Función característica empírica

Dejar ${\displaystyle (X_{1},...,X_{n})}$sean variables aleatorias de valor real independientes e idénticamente distribuidas con una función característica común.${\displaystyle \varphi (t)}$. La función característica empírica (FCE) definida como

${\displaystyle \varphi _{n}(t)={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}e^{itX_{j}},}$

es un estimador insesgado y consistente de la función característica de la población correspondiente.${\displaystyle \varphi (t)}$, para cada${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$.

El ECF aparentemente hizo su debut en la página 342 del libro de texto clásico de Cramér (1946), ^{[ 1 ]} y luego como parte de las herramientas auxiliares para la estimación de densidad en Parzen (1962). ^{[ 2 ]} Casi una década después, el ECF se presenta como el principal objeto de investigación en dos líneas de aplicación separadas: En prensa (1972) ^{[ 3 ]} para la estimación de parámetros y en Heathcote (1972) ^{[ 4 ]} para pruebas de bondad de ajuste .

Desde entonces, se ha producido una vasta expansión de los métodos de inferencia estadística basados ​​en la ECF. Para revisiones de los métodos de estimación basados ​​en la ECF, se remite al lector a Csörgő (1984a), ^{[ 5 ]} Rémillard y Theodorescu (2001), ^{[ 6 ]} Yu (2004), ^{[ 7 ]} y Carrasco y Kotchoni (2017), ^{[ 8 ]} mientras que los procedimientos de prueba son revisados ​​por Csörgő (1984b), ^{[ 9 ]} Hušková y Meintanis (2008a), ^{[ 10 ]} Hušková y Meintanis (2008b), ^{[ 11 ]} y Meintanis (2016). ^{[ 12 ]} Ushakov (1999) ^{[ 13 ]} y Prakasa Rao (1987) ^{[ 14 ]} (capítulo 8) también son buenas fuentes de información sobre las propiedades límite del proceso ECF, así como sobre la estimación y las pruebas de bondad de ajuste a través del ECF.

Una de las líneas de investigación que merece mención especial es la prueba de independencia ECF mediante correlación de distancia , propuesta originalmente por Székely et al. (2007). ^{[ 15 ]} Este enfoque se ha vuelto extremadamente popular y actualmente se encuentra en pleno desarrollo. Remitimos a Edelmann et al. (2019) ^{[ 16 ]} y a Székely y Rizzo (2023) ^{[ 17 ]} para una revisión reciente sobre métodos de correlación de distancia.

Otra línea de investigación popular es la prueba de bondad de ajuste para distribuciones multivariadas, con especial énfasis en la prueba de normalidad multivariada; para más información sobre este tema, se remite al lector a la revisión de Ebner y Henze (2020). ^{[ 18 ]} Este enfoque de prueba de bondad de ajuste basada en ECF ha sido generalizado por Chen et al. (2022) ^{[ 19 ]} para probar el ajuste para distribuciones elípticas arbitrarias mediante una modificación de la prueba de dos muestras sugerida inicialmente por Meintanis (2005). ^{[ 20 ]}

Una descripción reciente de los métodos básicos de bondad de ajuste basados ​​en ECF para probar la simetría, la homogeneidad y la independencia se puede encontrar en Chen et al. (2019). ^{[ 21 ]}