Análisis complejo

El análisis complejo , tradicionalmente conocido como la teoría de funciones de una variable compleja , es la rama del análisis matemático que investiga las funciones de una variable compleja de números complejos . Es útil en muchas ramas de las matemáticas, incluyendo el análisis funcional , la geometría algebraica , la teoría de números , la combinatoria analítica y las matemáticas aplicadas , así como en física , incluyendo las ramas de la hidrodinámica , la termodinámica , la mecánica cuántica y la teoría de twistores . Por extensión, el uso del análisis complejo también tiene aplicaciones en campos de la ingeniería como la nuclear , la aeroespacial , la mecánica y la eléctrica . ^{[ 1 ]}

A primera vista, el análisis complejo es el estudio de las funciones holomorfas , que son funciones diferenciables de una variable compleja. A diferencia del caso real, una función holomorfa es siempre infinitamente diferenciable e igual a la suma de su serie de Taylor en algún entorno de cada punto de su dominio . Esto hace que los métodos y resultados del análisis complejo sean significativamente diferentes de los del análisis real. Las funciones complejas también se comportan de manera muy distinta bajo la integración de contorno : la integral de una función holomorfa sobre un contorno en el plano complejo no depende de los detalles del contorno, sino solo de cómo se enrolla alrededor de las singularidades de la función. Poder trasladar un contorno dado a uno más adecuado suele conllevar importantes simplificaciones en las demostraciones.

La teoría de varias variables complejas generaliza la teoría de funciones complejas de una variable a más de una dimensión compleja. Si bien muchas de las técnicas de una sola variable compleja se utilizan y generalizan en este contexto, varias variables complejas hacen uso de técnicas adicionales como las álgebras de Banach y la teoría de haces . A menudo se ocupa de cuestiones de interés en geometría algebraica y espacios simétricos .

El análisis complejo es una de las ramas clásicas de las matemáticas, con raíces en el siglo XVIII y anteriores. Entre los matemáticos importantes asociados con los números complejos se encuentran Euler , Gauss , Riemann , Cauchy , Weierstrass y muchos más del siglo XX. El análisis complejo, en particular la teoría de las transformaciones conformes , tiene numerosas aplicaciones físicas y se utiliza también en la teoría analítica de números . En la actualidad, ha ganado gran popularidad gracias al impulso que le han dado la dinámica compleja y las representaciones de fractales generadas mediante la iteración de funciones holomorfas . Otra aplicación importante del análisis complejo se encuentra en la teoría de cuerdas , que examina los invariantes conformes en la teoría cuántica de campos .

Una función compleja es una función que asigna valores a números complejos. En otras palabras, es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números complejos y cuyo codominio son los números complejos mismos . Generalmente, se asume que el dominio de las funciones complejas es un subconjunto abierto no vacío del plano complejo .

Para cualquier función compleja, los valores${\displaystyle z}$del dominio y sus imágenes${\displaystyle f(z)}$En el rango se puede separar en partes reales e imaginarias :

${\displaystyle z=x+iy\quad {\text{ y }}\quad f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y),}$

dónde${\displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)}$Todos tienen valor real.

En otras palabras, una función compleja${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$puede descomponerse en dos funciones de valor real (${\displaystyle u}$,${\displaystyle v}$) de dos variables reales (${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$):

${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} \quad }$y${\displaystyle \quad v:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} .}$

Una función compleja es continua si y solo si su función vectorial asociada de dos variables también lo es. Sin embargo, esta identificación no se extiende a la diferenciabilidad . La definición de la derivada de una función compleja es muy similar a la de una función real, pero la diferenciabilidad de la función real asociada de dos variables no implica que exista la derivada de la función compleja. En particular, si una función compleja tiene derivada, tiene derivadas de cualquier orden y es igual a la suma de su serie de Taylor en un entorno de cada punto de su dominio.

De ello se deduce que dos funciones diferenciables que son iguales en un entorno de un punto son iguales en la intersección de sus dominios si estos están conectados . Esta última propiedad constituye la base del principio de continuación analítica , que permite extender de forma única cualquier función analítica real o compleja para obtener una función analítica compleja cuyo dominio es todo el plano complejo, con un número finito de arcos de curva eliminados. Muchas funciones complejas, tanto básicas como especiales , se definen de esta manera, incluyendo la función exponencial compleja , las funciones logarítmicas complejas y las funciones trigonométricas .

Funciones complejas que son diferenciables en cada punto de un subconjunto abierto.${\displaystyle \Omega }$Se dice que las funciones del plano complejo son holomorfas en${\displaystyle \Omega }$. En el contexto del análisis complejo, la derivada de${\displaystyle f}$en${\displaystyle z_{0}}$se define como ^{[ 2 ]}

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}.}$

Superficialmente, esta definición es formalmente análoga a la de la derivada de una función real. Sin embargo, las derivadas complejas y las funciones diferenciables se comportan de maneras significativamente diferentes en comparación con sus contrapartes reales. En particular, para que exista este límite, el valor del cociente de diferencias debe aproximarse al mismo número complejo, independientemente de la forma en que lo hagamos.${\displaystyle z_{0}}$en el plano complejo. En consecuencia, la diferenciabilidad compleja tiene implicaciones mucho más fuertes que la diferenciabilidad real. Por ejemplo, las funciones holomorfas son infinitamente diferenciables , mientras que la existencia de la n -ésima derivada no implica necesariamente la existencia de la ( n +1)-ésima derivada para funciones reales. Además, todas las funciones holomorfas satisfacen la condición más fuerte de analiticidad , lo que significa que la función está, en cada punto de su dominio, dada localmente por una serie de potencias convergente. En esencia, esto significa que las funciones holomorfas en${\displaystyle \Omega }$puede aproximarse arbitrariamente bien mediante polinomios en algún entorno de cada punto en${\displaystyle \Omega }$Esto contrasta marcadamente con las funciones reales diferenciables; existen funciones reales infinitamente diferenciables que no son analíticas en ningún punto ; véase Función suave no analítica §  Una función suave que no es analítica real en ningún punto .

La mayoría de las funciones elementales, incluyendo la función exponencial , las funciones trigonométricas y todas las funciones polinómicas , se extendieron adecuadamente a argumentos complejos como funciones.${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$, son holomorfas en todo el plano complejo, lo que las convierte en funciones enteras , mientras que las funciones racionales${\displaystyle p/q}$, donde p y q son polinomios, son holomorfas en dominios que excluyen los puntos donde q es cero. Dichas funciones que son holomorfas en todas partes excepto en un conjunto de puntos aislados se conocen como funciones meromorfas . Por otro lado, las funciones${\displaystyle z\mapsto \Re (z)}$,${\displaystyle z\mapsto |z|}$, y${\displaystyle z\mapsto {\bar {z}}}$no son holomorfas en ningún punto del plano complejo, como se puede demostrar por su incapacidad para satisfacer las condiciones de Cauchy-Riemann (véase más abajo).

Una propiedad importante de las funciones holomorfas es la relación entre las derivadas parciales de sus componentes reales e imaginarias, conocida como las condiciones de Cauchy-Riemann . Si${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$, definido por${\displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}$, dónde${\displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)\in \mathbb {R} }$, es holomorfo en una región${\displaystyle \Omega }$, entonces para todos${\displaystyle z_{0}\en \Omega }$,

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})=0,\ {\text{donde }}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\mathrel {:=} {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right).}$

En términos de las partes real e imaginaria de la función, u y v , esto es equivalente al par de ecuaciones${\displaystyle u_{x}=v_{y}}$y${\displaystyle u_{y}=-v_{x}}$donde los subíndices indican diferenciación parcial. Sin embargo, las condiciones de Cauchy-Riemann no caracterizan las funciones holomorfas sin condiciones de continuidad adicionales (véase el teorema de Looman-Menchoff ).

Las funciones holomorfas presentan algunas características notables. Por ejemplo, el teorema de Picard afirma que el rango de una función completa solo puede tomar tres formas posibles:${\displaystyle \mathbb {C} }$,${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{z_{0}\}}$, o${\displaystyle \{z_{0}\}}$para algunos${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C}}$En otras palabras , si dos números complejos distintos${\displaystyle z}$y${\displaystyle w}$no están dentro del rango de una función completa${\displaystyle f}$, entonces${\displaystyle f}$es una función constante. Además, una función holomorfa en un conjunto abierto conexo está determinada por su restricción a cualquier subconjunto abierto no vacío.

Una de las herramientas centrales del análisis complejo es la integral de línea . La integral de línea alrededor de una trayectoria cerrada de una función holomorfa en todo el área delimitada por dicha trayectoria es siempre cero, como lo establece el teorema integral de Cauchy . Los valores de una función holomorfa dentro de un disco se pueden calcular mediante una integral de trayectoria en el borde del disco (como se muestra en la fórmula integral de Cauchy ). Las integrales de trayectoria en el plano complejo se utilizan a menudo para determinar integrales reales complejas, y aquí se aplica, entre otras, la teoría de residuos (véanse los métodos de integración de contorno ). Un "polo" (o singularidad aislada ) de una función es un punto donde el valor de la función se vuelve ilimitado o "explota". Si una función tiene un polo de este tipo, se puede calcular su residuo en ese punto, el cual se puede utilizar para calcular integrales de trayectoria que involucren la función; este es el contenido del poderoso teorema de los residuos . El comportamiento notable de las funciones holomorfas cerca de singularidades esenciales se describe en el teorema de Picard . Las funciones que solo tienen polos pero no singularidades esenciales se denominan meromorfas . Las series de Laurent son el equivalente en valores complejos de las series de Taylor , pero pueden utilizarse para estudiar el comportamiento de las funciones cerca de las singularidades mediante sumas infinitas de funciones mejor comprendidas, como los polinomios.

Una función acotada que es holomorfa en todo el plano complejo debe ser constante; este es el teorema de Liouville . Puede utilizarse para proporcionar una demostración natural y breve del teorema fundamental del álgebra , que establece que el cuerpo de los números complejos es algebraicamente cerrado .

Si una función es holomorfa en todo un dominio conexo , entonces sus valores están completamente determinados por sus valores en cualquier subdominio más pequeño. Se dice que la función en el dominio mayor se continúa analíticamente a partir de sus valores en el dominio menor. Esto permite extender la definición de funciones, como la función zeta de Riemann , que inicialmente se definen en términos de sumas infinitas que convergen solo en dominios limitados a casi todo el plano complejo. A veces, como en el caso del logaritmo natural , es imposible continuar analíticamente una función holomorfa a un dominio no simplemente conexo en el plano complejo, pero es posible extenderla a una función holomorfa en una superficie estrechamente relacionada conocida como superficie de Riemann .

Todo esto se refiere al análisis complejo en una variable. Existe también una teoría muy rica del análisis complejo en más de una dimensión compleja, en la que se conservan propiedades analíticas como el desarrollo en serie de potencias, mientras que la mayoría de las propiedades geométricas de las funciones holomorfas en una dimensión compleja (como la conformería ) no se conservan. El teorema de Riemann sobre la relación conforme de ciertos dominios en el plano complejo, que podría ser el resultado más importante en la teoría unidimensional, falla estrepitosamente en dimensiones superiores.

Una aplicación importante de ciertos espacios complejos se encuentra en la mecánica cuántica como funciones de onda .

• Geometría compleja
• Análisis hipercomplejo
• Lista de temas de análisis complejo
• Teorema de la monodromía
• Teorema de Riemann-Roch
• Teorema de Runge
• cálculo vectorial

• Ablowitz, MJ y AS Fokas , Variables complejas: Introducción y aplicaciones (Cambridge, 2003).
• Ahlfors, L. , Análisis complejo (McGraw-Hill, 1953).
• Cartan, H. , Teoría elemental de las funciones analíticas de uno o más complejos de variables. (Hermann, 1961). Traducción al inglés, Teoría elemental de funciones analíticas de una o varias variables complejas. (Addison-Wesley, 1963).
• Carathéodory, C. , Funktionentheorie. (Birkhäuser, 1950). Traducción al inglés, Theory of Functions of a Complex Variable (Chelsea, 1954). [2 volúmenes.]
• Carrier, GF , M. Krook y CE Pearson, Funciones de una variable compleja: teoría y técnica. (McGraw-Hill, 1966).
• Conway, JB , Funciones de una variable compleja. (Springer, 1973).
• Fisher, S., Variables complejas. (Wadsworth & Brooks/Cole, 1990).
• Forsyth, A. , Teoría de las funciones de una variable compleja (Cambridge, 1893).
• Freitag, E. y R. Busam, Funktionentheorie . (Springer, 1995). Traducción al inglés, Análisis complejo . (Springer, 2005).
• Goursat, E. , Cours d'analyse mathématique, tomo 2 . (Gauthier-Villars, 1905). Traducción al inglés, Un curso de análisis matemático, vol. 2, parte 1: Funciones de una variable compleja . (Ginn, 1916).
• Henrici, P. , Análisis complejo aplicado y computacional (Wiley). [Tres volúmenes: 1974, 1977, 1986.]
• Kreyszig, E. , Matemáticas avanzadas para ingeniería. (Wiley, 1962).
• Lavrentyev, M. & B. Shabat, Методы теории функций комплексного переменного. ( Métodos de la Teoría de Funciones de una Variable Compleja ). (1951, en ruso).
• Markushevich, A.I. , Teoría de las funciones de una variable compleja , (Prentice-Hall, 1965). [Tres volúmenes.]
• Marsden y Hoffman, Análisis complejo básico. (Freeman, 1973).
• Needham, T. , Análisis visual complejo. (Oxford, 1997). http://usf.usfca.edu/vca/
• Remmert, R. , Teoría de las funciones complejas . (Springer, 1990).
• Rudin, W. , Análisis real y complejo. (McGraw-Hill, 1966).
• Shaw, WT, Análisis complejo con Mathematica (Cambridge, 2006).
• Stein, E. y R. Shakarchi, Análisis complejo. (Princeton, 2003).
• Sveshnikov, AG & AN Tikhonov , Теория функций комплексной переменной. (Nauka, 1967). Traducción al inglés, Teoría de funciones de una variable compleja (MIR, 1978).
• Titchmarsh, EC , La teoría de las funciones. (Oxford, 1932).
• Wegert, E., Funciones complejas visuales . (Birkhäuser, 2012).
• Whittaker, ET y GN Watson , Un curso de análisis moderno . (Cambridge, 1902). 3.ª ed. (1920)

• Página de análisis complejo de MathWorld de Wolfram Research
• Guía para cultivar el análisis complejo: Cómo trabajar en el campo de la complejidad, por Jiri Lebl ( Creative Commons BY-NC-SA )