Análisis de Clifford

El análisis de Clifford , que utiliza las álgebras de Clifford llamadas así por William Kingdon Clifford , es el estudio de los operadores de Dirac y los operadores de tipo Dirac en análisis y geometría, junto con sus aplicaciones. Los ejemplos de operadores de tipo Dirac incluyen, pero no se limitan a, el operador de Hodge-Dirac, en una variedad de Riemann , el operador de Dirac en el espacio euclidiano y su inverso en y sus equivalentes conformes en la esfera, el laplaciano en el espacio n euclidiano y el operador de Atiyah -Singer-Dirac en una variedad de espín , operadores de tipo Rarita-Schwinger/Stein-Weiss, laplacianos conformes, laplacianos espinoriales y operadores de Dirac en variedades de espín ^C , sistemas de operadores de Dirac, el operador de Paneitz , los operadores de Dirac en el espacio hiperbólico , el laplaciano hiperbólico y las ecuaciones de Weinstein. ${\displaystyle d+{\star }d{\star }}$${\displaystyle C_{0}^{\infty}(\mathbf {R} ^{n})}$

En el espacio euclidiano el operador de Dirac tiene la forma

${\displaystyle D=\sum _{j=1}^{n}e_{j}{\frac {\parcial }{\parcial x_{j}}}}$

donde e ₁ , ..., e _n es una base ortonormal para R ⁿ , y se considera que R ⁿ está incluido en un álgebra de Clifford compleja , Cl _n ( C ) de modo que e _j ² = −1 .

Esto da

${\displaystyle D^{2}=-\Delta _{n}}$

donde Δ _n es el Laplaciano en el espacio n -euclidiano.

La solución fundamental del operador de Dirac euclidiano es

${\displaystyle G(x-y):={\frac {1}{\omega _{n}}}{\frac {x-y}{\|x-y\|^{n}}}}$

donde ω _n es el área superficial de la esfera unitaria S ^{n −1} .

Tenga en cuenta que

${\displaystyle D{\frac {1}{(n-2)\omega _{n}\|x-y\|^{n-2}}}=G(x-y)}$

dónde

${\displaystyle {\frac {1}{(n-2)\;\omega _{n}\;\|x-y\|^{n-2}}}}$

es la solución fundamental de la ecuación de Laplace para n ≥ 3 .

El ejemplo más básico de un operador de Dirac es el operador de Cauchy-Riemann.

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}}$

en el plano complejo. De hecho, muchas propiedades básicas del análisis complejo de una variable se cumplen para muchos operadores de tipo Dirac de primer orden. En el espacio euclidiano, esto incluye un teorema de Cauchy , una fórmula integral de Cauchy , el teorema de Morera , la serie de Taylor , la serie de Laurent y el teorema de Liouville . En este caso, el núcleo de Cauchy es G ( x − y ). La prueba de la fórmula integral de Cauchy es la misma que en una variable compleja y hace uso del hecho de que cada vector x distinto de cero en el espacio euclidiano tiene un inverso multiplicativo en el álgebra de Clifford, a saber

${\displaystyle -{\frac {x}{\|x\|^{2}}}\in \mathbf {R} ^{n}.}$

Hasta un signo, esta inversa es la inversa de Kelvin de x . Las soluciones de la ecuación euclidiana de Dirac Df = 0 se denominan funciones monogénicas (izquierda). Las funciones monogénicas son casos especiales de espinores armónicos en una variedad de espín .

En 3 y 4 dimensiones, el análisis de Clifford se denomina a veces análisis cuaterniónico . Cuando n = 4 , el operador de Dirac se denomina a veces operador de Cauchy-Riemann-Fueter. Además, algunos aspectos del análisis de Clifford se denominan análisis hipercomplejo.

El análisis de Clifford tiene análogos de las transformadas de Cauchy, los núcleos de Bergman , los núcleos de Szegő , los operadores de Plemelj, los espacios de Hardy , una fórmula de Kerzman-Stein y una transformada Π o de Beurling-Ahlfors . Todos ellos han encontrado aplicaciones en la resolución de problemas de valores en la frontera , incluidos problemas de valores en la frontera móviles, integrales singulares y análisis armónico clásico . En particular, el análisis de Clifford se ha utilizado para resolver, en ciertos espacios de Sobolev , el problema completo de las ondas de agua en 3D. Este método funciona en todas las dimensiones mayores que 2.

Gran parte del análisis de Clifford funciona si reemplazamos el álgebra compleja de Clifford por un álgebra de Clifford real , Cl _n . Sin embargo, este no es el caso cuando necesitamos lidiar con la interacción entre el operador de Dirac y la transformada de Fourier .

Cuando consideramos el semiespacio superior R ^{n ,+} con borde R ^{n −1} , el espacio de e ₁ , ..., e _{n −1} , bajo la transformada de Fourier el símbolo del operador de Dirac

${\displaystyle D_{n-1}=\sum _{j=1}^{n-1}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$

es iζ donde

${\displaystyle \zeta =\zeta _{1}e_{1}+\cdots +\zeta _{n-1}e_{n-1}.}$

En este contexto, las fórmulas de Plemelj son

${\displaystyle \pm {\tfrac {1}{2}}+G(x-y)|_{\mathbf {R} ^{n-1}}}$

y los símbolos para estos operadores son, hasta un signo,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1\pm i{\frac {\zeta }{\|\zeta \|}}\right).}$

Estos son operadores de proyección, también conocidos como idempotentes mutuamente aniquilantes, en el espacio de funciones integrables al cuadrado con valor Cl _n ( C ) en R ^{n −1} .

Tenga en cuenta que

${\displaystyle G|_{\mathbf {R} ^{n}}=\sum _{j=1}^{n-1}e_{j}R_{j}}$

donde R _j es el j -ésimo potencial de Riesz,

${\displaystyle {\frac {x_{j}}{\|x\|^{n}}}.}$

Como el símbolo de es ${\displaystyle G|_{\mathbf {R} ^{n}}}$

${\displaystyle {\frac {i\zeta }{\|\zeta \|}}}$

Se determina fácilmente a partir de la multiplicación de Clifford que

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n-1}R_{j}^{2}=1.}$

Por lo tanto, el operador de convolución es una generalización natural al espacio euclidiano de la transformada de Hilbert . ${\displaystyle G|_{\mathbf {R} ^{n}}}$

Supóngase que U ′ es un dominio en R ^{n −1} y g ( x ) es una función analítica real con valor Cl _n ( C ) . Entonces g tiene una extensión de Cauchy–Kovalevskaia a la ecuación de Dirac en algún entorno de U ′ en R ⁿ . La extensión está dada explícitamente por

${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }\left(x_{n}e_{n}^{-1}D_{n-1}\right)^{j}g(x).}$

Cuando esta extensión se aplica a la variable x en

${\displaystyle e^{-i\langle x,\zeta \rangle }\left({\tfrac {1}{2}}\left(1\pm i{\frac {\zeta }{\|\zeta \|}}\right)\right)}$

lo entendemos

${\displaystyle e^{-i\langle x,\zeta \rangle }}$

es la restricción a R ^{n −1} de E ₊  +  E ₋ donde E ₊ es una función monogénica en el espacio de la mitad superior y E ₋ es una función monogénica en el espacio de la mitad inferior.

También existe un teorema de Paley-Wiener en el espacio n -euclidiano que surge del análisis de Clifford.

Muchos operadores de tipo Dirac tienen una covarianza bajo un cambio conforme en la métrica. Esto es cierto para el operador de Dirac en el espacio euclidiano y el operador de Dirac en la esfera bajo transformaciones de Möbius. En consecuencia, esto es cierto para los operadores de Dirac en variedades planas conformes y variedades conformes que son simultáneamente variedades de espín .

La transformada de Cayley o proyección estereográfica de R ⁿ a la esfera unitaria S ⁿ transforma el operador de Dirac euclidiano en un operador de Dirac esférico D _S . Explícitamente

${\displaystyle D_{S}=x\left(\Gamma _{n}+{\frac {n}{2}}\right)}$

donde Γ _n es el operador esférico de Beltrami-Dirac

${\displaystyle \sum \nolimits _{1\leq i<j\leq n+1}e_{i}e_{j}\left(x_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}-x_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\right)}$

y x en S ⁿ .

La transformada de Cayley sobre el espacio n es

${\displaystyle y=C(x)=(e_{n+1}x+1)(x+e_{n+1})^{-1},\qquad x\in \mathbf {R} ^{n}.}$

Su inversa es

${\displaystyle x=(-e_{n+1}+1)(y-e_{n+1})^{-1}.}$

Para una función f ( x ) definida en un dominio U en el espacio n -euclidiano y una solución a la ecuación de Dirac , entonces

${\displaystyle J(C^{-1},y)f(C^{-1}(y))}$

es aniquilado por D _S , en C ( U ) donde

${\displaystyle J(C^{-1},y)={\frac {y-e_{n+1}}{\|y-e_{n+1}\|^{n}}}.}$

Más

${\displaystyle D_{S}(D_{S}-x)=\triangle _{S},}$

el operador laplaciano o de Yamabe conforme en S ⁿ . Explícitamente

${\displaystyle \triangle _{S}=-\triangle _{LB}+{\tfrac {1}{4}}n(n-2)}$

donde es el operador de Laplace–Beltrami en S ⁿ . El operador es, a través de la transformada de Cayley, conformemente equivalente al laplaciano euclidiano. También ${\displaystyle \triangle _{LB}}$${\displaystyle \triangle _{S}}$

${\displaystyle D_{s}(D_{S}-x)(D_{S}-x)(D_{S}-2x)}$

es el operador de Paneitz,

${\displaystyle -\triangle _{S}(\triangle _{S}+2),}$

en la n -esfera. Mediante la transformada de Cayley, este operador es conformemente equivalente al bi-Laplaciano, . Todos estos son ejemplos de operadores de tipo Dirac. ${\displaystyle \triangle _{n}^{2}}$

Una transformada de Möbius sobre un espacio n -euclidiano se puede expresar como

${\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}},}$

donde a , b , c y d ∈ Cl _n y satisfacen ciertas restricciones. La matriz 2 × 2 asociada se denomina matriz de Ahlfors–Vahlen. Si

${\displaystyle y=M(x)+{\frac {ax+b}{cx+d}}}$

y Df ( y ) = 0 entonces es una solución a la ecuación de Dirac donde ${\displaystyle J(M,x)f(M(x))}$

${\displaystyle J(M,x)={\frac {\widetilde {cx+d}}{\|cx+d\|^{n}}}}$

y ~ es un antiautomorfismo básico que actúa sobre el álgebra de Clifford . Los operadores D ^k , o Δ _n ^{k /2} cuando k es par, exhiben covarianzas similares bajo la transformada de Möbius, incluida la transformada de Cayley .

Cuando ax + b y cx + d son distintos de cero, ambos son miembros del grupo de Clifford .

Como

${\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}}={\frac {-ax-b}{-cx-d}}}$

entonces tenemos una elección de signo al definir J ( M , x ). Esto significa que para una variedad conformemente plana M necesitamos una estructura de espín en M para definir un fibrado de espinores en cuyas secciones podemos permitir que actúe un operador de Dirac. Ejemplos explícitos simples incluyen el n -cilindro, la variedad de Hopf obtenida a partir del espacio n -euclidiano menos el origen y generalizaciones de toros manejados por k obtenidos a partir del semiespacio superior al factorizarlo mediante acciones de grupos modulares generalizados que actúan en el semiespacio superior de manera totalmente discontinua. Un operador de Dirac puede introducirse en estos contextos. Estos operadores de Dirac son ejemplos especiales de operadores de Atiyah–Singer–Dirac.

Dada una variedad de espín M con un fibrado espinorial S y una sección suave s ( x ) en S entonces, en términos de una base ortonormal local e ₁ ( x ), ..., e _n ( x ) del fibrado tangente de M , el operador de Atiyah–Singer–Dirac que actúa sobre s se define como

${\displaystyle Ds(x)=\sum _{j=1}^{n}e_{j}(x){\tilde {\Gamma }}_{e_{j}(x)}s(x),}$

donde es la conexión de espín , la elevación a S de la conexión de Levi-Civita en M . Cuando M es un espacio n -euclidiano volvemos al operador de Dirac euclidiano . ${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}}$

A partir de un operador Atiyah–Singer–Dirac D tenemos la fórmula de Lichnerowicz

${\displaystyle D^{2}=\Gamma ^{*}\Gamma +{\tfrac {\tau }{4}},}$

donde τ es la curvatura escalar en la variedad , y Γ ^∗ es el adjunto de Γ. El operador D ² se conoce como el laplaciano espinorial.

Si M es compacto y τ ≥ 0 y τ > 0 en algún punto, entonces no hay espinores armónicos no triviales en la variedad. Este es el teorema de Lichnerowicz. Se ve fácilmente que el teorema de Lichnerowicz es una generalización del teorema de Liouville a partir del análisis complejo de una variable. Esto nos permite notar que en el espacio de secciones de espinores suaves, el operador D es invertible en una variedad de este tipo.

En los casos en que el operador Atiyah-Singer-Dirac es invertible en el espacio de secciones de espinor suaves con soporte compacto se puede introducir

${\displaystyle C(x,y):=D^{-1}*\delta _{y},\qquad x\neq y\in M,}$

donde δ _y es la función delta de Dirac evaluada en y . Esto da lugar a un núcleo de Cauchy , que es la solución fundamental para este operador de Dirac. A partir de esto se puede obtener una fórmula integral de Cauchy para espinores armónicos . Con este núcleo, gran parte de lo descrito en la primera sección de esta entrada se aplica a los operadores invertibles de Atiyah–Singer–Dirac.

Utilizando el teorema de Stokes , o de otra manera, se puede determinar además que bajo un cambio conforme de métrica los operadores de Dirac asociados a cada métrica son proporcionales entre sí, y en consecuencia también lo son sus inversos, si existen.

Todo esto proporciona vínculos potenciales con la teoría del índice de Atiyah-Singer y otros aspectos del análisis geométrico que involucran operadores de tipo Dirac.

En el análisis de Clifford también se consideran operadores diferenciales en el espacio de la mitad superior, el disco o la hipérbola con respecto a la métrica hiperbólica o de Poincaré .

Para el semiespacio superior, se divide el álgebra de Clifford , Cl _n en Cl _{n −1} + Cl _{n −1} e _n . Por lo tanto, para a en Cl _n, se puede expresar a como b + ce _n con a , b en Cl _{n −1} . Entonces, se tienen los operadores de proyección P y Q definidos de la siguiente manera P ( a ) = b y Q ( a ) = c . El operador de Hodge-Dirac que actúa sobre una función f con respecto a la métrica hiperbólica en el semiespacio superior ahora se define como

${\displaystyle Mf=Df+{\frac {n-2}{x_{n}}}Q(f)}$.

En este caso

${\displaystyle M^{2}f=-\triangle _{n}P(f)+{\frac {n-2}{x_{n}}}{\frac {\partial P(f)}{\partial x_{n}}}-\left(\triangle _{n}Q(f)-{\frac {n-2}{x_{n}}}{\frac {\partial Q(f)}{\partial x_{n}}}+{\frac {n-2}{x_{n}^{2}}}Q(f)\right)e_{n}}$.

El operador

${\displaystyle \triangle _{n}-{\frac {n-2}{x_{n}}}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}}$

es el laplaciano con respecto a la métrica de Poincaré mientras que el otro operador es un ejemplo de un operador de Weinstein.

El laplaciano hiperbólico es invariante bajo las acciones del grupo conforme, mientras que el operador de Dirac hiperbólico es covariante bajo tales acciones.

Los operadores de Rarita–Schwinger , también conocidos como operadores de Stein–Weiss, surgen en la teoría de representación para los grupos Spin y Pin . El operador R _k es un operador diferencial de primer orden covariante conforme. Aquí k = 0, 1, 2, .... Cuando k = 0, el operador de Rarita–Schwinger es simplemente el operador de Dirac. En la teoría de representación para el grupo ortogonal , O( n ), es común considerar funciones que toman valores en espacios de polinomios armónicos homogéneos . Cuando uno refina esta teoría de representación al doble recubrimiento Pin( n ) de O( n ), uno reemplaza espacios de polinomios armónicos homogéneos por espacios de k soluciones polinómicas homogéneas a la ecuación de Dirac, también conocidas como k polinomios monogénicos. Uno considera una función f ( x , u ) donde x en U , un dominio en R ⁿ , y u varía sobre R ⁿ . Además f ( x , u ) es un polinomio k -monogénico en u . Ahora apliquemos el operador de Dirac D _x en x a f ( x , u ). Ahora bien, como el álgebra de Clifford no es conmutativa D _x f ( x , u ), entonces esta función ya no es k- monogénica sino que es un polinomio armónico homogéneo en u . Ahora bien, para cada polinomio armónico h _k homogéneo de grado k existe una descomposición de Almansi-Fischer

${\displaystyle h_{k}(x)=p_{k}(x)+xp_{k-1}(x)}$

donde p _k y p _{k −1} son respectivamente polinomios monogénicos k y k −1 . Sea P la proyección de h _k sobre p _k, entonces el operador de Rarita–Schwinger se define como PD _k y se denota por R _k . Usando el lema de Euler se puede determinar que

${\displaystyle D_{u}up_{k-1}(u)=(-n-2k+2)p_{k-1}.}$

Entonces

${\displaystyle R_{k}=\left(I+{\frac {1}{n+2k-2}}uD_{u}\right)D_{x}.}$

Existe una comunidad vibrante e interdisciplinaria en torno a las álgebras de Clifford y geométricas con una amplia gama de aplicaciones. Las principales conferencias sobre este tema incluyen la Conferencia Internacional sobre Álgebras de Clifford y sus Aplicaciones en Física Matemática (ICCA) y la serie Aplicaciones del Álgebra Geométrica en Ciencias de la Computación e Ingeniería (AGACSE). Una de las principales publicaciones es la revista Springer Advances in Applied Clifford Algebras .

• Álgebra de Clifford
• Estructura de espín compleja
• Variedad conforme
• Colector plano conformado
• Operador de Dirac
• Métrica de Poincaré
• Grupo de spinning
• Estructura de giro
• Haz espinorial

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