Análisis de varianza bidireccional

En estadística , el análisis de varianza bidireccional ( ANOVA ) se utiliza para estudiar cómo dos variables independientes categóricas afectan a una variable dependiente continua . ^{[ 1 ]} Extiende el análisis de varianza unidireccional (ANOVA unidireccional) al permitir que ambos factores se analicen simultáneamente. Un ANOVA bidireccional evalúa el efecto principal de cada variable independiente y si existe alguna interacción entre ellas. ^{[ 1 ]}

Los investigadores utilizan esta prueba para determinar si dos factores actúan de forma independiente o combinada para influir en una variable dependiente . Se utiliza en los campos de la psicología , la agricultura , la educación y la investigación biomédica . ^{[ 2 ]} Por ejemplo, se puede utilizar para estudiar cómo el tipo de fertilizante y el nivel de agua afectan conjuntamente el crecimiento de las plantas. El análisis produce estadísticos F que indican si las diferencias observadas entre grupos son estadísticamente significativas. ^{[ 3 ] [ 2 ]}

El análisis de varianza bidireccional se desarrolló a principios del siglo XX durante el auge del diseño experimental moderno . ^{[ 4 ]} En 1925, Ronald Fisher mencionó el ANOVA bidireccional en su libro Métodos estadísticos para investigadores (capítulos 7 y 8). A través de su trabajo, Fisher demostró que la variación en los resultados experimentales podía atribuirse a múltiples causas. ^{[ 4 ]}

En 1934, Frank Yates amplió el enfoque de Fisher proponiendo procedimientos computacionales para casos con tamaños de muestra desiguales (diseños desequilibrados). ^{[ 5 ]} Esto hizo que el método fuera más práctico para experimentos del mundo real. Investigaciones posteriores refinaron la teoría del ANOVA bidireccional, incluyendo una revisión de Yasunori Fujikoshi de 1993 que se centró en modelos con datos desequilibrados. ^{[ 3 ]}

Con el auge de la computación estadística a finales del siglo XX, el ANOVA bidireccional se generalizó en programas como SAS , SPSS y R. En 2005, Andrew Gelman propuso una nueva interpretación del ANOVA como modelo multinivel , ^{[ 2 ]} concibiéndolo como una forma de describir fuentes jerárquicas de variación en lugar de una simple prueba de hipótesis. Esta perspectiva sigue siendo influyente en la estadística moderna.

El desarrollo del ANOVA bidireccional sentó las bases para el análisis de datos factoriales. La siguiente sección describe cómo se organizan los datos para este tipo de análisis.

Consideremos un conjunto de datos en el que una variable dependiente puede verse influenciada por dos factores que son fuentes potenciales de variación. El primer factor tiene${\displaystyle I}$niveles (${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,I\}}$) y el segundo tiene${\displaystyle J}$niveles (${\displaystyle j\in \{1,\ldots ,J\}}$) . Cada combinación${\displaystyle (i,j)}$define un tratamiento, para un total de${\displaystyle I\times J}$tratamientos. El número de réplicas para el tratamiento${\displaystyle (i,j)}$yo denotado por${\displaystyle n_{ij}}$y dejar${\displaystyle k}$sea ​​el índice de la réplica en este tratamiento (${\displaystyle k\in \{1,\ldots ,n_{ij}\}}$) . ^{[ 1 ]}

A partir de estos datos, podemos construir una tabla de contingencia , donde

${\displaystyle n_{i+}=\sum _{j=1}^{J}n_{ij}}$y${\displaystyle n_{+j}=\sum _{i=1}^{I}n_{ij}}$,

y el número total de réplicas es igual a

${\displaystyle n=\sum _ {i,j}n_ {ij}=\sum _ {i}n_ {i+} =\ sum _ {j}n_ {+j}}$. ^{[ 1 ]}

La distribución de las observaciones entre los tratamientos determina si el diseño es equilibrado o desequilibrado. El diseño experimental es equilibrado si cada tratamiento tiene el mismo número de réplicas, K. En estos casos, el diseño es ortogonal, lo que permite distinguir los efectos de ambos factores de forma independiente. Por lo tanto,

${\displaystyle \forall i,j\;n_{ij}=K}$,

y

${\displaystyle \forall i,j\;n_{ij}={\frac {n_{i+}\cdot n_{+j}}{n}}}$.

Consideremos un estudio agrícola que examina cómo el tipo de fertilizante (factor A) y el nivel de riego (factor B) influyen en el crecimiento de las plantas. Cada combinación de fertilizante y riego representa un tratamiento, y se miden varias plantas dentro de cada grupo como réplicas:

Esta tabla muestra un diseño bidireccional típico donde las filas representan un factor, las columnas otro y cada celda una combinación de tratamientos. Este diseño constituye la base para analizar cómo ambos factores y sus interacciones afectan a la variable dependiente.

Esta estructura de datos constituye la base del modelo estadístico utilizado en un ANOVA bidireccional. Al definir matemáticamente cada combinación de tratamientos, el modelo puede describir cómo los factores y sus interacciones influyen en la variable de respuesta.

Al observar la variación entre todos${\displaystyle n}$puntos de datos, por ejemplo mediante un histograma , " la probabilidad puede usarse para describir dicha variación". ^{[ 6 ]} Denotemos por lo tanto por${\displaystyle Y_{ijk}}$la variable aleatoria cuyo valor observado${\displaystyle y_{ijk}}$es el${\displaystyle k}$-ésima medida para el tratamiento${\displaystyle (i,j)}$. El modelo ANOVA bidireccional modela todas estas variables como si variaran de forma independiente y normal alrededor de una media,${\displaystyle \mu _{ij}}$, con una varianza constante,${\displaystyle \sigma ^{2}}$( homoscedasticidad ): ^{[ 6 ]}

${\displaystyle Y_{ijk}\,|\,\mu _{ij},\sigma ^{2}\;{\overset {\mathrm {iid} }{\sim }}\;{\mathcal {N}}(\mu _{ij},\sigma ^{2})}$.

Específicamente, la media de la variable de respuesta se modela como una combinación lineal de las variables explicativas:

${\displaystyle \mu _{ij}=\mu +\alpha _{i}+\beta _{j}+\gamma _{ij}}$,

Dónde:

• ${\displaystyle \mu }$es la media general de todas las observaciones
• ${\displaystyle \alpha _{i}}$es el efecto principal del nivel i del primer factor
• ${\displaystyle \beta _{j}}$es el efecto principal del nivel j del segundo factor
• ${\displaystyle \gamma _{ij}}$es el efecto de interacción, que representa cómo la combinación de los dos factores se desvía de la suma de sus efectos individuales.

Otra forma equivalente de describir el ANOVA bidireccional es mencionar que, además de la variación explicada por los factores, queda algo de ruido estadístico . Esta cantidad de variación no explicada se maneja mediante la introducción de una variable aleatoria por punto de datos.${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$, llamado error . ^{[ 6 ]} Estos${\displaystyle n}$Las variables aleatorias se consideran desviaciones de la media y se supone que son independientes y siguen una distribución normal:

${\displaystyle Y_{ijk}=\mu _{ij}+\epsilon _{ijk}{\text{ with }}\epsilon _{ijk}{\overset {\mathrm {i.i.d.} }{\sim }}{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}$. ^{[ 6 ]}

El modelo matemático se basa en varias suposiciones para garantizar su validez. Estas suposiciones vinculan la formulación teórica del ANOVA con las condiciones necesarias para una interpretación precisa de los resultados.

La validez de un ANOVA bidireccional depende de varias suposiciones sobre el modelo y los datos. Estas condiciones garantizan que las pruebas estadísticas utilizadas para comparar los efectos de los factores sean fiables y que los resultados puedan interpretarse de manera significativa. Siguiendo a Gelman y Hill , las suposiciones del ANOVA, y más generalmente del modelo lineal general , son, en orden decreciente de importancia: ^{[ 7 ]}

1. Relevancia de los datos: Los datos deben representar la cuestión que se investiga. Por ejemplo, en el estudio de fertilización e irrigación, las mediciones del crecimiento de las plantas deben reflejar directamente los tratamientos que se comparan, y no variaciones no relacionadas como diferencias en el suelo o errores de medición.
2. Aditividad y linealidad: La media de la variable de respuesta se ve influenciada de forma aditiva y lineal por los factores, salvo que se incluya un término de interacción. Esto significa que los efectos de cada factor se combinan para predecir el resultado, y las desviaciones de la aditividad están representadas por el término de interacción.
3. Independencia de los errores: los errores (o residuos) deben ser independientes entre las observaciones. En el ejemplo de riego con fertilizantes, el crecimiento de una planta no debería influir en la medición del crecimiento de otra. De lo contrario, se incumple el supuesto de independencia.
4. Homogeneidad de la varianza: La varianza de la variable dependiente debe ser aproximadamente igual en todas las combinaciones de tratamientos ( homocedasticidad ). ^{[ 1 ]} Esto garantiza que ningún grupo influya desproporcionadamente en los resultados generales.
5. Normalidad de los residuos: Los residuos dentro de cada combinación de tratamientos deben seguir una distribución aproximadamente normal . ^{[ 1 ]} Este supuesto permite realizar pruebas F válidas e intervalos de confianza en muestras pequeñas, aunque el ANOVA es robusto ante desviaciones moderadas de la normalidad cuando el tamaño de la muestra es grande. ^{[ 6 ]}

Las violaciones de estos supuestos pueden distorsionar las pruebas de significancia al aumentar las tasas de error de tipo I o reducir la potencia estadística . ^{[ 1 ]} Cuando no se cumplen estas condiciones, los investigadores pueden aplicar transformaciones de datos, usar pruebas no paramétricas o adoptar un modelo lineal generalizado para ajustarse mejor a los datos.

Una vez que se cumplen razonablemente estos supuestos, se pueden estimar los parámetros del modelo para cuantificar los efectos principales y de interacción de los factores.

Una vez que se cumplen estos supuestos, se pueden establecer los parámetros del modelo. La estimación de parámetros cuantifica las contribuciones de cada factor y su interacción dentro del análisis general.

Tras verificar que los datos cumplen con los supuestos del ANOVA (por ejemplo, normalidad y varianza igual), el siguiente paso es estimar los parámetros del modelo . El objetivo de la estimación de parámetros es encontrar los valores que mejor describan cómo los factores y su interacción afectan al resultado.

Para garantizar la identificabilidad de los parámetros en un modelo ANOVA bidireccional, normalmente se imponen restricciones de suma cero a los efectos de los factores:

${\displaystyle \sum _{i}\alpha _{i}=\sum _{j}\beta _{j}=\sum _{i}\gamma _{ij}=\sum _{j}\gamma _{ij}=0}$

Estas restricciones eliminan la superposición de parámetros, lo que permite estimar adecuadamente los efectos principales y de interacción.

En un diseño equilibrado (donde cada grupo o combinación de tratamiento tiene el mismo número de muestras), los valores de cada factor y su interacción pueden estimarse utilizando la respuesta promedio de cada celda y las medias generales. Bajo el supuesto de errores con distribución normal , estas estimaciones de mínimos cuadrados (LS) son iguales a las estimaciones de máxima verosimilitud . ^{[ 3 ]}

En diseños desequilibrados (donde los tamaños de muestra difieren), las estimaciones dependen del sistema de restricciones utilizado. Existen varios sistemas de ponderación, incluyendo las restricciones C , UV y W , que varían en cómo manejan los tamaños de grupo desiguales. Entre estos, el enfoque de restricción W , donde los pesos son proporcionales al número de observaciones en cada celda, suele ser el preferido porque produce estimaciones de parámetros más claras e interpretables y preserva propiedades estadísticas como la ortogonalidad cuando es posible. ^{[ 3 ]}

En el ANOVA bidireccional clásico, la prueba de hipótesis se utiliza para determinar si alguno de los factores, o su interacción , influye significativamente en la variable dependiente . Esto se logra dividiendo la variación total de los datos en partes, llamadas suma de cuadrados , que corresponden a:

1. Factor A (efecto principal)
2. Factor B (efecto principal)
3. La interacción A x B
4. Error aleatorio ( variación residual )

Cada suma de cuadrados representa cuánta variación en los datos es explicada por esa fuente.

Las hipótesis nulas para estas pruebas establecen que cada efecto es igual a cero. Es decir, ni el factor ni su interacción influyen en el resultado. Las hipótesis nulas correspondientes son:

• ${\displaystyle H_{0}^{(A)}:\alpha _{i}=0\ \forall i}$
• ${\displaystyle H_{0}^{(B)}:\beta _{j}=0\ \forall j}$
• ${\displaystyle H_{0}^{(AB)}:\gamma _{ij}=0\ \forall i,j}$

La práctica estándar recomienda probar primero el término de interacción . Si la interacción es estadísticamente significativa, indica que el impacto de un factor depende del nivel del otro factor, y la interpretación debe centrarse en los efectos simples dentro de cada nivel. ^{[ 1 ]}

Cuando el término de interacción no es significativo, es apropiado examinar los dos efectos principales por separado. En diseños desequilibrados, los resultados pueden variar ligeramente según el método utilizado para calcular las sumas de cuadrados . Los tres tipos más comunes son Tipo I (secuencial), Tipo II (jerárquico) y Tipo III (marginal). La mayoría de los programas de software estadístico utilizan sumas de cuadrados de Tipo III porque ajustan cada prueba para todos los demás factores del modelo, lo que facilita la interpretación de los resultados en la práctica. ^{[ 3 ] [ 8 ]}

Si bien el ANOVA bidireccional funciona mejor con tamaños de muestra iguales, los experimentos de la vida real a menudo presentan tamaños de grupo desiguales, lo que resulta en un diseño desequilibrado. Cuando el número de observaciones difiere entre las combinaciones de tratamientos, el ANOVA bidireccional deja de ser ortogonal , lo que significa que la variación explicada por un factor ya no es completamente independiente del otro. ^{[ 3 ]} Esto dificulta la separación e interpretación de los efectos de cada factor.

En estos casos, se pueden aplicar dos enfoques:

• Eliminar la influencia de un factor antes de probar el otro ( efectos ajustados ).
• Ignorando el otro factor ( efectos no ajustados ). ^{[ 3 ]}

Estos dos métodos dan los mismos resultados solo cuando los tamaños de muestra son proporcionales en todos los niveles. Para la mayoría de los fines prácticos, los investigadores utilizan efectos ajustados para asegurar que la prueba de cada factor tenga en cuenta la variación ya explicada por el otro. ^{[ 3 ]}

El software estadístico moderno (por ejemplo, R , SPSS , SAS ) implementa esta lógica automáticamente, pero es esencial especificar qué tipo de suma de cuadrados se utilizó en los informes. En diseños equilibrados o proporcionales, todos los tipos producen resultados idénticos. ^{[ 9 ]}

El siguiente conjunto de datos hipotéticos ofrece un ejemplo sencillo de cómo el ANOVA bidireccional separa la variación total en componentes explicados por dos factores experimentales: tipo de fertilizante y condiciones ambientales. Las mediciones representan los rendimientos de las plantas obtenidos bajo diferentes combinaciones de fertilizante y condiciones ambientales.

A partir de estos resultados, la variación total (SS _Total ) se divide en sumas de cuadrados para cada factor principal, su interacción y el error aleatorio . La tabla resumen del ANOVA que se muestra a continuación indica cuánta variación se atribuye a cada fuente.

Finalmente, los valores F para cada efecto se calculan dividiendo el cuadrado medio del factor por el cuadrado medio del error:

${\displaystyle F_{A}={\frac {MS_{A}}{MS_{E}}},\quad F_{B}={\frac {MS_{B}}{MS_{E}}},\quad F_{A\times B}={\frac {MS_{A\times B}}{MS_{E}}}.}$

Si el término de interacción es significativo, indica que el tipo de fertilizante y el ambiente influyen en el rendimiento de forma combinada, y el siguiente paso sería comparar los efectos simples dentro de cada nivel. Si la interacción no es significativa, los dos efectos principales pueden interpretarse por separado. Este tipo de interpretación es estándar en biometría y diseño experimental . ^{[ 1 ] [ 9 ]}

• Análisis de varianza
• Prueba F ( incluye un ejemplo de ANOVA unidireccional )
• Modelo mixto
• Análisis multivariado de varianza (MANOVA)
• ANOVA unidireccional
• ANOVA de medidas repetidas
• Prueba de aditividad de Tukey