Problemas y teoremas en análisis

Problemas y teoremas de análisis ( en alemán: Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis ) es un libro de problemas de análisis en dos volúmenesde George Pólya y Gábor Szegő . Publicado en 1925, los dos volúmenes se titulan (I) Series. Cálculo integral. Teoría de funciones. ; y (II) Teoría de funciones. Ceros. Polinomios. Determinantes. Teoría de números. Geometría .

Los volúmenes son muy apreciados por la calidad de sus problemas y su método de organización, no por tema sino por método de solución, con el objetivo de cultivar las habilidades de resolución de problemas del estudiante . Cada volumen contiene problemas al principio y soluciones (breves) al final. Como han señalado dos autores, «existe un consenso general entre los matemáticos de que el libro de problemas de dos volúmenes de Pólya-Szegő es el mejor escrito y más útil en la historia de las matemáticas». ^{[ 1 ]}^{: 59}

Fondo

Fue Pólya quien tuvo la idea de un libro de problemas completo en análisis primero, pero se dio cuenta de que no podría completarlo solo. Decidió escribirlo con Szegő, quien había sido amigo de Pólya desde 1913, cuando se conocieron en Budapest (en ese momento, Szegő tenía solo 17 años, mientras que Pólya era un investigador postdoctoral de 25). La carrera temprana de Szegő estuvo entrelazada con la de Pólya, sus dos primeros artículos trataban sobre problemas planteados por Pólya. ^{[ 3 ]}^{: 562}^{[ 1 ]}^{: 54}^{[ 4 ]}^{: 11} Sin embargo, Pólya creía que sus áreas de especialización eran suficientemente diferentes como para que la colaboración resultara fructífera. ^{[ 3 ]}^{: 562} Pólya y Szegő firmaron el contrato con Springer-Verlag para el libro en 1923 y se publicó en 1925. ^{[ 5 ]} Pólya escribió más tarde sobre el período en el que escribieron el libro:

Fue una época maravillosa; trabajamos con entusiasmo y concentración. Teníamos antecedentes similares. Ambos, como todos los demás jóvenes matemáticos húngaros de la época, fuimos influenciados por Leopold Fejér . Ambos leíamos la misma revista, la Revista Matemática Húngara, dirigida a estudiantes de secundaria, que hacía hincapié en la resolución de problemas. Nos interesaban el mismo tipo de preguntas y los mismos temas; pero uno de nosotros sabía más sobre un tema y el otro sobre otro. Fue una excelente colaboración. El libro Aufgaben und Lehrsatze aus der Analysis , fruto de nuestra cooperación, es mi mejor obra y también la mejor obra de Gábor Szegő. ^{[ 4 ]}^{: 11}

Escribir Problemas y Teoremas fue una experiencia intensa para ambos jóvenes matemáticos. Pólya era profesor en Zúrich y Szegő era profesor adjunto en Berlín , por lo que ambos tenían cargas de trabajo independientes. La esposa de Pólya temía que pudiera sufrir una crisis nerviosa. ^{[ 1 ]}^{: 60} Ambos también estaban amenazados por el auge del antisemitismo en Europa Central (Pólya y Szegő eran judíos húngaros). Las dificultades financieras, sumadas al pesimismo sobre su nombramiento en una universidad alemana, convencieron a Pólya de mudarse a Inglaterra en 1925. ^{[ 1 ]}^{: 61–63}^{[ 4 ]}^{: 23} Szegő tardó más en huir, y no abandonó Alemania hasta 1934, cuando Pólya y Harald Bohr lo convencieron de aceptar un puesto en la Universidad de Washington en San Luis . Para entonces, los nazis ya habían comenzado a purgar a los profesores judíos de las universidades alemanas. ^{[ 6 ]} Szegő y Pólya (quienes colaboraron poco después del libro de problemas) se reunieron en Estados Unidos en la década de 1950, en el departamento de matemáticas de la Universidad de Stanford . ^{[ 1 ]}^{: 62}

Contenido

Aunque el título del libro se refiere únicamente al análisis, contiene una amplia gama de problemas. Comienza en combinatoria y rápidamente se ramifica desde el análisis matemático a la teoría de números , la geometría , el álgebra lineal e incluso algo de física . ^{[ 4 ]}^{: 23–24} Los temas específicos tratados dan testimonio de los intereses especiales de Pólya ( regla de signos de Descartes , teorema de enumeración de Pólya ), Szegö (polinomios, polinomios trigonométricos y su propio trabajo en polinomios ortogonales ) y a veces ambos (los ceros de polinomios y funciones analíticas , análisis complejo en general). ^{[ 4 ]}^{: 25–27} Muchos de los problemas del libro no son nuevos y sus soluciones incluyen referencias a sus fuentes originales. ^{[ 7 ]}^{: xii–xiii, xvii–xviii} La sección de geometría (IX) contiene muchos problemas aportados por Loewner (en geometría diferencial ) y Hirsch (en geometría algebraica ). ^{[ 4 ]}^{: 27}

El libro fue único en su momento debido a su organización, menos por tema y más por método de solución, así dispuesto para desarrollar las habilidades de resolución de problemas del estudiante. El prefacio del libro contiene algunas observaciones sobre la resolución general de problemas y la heurística matemática que anticipan los trabajos posteriores de Pólya sobre ese tema ( Matemáticas y razonamiento plausible , Cómo resolverlo ). ^{[ 4 ]}^{: 23-24} Ambos realizaron sesiones prácticas, en las que se plantearon problemas a estudiantes universitarios y se resolvieron en clase (con algunos de los problemas representativos resueltos por el profesor y los problemas más difíciles asignados como tarea). Avanzaron por partes del libro a un ritmo de aproximadamente un capítulo por semestre. ^{[ 7 ]}^{: xi-xii}

Un ejemplo típico de la progresión de preguntas en Problemas y Teoremas de Análisis lo proporcionan las tres primeras preguntas del volumen I (de la edición estadounidense):

1. ¿De cuántas maneras diferentes puedes cambiar un dólar? Es decir, ¿de cuántas maneras diferentes puedes pagar 100 centavos usando cinco tipos diferentes de monedas: centavos, monedas de cinco centavos, monedas de diez centavos, monedas de veinticinco centavos y monedas de cincuenta centavos (con un valor de 1, 5, 10, 25 y 50 centavos, respectivamente)?
2. Sea n un número entero no negativo y sea $A_{n}$ denota el número de soluciones de la ecuación diofántica $x+5y+10z+25u+50v=n$ en enteros no negativos. Entonces la serie $A_{0}+A_{1}\zeta +A_{2}\zeta ^{2}+\cdots +A_{n}\zeta ^{n}+\cdots$ representa una función racional de $\zeta$ Encuéntralo.
3. ¿De cuántas maneras se pueden colocar los sellos necesarios en una fila en una carta enviada por correo aéreo dentro de los EE. UU., usando sellos de 2, 4, 6 y 8 centavos? El franqueo es de 10 centavos. (Diferentes disposiciones del mismo valor se consideran diferentes maneras). ^{[ 7 ]}^{: 1}

La primera pregunta plantea un problema elemental de combinatoria; pero la segunda sugiere tanto una solución (utilizando funciones generadoras ) como una generalización. La tercera plantea otro problema de combinatoria que puede resolverse mediante funciones generadoras. De hecho, las preguntas 1 a 26 siguen el método de las funciones generadoras a través de otros ejemplos. ^{[ 4 ]}^{: 23} Áreas enteras de las matemáticas se desarrollan de esta manera. ^{[ 1 ]}^{: 55}

Se realizaron importantes adiciones en la traducción al inglés (publicada en 1972 y 1976), incluyendo nuevas secciones y referencias a otras obras de Pólya sobre resolución de problemas. ^{[ 4 ]}^{: 24–25}

Recepción

Richard Askey y Paul Nevai escribieron sobre el libro que, "hay un consenso general entre los matemáticos de que el libro de problemas de dos volúmenes de Pólya-Szegő es el mejor escrito y más útil en la historia de las matemáticas". ^{[ 1 ]}^{: 59} El libro ha tenido sus admiradores. Varios matemáticos eminentes ( Bernays , Courant , Fejér, E. Landau , F. Riesz , Toeplitz ) habían leído las pruebas de galera mientras la obra estaba en imprenta ^{[ 7 ]}^{: xii–xiii} y sus primeros críticos (F. Riesz de nuevo, Knopp , Tamarkin ), no mucho menos eminentes, fueron todos efusivos en sus elogios. ^{[ 1 ]}^{: 58–60} La cuidadosa pedagogía significó que los estudiantes de posgrado pudieron aprender análisis solo con Problemas y Teoremas . ^{[ 1 ]}^{: 58} Paul Erdős se acercó una vez a un joven matemático con un problema tomado del volumen II y anunció: "Le daré 10 dólares a China si puedes resolver este problema en diez minutos". ^{[ 4 ]}^{: 27}

Una traducción al ruso se publicó en 1937-38. Una traducción al inglés se publicó en 1972-76. ^{[ 4 ]}^{: 23}

Referencias

1 2 3 4 5 6 7 8 9 Alexanderson, Gerald L. (2000). Los paseos aleatorios de George Polya . La Asociación Matemática de América.
↑ Polya, George (1987). El álbum de fotos de Pólya: encuentros de un matemático . Birkhauser.
1 2 Alexanderson, GL; Lange, LH (1987). "Obituario: George Pólya". Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 19 (6): 559– 608. doi : 10.1112/blms/19.6.559 .
^ Szego , Gabor ( 1982 ) . Papeles recopilados . vol. 1. Birkhäuser.
↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (noviembre de 2002), "George Pólya" , Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (julio de 2014), "Gábor Szegő" , Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
1 2 3 4 Pólya, George; Szegö, Gabor (1972). Problemas y teoremas en análisis I. Traducido por Aeppli, D. Springer-Verlag.

[Walks-1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Alexanderson, Gerald L. (2000). Los paseos aleatorios de George Polya . La Asociación Matemática de América.

[2] Polya, George (1987). El álbum de fotos de Pólya: encuentros de un matemático . Birkhauser.

[PolyaObit-3] 1 2 Alexanderson, GL; Lange, LH (1987). "Obituario: George Pólya". Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 19 (6): 559– 608. doi : 10.1112/blms/19.6.559 .

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[PolyaMT-5] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (noviembre de 2002), "George Pólya" , Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews

[SzegoMT-6] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (julio de 2014), "Gábor Szegő" , Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews

[PTA1-7] 1 2 3 4 Pólya, George; Szegö, Gabor (1972). Problemas y teoremas en análisis I. Traducido por Aeppli, D. Springer-Verlag.

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