Análisis cuaterniónico

En matemáticas , el análisis cuaterniónico estudia las funciones cuyo dominio y/o codominio son los cuaterniones . Estas funciones se denominan funciones de una variable cuaterniónica, al igual que se denominan funciones de una variable real o compleja .

Al igual que en el análisis complejo y real , es posible estudiar los conceptos de analiticidad , holomorfía , harmonicidad y conformabilidad en el contexto de los cuaterniones. A diferencia de los números complejos , y como en los reales , estas cuatro nociones no coinciden.

Las proyecciones de un cuaternión sobre su parte escalar o sobre su parte vectorial, así como las funciones módulo y versor , son ejemplos fundamentales para comprender la estructura de los cuaterniones.

Un ejemplo importante de una función de una variable cuaternión es

${\displaystyle f_{1}(q)=uqu^{-1}}$

que rota la parte vectorial de q por el doble del ángulo representado por el versor u .

El inverso multiplicativo de cuaterniones${\displaystyle f_{2}(q)=q^{-1}}$es otra función fundamental, pero al igual que con otros sistemas numéricos,${\displaystyle f_{2}(0)}$y los problemas relacionados generalmente se excluyen debido a la naturaleza de la división por cero .

Las transformaciones afines de cuaterniones tienen la forma

${\displaystyle f_{3}(q)=aq+b,\quad a,b,q\in \mathbb {H} .}$

Las transformaciones fraccionarias lineales de cuaterniones pueden representarse mediante elementos del anillo de matriz.${\displaystyle M_{2}(\mathbb {H} )}$operando en la línea proyectiva sobre${\displaystyle \mathbb {H} }$. Por ejemplo, las asignaciones${\displaystyle q\mapsto uqv,}$dónde${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$Los versores fijos sirven para producir los movimientos del espacio elíptico .

La teoría de variables cuaternionales difiere en algunos aspectos de la teoría de variables complejas. Por ejemplo: la aplicación conjugada compleja del plano complejo es una herramienta fundamental, pero requiere la introducción de una operación no aritmética ni analítica . De hecho, la conjugación cambia la orientación de las figuras planas, algo que las funciones aritméticas no modifican.

A diferencia del conjugado complejo , la conjugación de cuaterniones se puede expresar aritméticamente, como${\displaystyle f_{4}(q)=-{\tfrac {1}{2}}(q+iqi+jqj+kqk)}$

Esta ecuación se puede demostrar, partiendo de la base {1, i, j, k}:

${\displaystyle f_{4}(1)=-{\tfrac {1}{2}}(1-1-1-1)=1,\quad f_{4}(i)=-{\tfrac {1}{2}}(i-i+i+i)=-i,\quad f_{4}(j)=-j,\quad f_{4}(k)=-k}$.

En consecuencia, dado que${\displaystyle f_{4}}$es lineal ,

${\displaystyle f_{4}(q)=f_{4}(w+xi+yj+zk)=wf_{4}(1)+xf_{4}(i)+yf_{4}(j)+zf_{4}(k)=w-xi-yj-zk=q^{*}.}$

El éxito del análisis complejo al proporcionar una rica familia de funciones holomorfas para el trabajo científico ha motivado a algunos investigadores a extender la teoría planar, basada en números complejos, a un estudio de 4-espacios con funciones de una variable cuaternión. ^{[ 1 ]} Estos esfuerzos fueron resumidos en Deavours (1973) . ^{[ a ]}

Aunque${\displaystyle \mathbb {H} }$aparece como una unión de planos complejos , la siguiente proposición muestra que extender funciones complejas requiere un cuidado especial:

Dejar${\displaystyle f_{5}(z)=u(x,y)+iv(x,y)}$ser una función de una variable compleja,${\displaystyle z=x+iy}$Supongamos también que${\displaystyle u}$es una función par de${\displaystyle y}$y eso${\displaystyle v}$es una función extraña de${\displaystyle y}$. Entonces${\displaystyle f_{5}(q)=u(x,y)+rv(x,y)}$es una extensión de${\displaystyle f_{5}}$a una variable cuaternión${\displaystyle q=x+yr}$dónde${\displaystyle r^{2}=-1}$y${\displaystyle r\in \mathbb {H} }$. Entonces, deja${\displaystyle r^{*}}$representar el conjugado de${\displaystyle r}$, de modo que${\displaystyle q=x-yr^{*}}$. La extensión a${\displaystyle \mathbb {H} }$estará completo cuando se demuestre que${\displaystyle f_{5}(q)=f_{5}(x-yr^{*})}$En efecto, según la hipótesis

${\displaystyle u(x,y)=u(x,-y),\quad v(x,y)=-v(x,-y)\quad }$uno obtiene

${\displaystyle f_{5}(x-yr^{*})=u(x,-y)+r^{*}v(x,-y)=u(x,y)+rv(x,y)=f_{5}(q).}$

En lo que sigue, los dos puntos y los corchetes se utilizan para denotar vectores homogéneos .

La rotación alrededor del eje r es una aplicación clásica de los cuaterniones al mapeo espacial . ^{[ 2 ]} En términos de una homografía , la rotación se expresa

${\displaystyle [q:1]{\begin{pmatrix}u&0\\0&u\end{pmatrix}}=[qu:u]\thicksim [u^{-1}qu:1],}$

dónde${\displaystyle u=\exp(\theta r)=\cos \theta +r\sin \theta }$es un versor . Si p * = − p , entonces la traslación${\displaystyle q\mapsto q+p}$se expresa mediante

${\displaystyle [q:1]{\begin{pmatrix}1&0\\p&1\end{pmatrix}}=[q+p:1].}$

La rotación y la traslación xr a lo largo del eje de rotación vienen dadas por

${\displaystyle [q:1]{\begin{pmatrix}u&0\\uxr&u\end{pmatrix}}=[qu+uxr:u]\thicksim [u^{-1}qu+xr:1].}$

Tal mapeo se llama desplazamiento de tornillo . En cinemática clásica , el teorema de Chasles establece que cualquier movimiento de cuerpo rígido puede mostrarse como un desplazamiento de tornillo. Así como la representación de una isometría de plano euclidiano como una rotación es una cuestión de aritmética de números complejos, así también el teorema de Chasles, y el eje de tornillo requerido, es una cuestión de aritmética de cuaterniones con homografías: Sea s un versor derecho, o raíz cuadrada de menos uno, perpendicular a r , con t = rs .

Consideremos el eje que pasa por s y es paralelo a r . La rotación alrededor de él se expresa ^{[ 3 ]} mediante la composición homográfica.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\-s&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u&0\\0&u\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\s&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u&0\\z&u\end{pmatrix}},}$

dónde${\displaystyle z=us-su=\sin \theta (rs-sr)=2t\sin \theta .}$

Ahora, en el plano ( s,t ), el parámetro θ describe un círculo.${\displaystyle u^{-1}z=u^{-1}(2t\sin \theta )=2\sin \theta (t\cos \theta -s\sin \theta )}$en el semiplano${\displaystyle \lbrace wt+xs:x>0\rbrace .}$

Cualquier p en este semiplano se encuentra en un rayo que va desde el origen a través del círculo.${\displaystyle \lbrace u^{-1}z:0<\theta <\pi \rbrace }$y se puede escribir${\displaystyle p=au^{-1}z,\ \ a>0.}$

Entonces arriba = az , con${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&0\\az&u\end{pmatrix}}}$como la homografía que expresa la conjugación de una rotación por una traslación p.

Desde la época de Hamilton, se ha comprendido que exigir la independencia de la derivada respecto de la trayectoria que sigue un diferencial hacia cero es demasiado restrictivo: excluye incluso${\displaystyle \ f(q)=q^{2}\ }$a partir de la diferenciación. Por lo tanto, es necesaria una derivada dependiente de la dirección para funciones de una variable cuaternión. ^{[ 4 ] [ 5 ]} Considerando el incremento de la función polinómica del argumento cuaterniónico se muestra que el incremento es una aplicación lineal del incremento del argumento. A partir de esto, se puede hacer una definición:

Una función continua ${\displaystyle \ f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} \ }$ se denomina diferenciable en el conjunto${\displaystyle \ U\subset \mathbb {H} \ ,}$si en cada punto${\displaystyle \ x\in U\ ,}$un incremento de la función${\displaystyle \ f\ }$correspondiente a un incremento de cuaternión${\displaystyle \ h\ }$de su argumento, puede representarse como

${\displaystyle f(x+h)-f(x)={\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}\circ h+o(h)}$

dónde

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} }$

es un mapa lineal del álgebra de cuaterniones${\displaystyle \ \mathbb {H} \ ,}$y ${\displaystyle \ o:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} \ }$ representa algún mapa continuo tal que

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {\ \left|\ o(a)\ \right|\ }{\left|\ a\ \right|}}=0\ ,}$

y la notación${\displaystyle \ \circ h\ }$denota ...

El mapa lineal ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}}$ se llama la derivada del mapa${\displaystyle \ f~.}$

En los cuaterniones, la derivada puede expresarse como

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}=\sum _{s}{\frac {\operatorname {d} _{s0}f(x)}{\operatorname {d} x}}\otimes {\frac {\operatorname {d} _{s1}f(x)}{\operatorname {d} x}}}$

Por lo tanto, el diferencial del mapa${\displaystyle \ f\ }$puede expresarse de la siguiente manera, con paréntesis a cada lado.

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}\circ \operatorname {d} x=\left(\sum _{s}{\frac {\operatorname {d} _{s0}f(x)}{\operatorname {d} x}}\otimes {\frac {\operatorname {d} _{s1}f(x)}{\operatorname {d} x}}\right)\circ \operatorname {d} x=\sum _{s}{\frac {\operatorname {d} _{s0}f(x)}{\operatorname {d} x}}\left(\operatorname {d} x\right){\frac {\operatorname {d} _{s1}f(x)}{\operatorname {d} x}}}$

El número de términos en la suma dependerá de la función.${\displaystyle \ f~.}$Las expresiones ${\displaystyle ~~{\frac {\operatorname {d} _{sp}\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}~~{\mathsf {\ for\ }}~~p=0,1~~}$se denominan componentes de la derivada.

La derivada de una función cuaterniónica se define mediante la expresión

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}\circ h=\lim _{t\to 0}\left(\ {\frac {\ f(x+t\ h)-f(x)\ }{t}}\ \right)}$

donde la variable${\displaystyle \ t\ }$es un escalar real.

Entonces se cumplen las siguientes ecuaciones:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \left(f(x)+g(x)\right)}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} g(x)}{\operatorname {d} x}}}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \left(f(x)\ g(x)\right)}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}\ g(x)+f(x)\ {\frac {\operatorname {d} g(x)}{\operatorname {d} x}}}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \left(f(x)\ g(x)\right)}{\operatorname {d} x}}\circ h=\left({\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}\circ h\right)\ g(x)+f(x)\left({\frac {\operatorname {d} g(x)}{\operatorname {d} x}}\circ h\right)}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \left(a\ f(x)\ b\right)}{\operatorname {d} x}}=a\ {\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}\ b}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \left(a\ f(x)\ b\right)}{\operatorname {d} x}}\circ h=a\left({\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}\circ h\right)b}$

Para la función${\displaystyle \ f(x)=a\ x\ b\ ,}$dónde${\displaystyle \ a\ }$y${\displaystyle \ b\ }$son cuaterniones constantes, la derivada es

y así los componentes son:

De manera similar, para la función${\displaystyle \ f(x)=x^{2}\ ,}$la derivada es

y los componentes son:

Finalmente, para la función ${\displaystyle \ f(x)=x^{-1}\ ,}$ la derivada es

y los componentes son:

• Cayley transforma
• variedad cuaterniónica