyle n_{i}/N}$En general, la media general no es un promedio simple de las medias de los grupos individuales. Por ejemplo, en el ejemplo inicial anterior , el promedio (sin ponderar) de las medias de los tres grupos es (4 + 7,25 + 2)/3 = 4,4166..., mientras que la media general es 5.

Sin embargo, hay un caso en el que la media general se puede calcular como el promedio simple de las medias de los grupos, a saber, cuando todos los grupos tienen el mismo tamaño, es decir, cuando${\displaystyle n_{1}=n_{2}=\cdots =n_{g}.}$ Esto se deduce fácilmente de la fórmula anterior.

Ejemplo Supongamos que los datos consisten en tres grupos de igual tamaño: el grupo A tiene 2, 6, 7, 11, 4; el grupo B tiene 4, 6, 8, 14, 8; el grupo C tiene 8, 7, 4, 1, 5.

La media del grupo A = (2+6+7+11+4)/5 = 6,

La media del grupo B = (4+6+8+14+8)/5 = 8,

La media del grupo C = (8+7+4+1+5)/5 = 5,

Por lo tanto, la media general de todos los números = (6+8+5)/3 = 6,333..., como se podría calcular promediando los 15 valores agrupados.

Para evitar posibles confusiones, el término "media general" nunca se utiliza para referirse al promedio de las medias de los grupos individuales.

• Varianza combinada