Máximo y mínimo de la muestra

Para un conjunto de muestras, la función de máximo no es suave y, por lo tanto, no es diferenciable. En los problemas de optimización que se presentan en estadística, a menudo es necesario aproximarla mediante una función suave cercana al máximo del conjunto.

Un máximo suave , por ejemplo,

g ( x ₁ , x ₂ , …, x _n ) = log( exp( x ₁ ) + exp( x ₂ ) + … + exp( x _n ) )

es una buena aproximación del máximo de la muestra.

El valor máximo y mínimo de la muestra son estadísticas descriptivas básicas que muestran las observaciones más extremas y se utilizan en el resumen de cinco números y en una versión del resumen de siete números y el diagrama de caja asociado .

El valor máximo y mínimo de la muestra proporcionan un intervalo de predicción no paramétrico : en una muestra de una población, o más generalmente de una secuencia intercambiable de variables aleatorias, cada observación tiene la misma probabilidad de ser el máximo o el mínimo.

Por lo tanto, si uno tiene una muestra${\displaystyle \{X_{1},\dots ,X_{n}\},}$y uno elige otra observación${\displaystyle X_{n+1},}$entonces esto tiene${\displaystyle 1/(n+1)}$probabilidad de ser el valor más grande visto hasta ahora,${\displaystyle 1/(n+1)}$probabilidad de ser el valor más pequeño visto hasta ahora y, por lo tanto, el otro${\displaystyle (n-1)/(n+1)}$de la época,${\displaystyle X_{n+1}}$cae entre el máximo de la muestra y el mínimo de la muestra de${\displaystyle \{X_{1},\dots ,X_{n}\}.}$ Así, denotando el máximo y el mínimo de la muestra por M y m, esto produce un${\displaystyle (n-1)/(n+1)}$intervalo de predicción de [ m , M ].

Por ejemplo, si n  =  19, entonces [ m , M ] proporciona un intervalo de predicción del 90 % (18/20 = 90 %), lo que significa que en el 90 % de los casos, la vigésima observación se encuentra entre la observación más pequeña y la más grande registradas hasta el momento. De igual manera, n  =  39 proporciona un intervalo de predicción del 95 %, y n  =  199 proporciona un intervalo de predicción del 99 %.

Debido a su sensibilidad a los valores atípicos, los extremos de la muestra no pueden utilizarse de forma fiable como estimadores a menos que los datos estén limpios; entre las alternativas robustas se incluyen el primer y el último decil .

Sin embargo, con datos limpios o en entornos teóricos, a veces pueden resultar estimadores muy buenos, en particular para distribuciones platicúrticas , donde para conjuntos de datos pequeños el rango medio es el estimador más eficiente .

Sin embargo , son estimadores ineficientes de la ubicación para distribuciones mesocúrticas, como la distribución normal , y distribuciones leptocúrticas.

Los extremos de la muestra se pueden utilizar para una prueba de normalidad simple , específicamente de curtosis: se calcula el estadístico t del máximo y mínimo de la muestra (se resta la media de la muestra y se divide por la desviación estándar de la muestra ), y si son inusualmente grandes para el tamaño de la muestra (según la regla de las tres sigmas y la tabla correspondiente, o más precisamente una distribución t de Student ), entonces la curtosis de la distribución de la muestra se desvía significativamente de la de la distribución normal.

Por ejemplo, un proceso diario debería esperar un evento de 3σ una vez al año (en días naturales; una vez cada año y medio de días hábiles), mientras que un evento de 4σ ocurre en promedio cada 40 años naturales, 60 años hábiles (una vez en la vida), los eventos de 5σ ocurren cada 5000 años (una vez en la historia registrada) y los eventos de 6σ ocurren cada 1,5 millones de años (prácticamente nunca). Por lo tanto, si los extremos de la muestra están a 6 sigmas de la media, se produce un fallo significativo de normalidad.

Además, esta prueba es muy fácil de comunicar sin necesidad de utilizar estadísticas.

Estas pruebas de normalidad pueden aplicarse si se presenta riesgo de curtosis , por ejemplo.

Los valores extremos de las muestras desempeñan dos funciones principales en la teoría de valores extremos :

• En primer lugar, proporcionan un límite inferior para los eventos extremos: los eventos pueden ser al menos tan extremos y para este tamaño de muestra;
• En segundo lugar, a veces pueden utilizarse en estimadores de probabilidad de eventos más extremos.

Sin embargo, debe tenerse precaución al utilizar los valores extremos de las muestras como guía: en distribuciones con colas pesadas o en procesos no estacionarios , los eventos extremos pueden ser significativamente más extremos que cualquier evento observado previamente. Esto se explica con más detalle en la teoría del cisne negro .