Análisis hipercomplejo

En matemáticas , el análisis hipercomplejo es la extensión del análisis complejo a los números hipercomplejos . El primer ejemplo son las funciones de una variable cuaternión , donde el argumento es un cuaternión (en este caso, el subcampo del análisis hipercomplejo se llama análisis cuaterniónico ). Un segundo ejemplo involucra funciones de una variable motora donde los argumentos son números complejos divididos .

En física matemática , existen sistemas hipercomplejos llamados álgebras de Clifford . El estudio de funciones con argumentos de un álgebra de Clifford se denomina análisis de Clifford .

Una matriz puede considerarse un número hipercomplejo. Por ejemplo, el estudio de funciones de matrices reales de 2 × 2 muestra que la topología del espacio de números hipercomplejos determina la teoría de funciones. Funciones como la raíz cuadrada de una matriz , la exponencial de una matriz y el logaritmo de una matriz son ejemplos básicos del análisis hipercomplejo. ^{[ 1 ]} La teoría de funciones de matrices diagonalizables es particularmente transparente ya que tienen descomposiciones en valores propios . ^{[ 2 ]} Supongamos${\displaystyle \textstyle T=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}E_{i}}$donde las E _i son proyecciones . Entonces, para cualquier polinomio${\displaystyle f}$,${\displaystyle f(T)=\sum _{i=1}^{N}f(\lambda _{i})E_{i}.}$

La terminología moderna para un "sistema de números hipercomplejos" es un álgebra sobre los números reales , y las álgebras utilizadas en las aplicaciones suelen ser álgebras de Banach, ya que las sucesiones de Cauchy pueden considerarse convergentes . Entonces, la teoría de funciones se enriquece con sucesiones y series . En este contexto, la extensión de funciones holomorfas de una variable compleja se desarrolla como el cálculo funcional holomorfo . El análisis hipercomplejo en álgebras de Banach se denomina análisis funcional .

• Giovanni Battista Rizza
• funciones de bicuaternión