Prueba de normalidad

En estadística , las pruebas de normalidad se utilizan para determinar si un conjunto de datos se ajusta bien a una distribución normal y para calcular la probabilidad de que una variable aleatoria subyacente al conjunto de datos tenga una distribución normal.

Más precisamente, las pruebas son una forma de selección de modelos y pueden interpretarse de varias maneras, dependiendo de las interpretaciones que se tengan de la probabilidad :

• En términos de estadística descriptiva , se mide la bondad de ajuste de un modelo normal a los datos; si el ajuste es deficiente, entonces los datos no están bien modelados en ese aspecto por una distribución normal, sin emitir ningún juicio sobre ninguna variable subyacente.
• En la estadística frecuentista, en las pruebas de hipótesis estadísticas , los datos se prueban contra la hipótesis nula de que siguen una distribución normal.
• En estadística bayesiana , no se "prueba la normalidad" propiamente dicha, sino que se calcula la probabilidad de que los datos provengan de una distribución normal con parámetros μ y σ dados (para todo μ y σ ), y se compara con la probabilidad de que los datos provengan de otras distribuciones consideradas, de la forma más sencilla utilizando un factor de Bayes (que proporciona la probabilidad relativa de observar los datos dados diferentes modelos), o de forma más precisa tomando una distribución previa sobre los posibles modelos y parámetros y calculando una distribución posterior dadas las probabilidades calculadas.

Una prueba de normalidad se utiliza para determinar si los datos de la muestra provienen de una población con distribución normal (dentro de cierto margen de tolerancia). Varias pruebas estadísticas, como la prueba t de Student y el análisis de varianza (ANOVA) unidireccional y bidireccional , requieren una población de muestra con distribución normal.

Un método informal para comprobar la normalidad consiste en comparar un histograma de los datos de la muestra con una curva de probabilidad normal. La distribución empírica de los datos (el histograma) debería tener forma de campana y asemejarse a la distribución normal. Esto puede resultar difícil de observar si la muestra es pequeña. En este caso, se podría proceder mediante una regresión de los datos con respecto a los cuantiles de una distribución normal con la misma media y varianza que la muestra. La falta de ajuste a la línea de regresión sugiere una desviación de la normalidad (véase el coeficiente de Anderson-Darling y Minitab).

Una herramienta gráfica para evaluar la normalidad es el gráfico de probabilidad normal , un gráfico cuantil-cuantil (gráfico QQ) de los datos estandarizados frente a la distribución normal estándar . En este gráfico, la correlación entre los datos de la muestra y los cuantiles normales (una medida de la bondad de ajuste) indica qué tan bien se ajustan los datos a una distribución normal. Para datos normales, los puntos representados en el gráfico QQ deberían caer aproximadamente sobre una línea recta, lo que indica una alta correlación positiva. Estos gráficos son fáciles de interpretar y, además, permiten identificar fácilmente los valores atípicos.

Una prueba simple de cálculo rápido toma el máximo y el mínimo de la muestra y calcula su puntuación z , o más propiamente el estadístico t (número de desviaciones estándar de la muestra que una muestra está por encima o por debajo de la media de la muestra), y lo compara con la regla 68-95-99.7 : si se tiene un evento de 3 σ (propiamente, un evento de 3 s ) y sustancialmente menos de 300 muestras, o un evento de 4 s y sustancialmente menos de 15 000 muestras, entonces una distribución normal subestimará la magnitud máxima de las desviaciones en los datos de la muestra.

Esta prueba resulta útil en casos donde existe riesgo de curtosis (donde las grandes desviaciones importan) y tiene la ventaja de ser muy fácil de calcular y comunicar: quienes no son estadísticos pueden comprender fácilmente que los eventos de 6 σ son muy raros en las distribuciones normales.

Las pruebas de normalidad univariada incluyen las siguientes:

• Prueba K-cuadrada de D'Agostino ,
• Prueba de Jarque-Bera ,
• Prueba de Anderson-Darling ,
• Criterio de Cramér-von Mises ,
• Prueba de Kolmogorov-Smirnov : esta prueba solo funciona si se asume que la media y la varianza de la distribución normal son conocidas bajo la hipótesis nula,
• Prueba de Lilliefors : basada en la prueba de Kolmogorov-Smirnov, ajustada para cuando también se estima la media y la varianza a partir de los datos,
• prueba de Shapiro-Wilk y
• Prueba de chi-cuadrado de Pearson .

Un estudio de 2011 concluye que la prueba de Shapiro-Wilk tiene la mejor potencia para un nivel de significancia dado, seguida de cerca por la de Anderson-Darling al comparar las pruebas de Shapiro-Wilk, Kolmogorov-Smirnov, Lilliefors y Anderson-Darling. ^{[ 1 ]}

Algunos trabajos publicados recomiendan la prueba de Jarque-Bera, ^{[ 2 ] [ 3 ]} pero esta prueba tiene limitaciones. En particular, la prueba tiene baja potencia para distribuciones con colas cortas, especialmente para distribuciones bimodales. ^{[ 4 ]} Algunos autores han optado por no incluir sus resultados en sus estudios debido a su bajo rendimiento general. ^{[ 5 ]}

Históricamente, los momentos estandarizados tercero y cuarto ( asimetría y curtosis ) fueron algunas de las primeras pruebas de normalidad. La prueba de Lin-Mudholkar se centra específicamente en alternativas asimétricas. ^{[ 6 ]} La prueba de Jarque-Bera se deriva a su vez de las estimaciones de asimetría y curtosis . Las pruebas multivariadas de asimetría y curtosis de Mardia generalizan las pruebas de momentos al caso multivariado. ^{[ 7 ]} Otras estadísticas de prueba tempranas incluyen la razón entre la desviación absoluta media y la desviación estándar, y entre el rango y la desviación estándar. ^{[ 8 ]}

Entre las pruebas de normalidad más recientes se incluyen la prueba de energía ^{[ 9 ]} (Székely y Rizzo) y las pruebas basadas en la función característica empírica (FCE) (p. ej., Epps y Pulley, ^{[ 10 ]} Henze-Zirkler, ^{[ 11 ]} prueba BHEP ^{[ 12 ]} ). Las pruebas de energía y FCE son pruebas potentes que se aplican para comprobar la normalidad univariada o multivariada y son estadísticamente consistentes frente a alternativas generales.

La distribución normal tiene la mayor entropía de todas las distribuciones para una desviación estándar dada. Existen varias pruebas de normalidad basadas en esta propiedad, la primera atribuible a Vasicek. ^{[ 13 ]}

Las divergencias de Kullback-Leibler entre las distribuciones posteriores completas de la pendiente y la varianza no indican falta de normalidad. Sin embargo, la razón de las esperanzas de estas distribuciones posteriores y la esperanza de las razones dan resultados similares al estadístico de Shapiro-Wilk, excepto para muestras muy pequeñas, cuando se utilizan distribuciones previas no informativas. ^{[ 14 ]}

Spiegelhalter sugiere utilizar un factor de Bayes para comparar la normalidad con una clase diferente de alternativas de distribución. ^{[ 15 ]} Este enfoque ha sido ampliado por Farrell y Rogers-Stewart. ^{[ 16 ]}

Una aplicación de las pruebas de normalidad es a los residuos de un modelo de regresión lineal . ^{[ 17 ]} Si no presentan una distribución normal, los residuos no deben utilizarse en pruebas Z ni en ninguna otra prueba derivada de la distribución normal, como las pruebas t , las pruebas F y las pruebas chi-cuadrado . Si los residuos no presentan una distribución normal, la variable dependiente o al menos una variable explicativa puede tener una forma funcional incorrecta, o pueden faltar variables importantes, etc. Corregir uno o más de estos errores sistemáticos puede producir residuos con distribución normal; en otras palabras, la falta de normalidad de los residuos suele ser una deficiencia del modelo más que un problema de datos. ^{[ 18 ]}

• Prueba de aleatoriedad
• Resumen de siete números

• Ralph B. D'Agostino (1986). «Pruebas para la distribución normal». En D'Agostino, RB; Stephens, MA (eds.). Técnicas de bondad de ajuste . Nueva York: Marcel Dekker. ISBN 978-0-8247-7487-5.

• Henry C. Thode, Jr. (2002). Pruebas de normalidad . Nueva York: Marcel Dekker, Inc. pp  . 479. ISBN 978-0-8247-9613-6.