Análisis multivariado de varianza

En estadística , el análisis multivariado de varianza ( MANOVA ) es un procedimiento para comparar medias de muestras multivariadas . Como procedimiento multivariado, se utiliza cuando hay dos o más variables dependientes [ ^{1 ]} y a menudo va seguido de pruebas de significación que involucran variables dependientes individuales por separado ^{[ 2 ] .}

Sin relación con la imagen, las variables dependientes pueden ser k puntuaciones de satisfacción vital medidas en momentos consecutivos y p puntuaciones de satisfacción laboral medidas en momentos consecutivos. En este caso, existen k+p variables dependientes cuya combinación lineal sigue una distribución normal multivariada , presenta homogeneidad en la matriz de varianza-covarianza multivariada, una relación lineal, ausencia de multicolinealidad y ninguna de ellas contiene valores atípicos.

Asumir${\textstyle n}$${\textstyle q}$observaciones -dimensionales, donde la${\textstyle i}$la observación${\textstyle y_{i}}$se le asigna al grupo${\textstyle g(i)\in \{1,\dots ,m\}}$y se distribuye alrededor del centro del grupo.${\textstyle \mu ^{(g(i))}\in \mathbb {R} ^{q}}$con ruido gaussiano multivariado :$${\displaystyle y_{i}=\mu ^{(g(i))}+\varepsilon _{i}\quad \varepsilon _{i}{\overset {\text{iid}}{\sim }}{\mathcal {N}}_{q}(0,\Sigma )\quad {\text{ para }}i=1,\dots ,n,}$$dónde${\textstyle \Sigma }$es la matriz de covarianza . Entonces formulamos nuestra hipótesis nula como $${\displaystyle H_{0}\!:\;\mu ^{(1)}=\mu ^{(2)}=\dots =\mu ^{(m)}.}$$

MANOVA es una forma generalizada del análisis de varianza univariado (ANOVA), ^{[ 1 ]} aunque, a diferencia del ANOVA univariado , utiliza la covarianza entre las variables de resultado para probar la significancia estadística de las diferencias de medias.

Donde aparecen sumas de cuadrados en el análisis de varianza univariado, en el análisis de varianza multivariado aparecen ciertas matrices definidas positivas . Los elementos de la diagonal son del mismo tipo que las sumas de cuadrados que aparecen en el ANOVA univariado. Los elementos fuera de la diagonal son sumas de productos correspondientes. Bajo supuestos de normalidad sobre las distribuciones de error , la contraparte de la suma de cuadrados debida al error tiene una distribución de Wishart .

Primero, defina lo siguiente:${\textstyle n\times q}$matrices:

• ${\textstyle Y}$: donde el${\textstyle i}$La fila -ésima es igual a${\textstyle y_{i}}$

• ${\textstyle {\hat {Y}}}$: donde el${\textstyle i}$La fila -ésima es la mejor predicción dada la pertenencia al grupo.${\textstyle g(i)}$. Esa es la media de todas las observaciones en el grupo.${\textstyle g(i)}$:${\textstyle {\frac {1}{{\text{tamaño del grupo }}g(i)}}\sum _{k:g(k)=g(i)}y_{k}}$.

• ${\textstyle {\bar {Y}}}$: donde el${\textstyle i}$La fila -ésima es la mejor predicción dada la falta de información. Esa es la media empírica sobre todo${\textstyle n}$observaciones${\textstyle {\frac {1}{n}}\sum _ {k=1}^{n}y_ {k}}$

Luego la matriz${\textstyle S_{\text{modelo}}:=({\sombrero {Y}}-{\bar {Y}})^{T}({\sombrero {Y}}-{\bar {Y}})}$es una generalización de la suma de cuadrados explicada por el grupo, y${\textstyle S_{\text{res}}:=(Y-{\sombrero {Y}})^{T}(Y-{\sombrero {Y}})}$es una generalización de la suma residual de cuadrados . ^{[ 3 ] [ 4 ]} Nótese que alternativamente también se podría hablar de covarianzas cuando las matrices mencionadas anteriormente se escalan por 1/(n-1) ya que los estadísticos de prueba subsiguientes no cambian al multiplicar${\textstyle S_{\text{modelo}}}$y${\textstyle S_{\text{res}}}$por la misma constante distinta de cero.

Las estadísticas más comunes ^{[ 3 ] [ 5 ]} son ​​resúmenes basados ​​en las raíces (o valores propios).${\textstyle \lambda _{p}}$de la matriz${\textstyle A:=S_{\text{modelo}}S_{\text{res}}^{-1}}$

• Samuel Stanley Wilks${\displaystyle \Lambda _{\text{Wilks}}=\prod _{1,\ldots ,p}(1/(1+\lambda _{p}))=\det(I+A)^{-1}=\det(S_{\text{res}})/\det(S_{\text{res}}+S_{\text{model}})}$distribuido como lambda (Λ)
• el rastro de KC Sreedharan Pillai – MS Bartlett ,${\displaystyle \Lambda _{\text{Pillai}}=\sum _{1,\ldots ,p}(\lambda _{p}/(1+\lambda _{p}))=\operatorname {tr} (A(I+A)^{-1})}$^{[ 6 ]}
• el rastro Lawley – Hotelling ,${\displaystyle \Lambda _{\text{LH}}=\sum _{1,\ldots ,p}(\lambda _{p})=\operatorname {tr} (A)}$
• La raíz más grande de Roy (también llamada la raíz más grande de Roy ),${\displaystyle \Lambda _{\text{Roy}}=\max _{p}(\lambda _{p})}$

Continúa el debate sobre las ventajas de cada uno, ^{[ 1 ]} aunque la raíz mayor solo proporciona un límite de significancia que generalmente no tiene interés práctico. Una complicación adicional es que, excepto para la raíz mayor de Roy, la distribución de estas estadísticas bajo la hipótesis nula no es sencilla y solo puede aproximarse, salvo en algunos casos de baja dimensión. En ^{[ 7 ]} se derivó un algoritmo para la distribución de la raíz mayor de Roy bajo la hipótesis nula, mientras que en ^{[ 8 ]} se estudia la distribución bajo la alternativa.

La aproximación más conocida para lambda de Wilks fue derivada por CR Rao .

En el caso de dos grupos, todas las estadísticas son equivalentes y la prueba se reduce al estadístico T-cuadrado de Hotelling .

También se puede comprobar si existe un efecto de grupo tras ajustar por covariables. Para ello, siga el procedimiento anterior pero sustituya${\textstyle {\hat {Y}}}$con las predicciones del modelo lineal general , que contiene el grupo y las covariables, y sustituir${\textstyle {\bar {Y}}}$con las predicciones del modelo lineal general que contiene solo las covariables (y un intercepto). Entonces${\textstyle S_{\text{model}}}$son la suma adicional de cuadrados explicada al agregar la información de agrupación y${\textstyle S_{\text{res}}}$es la suma residual de cuadrados del modelo que contiene la agrupación y las covariables. ^{[ 4 ]}

Tenga en cuenta que, en caso de datos desequilibrados, el orden en que se añaden las covariables es importante.

La potencia de MANOVA se ve afectada por las correlaciones de las variables dependientes y por los tamaños del efecto asociados a dichas variables. Por ejemplo, cuando hay dos grupos y dos variables dependientes, la potencia de MANOVA es menor cuando la correlación es igual a la razón entre el tamaño del efecto estandarizado menor y el mayor. ^{[ 9 ]}

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